Примеры

1. Десятичное число 386,25₁₀ можно записать следующим образом:

386₁₀ = 310² + 810¹ + 610⁰ + 210^-1 + 510^-2 .

2. Двоичное число 10111,011₂ можно представить в виде

10111,011₂ = 12⁴ + 02³ + 12² + 12¹ + 12⁰ + 02^-1 + 12^-2 + 12^-3

3. Шестнадцатиричное число В9₁₆ представляется в виде

В9₁₆ = В16¹ + 916⁰ = 1116¹ + 916⁰ .

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную обычно используют так называемый алгоритм замещения, т.е. сначала в десятичную систему счисления переводится основание той системы счисления, из которой осуществляется перевод, а затем переводят цифры исходного числа.

Пример

Перевести в десятичную систему счисления числа В9₁₆, 1101₂

В9₁₆ = 1116¹ + 916⁰ = 176+9 = 185₁₀ ,

1101₂ = 12³ + 12² + 02¹ + 12⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀ .

При необходимости перевода чисел из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему счисления производят следующие действия:

• делят заданное число на основание новой системы счисления;

• если частное больше делителя, то его принимают за новое число и повторяют предыдущий шаг, в противном случае деление прекращают;

• выписывают все остатки в порядке обратном их получению и принимают их за цифры искомого числа.

Примеры

1. Перевести число 7246₁₀ в шестнадцатиричную систему счисления, а затем в двоичную (путем разбиения на тетрады)

7246 16

- 64 452 16

84 - 32 28 16

- 80 132 - 16 1

46 - 128 12 = C

- 32 4

14 = E

Цифры 12 и 14 заменяются на символы "С" и "Е" (табл.1)

7246₁₀ = 1CC4₁₆ = 0001 1100 0100 1110₂

1 C 4 E

2. Перевести число 37₁₀ в двоичную систему счисления

37 2

- 36 18 2

1 - 18 9 2

0 - 8 4 2

1 - 4 2 2

0 - 2 1

37₁₀=100101₂

0

Перевод дробных чисел из одной системы

Счисления в другую Примеры перевода правильных дробей в десятичную систему счисления.

1. Перевести в десятичную систему счисления число 0,1010₂

0,1010₂ = 12^-1 + 02^-2 + 12^-3 + 02^-4 = 0,5 + 0,125 = 0,625₁₀ ;

2. Перевести в десятичную систему счисления число 0,924₁₆

0,924₁₆ = 916^-1 + 216^-2 + 416^-3 = 9/16 + 2/256 + 4/4096 = = 2340/4096 = 0,5712890625₁₀ .

Перевод десятичной дроби в другую систему счисления производится в следующей последовательности:

• умножить исходную дробь на основание новой системы счисления;

• выделить из полученного результата целую часть и принять ее за цифру очередного разряда искомой дроби;

• если достигнута требуемая точность, то дальнейшие действия прекращаются, в противном случае из последнего результата умножения выделяется дробная часть, принимается за исходное число и описанная выше последовательность действий повторяется;

• искомая дробь в новой системе счисления записывается в виде последовательности целых частей полученных произведений, начиная с первого.

Пример

Перевести в двоичную систему счисления десятичную

дробь 0,2315₁₀ (с точностью до 5 знаков после запятой)

0,2315

2 = 0 4630

2 = 0 9260

2 = 1 8520

2 = 1 7040

2 = 1 4080

0,2315₁₀ = 0,00111₂ …

Перевод неправильных дробей из одной системы счисления в другую выполняется по описанным выше правилам отдельно для целой и дробной частей.

Примеры

1. Перевести в двоичную систему счисления число 72,41₁₀

72,41₁₀ = 72₁₀ + 0,41₁₀

72 2

-72 36 2

0 - 36 18 2

0 - 18 9 2

0 - 8 4 2

1 - 4 2 2

0 - 2 1

72₁₀=1001000₂ 0

Перевод числа 0,41₁₀ в двоичную систему счисления производится по описанному выше алгоритму перевода десятичной дроби в другую систему счисления. В результате перевода получено следующее число:

72,41₁₀ = 1001000,0110100…₂ .

2. Перевести двоичное число в шестнадцатиричную систему счисления (путем разбиения на тетрады: для целой части справа налево, для дробной – слева направо)

1011,011101₂ = 1011 , 0111 0100 ₂ = В,74₁₆ .

B 7 4