3. Основное уравнение геодезической линии.

Произведение радиуса параллели на синус азимута в каждой точке геодезической линии – величина постоянная, т.е.

Для геодезической линии на поверхности эллипсоида вращения произведение косинуса приведенной широты точки геодезической линии на синус азимута геодезической линии в той же точке есть величина постоянна.

4. Расхождение взаимных нормальных сечений.

n_a, n_b – точки пересечения нормалей к поверхности эллипсоида в точках А и В с малой осью;

σ – угол между прямыми n_aА, n_bВ;

АаВ – прямое нормальное сечение в А на точку В;

BbA – прямое нормальное сечение в В на точку А;

АВ – хорда – линия пересечения прямого и обратного сечений АВn_a, АВn_b;

ε– угол n_aВn_b.

f – угол между плоскостями АВn_a и АВn_b двух взаимно обратных нормальных сечений;

При s = 100 км, , В_m = 45º и А_1.2 = 45º

Таким образом, f – угол между плоскостями взаимных нормальных сечений – величина малая второго порядка. Для максимальных длин сторон триангуляции 1 класса равных 40÷50 км, значение f″ равно 2÷3″. Следовательно, угловые и линейные расхождения между взаимными нормальными сечениями будут величинами малыми.

Наибольшее линейное расхождение между сечениями АаВ и BbA будет в середине дуги АВ:

Значения d_max при различных расстояниях s между точками А и В для широты В = 45º, А₁ = 45º:

S (км) 200 100 50

d_max (м) 0,050 0,006 0,0008

Результаты вычислений показывают, что линейные расхождения между прямым и обратным нормальными сечениями малы.

Формула для разности длин геодезической линии и дуги нормального сечения D_s

Для s = 600 км

Длина дуги нормального сечения вычисляется по формуле:

где

Данная формула при s = 150 км точна до 0,0001″. При s < 40 км поправочным коэффициентом можно пренебречь; тогда формула будет иметь вид:

Формулы, устанавливающие связь между длиной дуги нормального сечения s и длиной хорды d, соединяющей конечные точки дуги:

Углы между взаимными нормальными сечениями и геодезической линией при расстояниях не превышающих несколько десятков километров вычисляются по формулам:

или

Более точная формула для расхождения азимутов прямого и обратного сечения в точке А с широтой В₁ имеет вид

При этомпонимается как разность между прямым и обратным нормальными сечениями в точке А, т. е.

Для разности азимутов прямого нормального сечения и геодезической линии в точке А с широтой В₁ более точная формула имеет вид:

Если s = 200 км, то максимальные значения ∆ и δ при В = 0 и А = 45º будут равны: ∆″ = 0,36″ и δ″= 0,12″

Если s = 100 км, то максимальные значения ∆ и δ при В = 0 и А = 45º будут равны: ∆″ = 0,09″ и δ″= 0,02″

Если s = 100 км, то максимальные значения ∆ и δ при В = 0 и А = 45º будут равны: ∆″ = 0,023″ и δ″= 0,006″

При вычислении направлений и азимутов в триангуляции 1 класса требуется обеспечить точность до сотых долей секунды. Для этого необходимо производить учёт поправок и удерживать тысячные доли секунды.