Высшая геодезия литература / лекции / Лекция 7 ..

Лекция № 7. Решение геодезических задач в пространстве.

Вопросы лекции:

1. Системы пространственных координат.

2. Решение главной геодезической задачи между точками в пространстве.

1. Системы пространственных координат.

При решении геодезических задач между точками в пространстве используют следующие системы координат:

1. Системы геоцентрических координат.

2. Системы топоцентрических координат.

3. Система геодезических координат.

Системы геоцентрических координат. В этих системах начало координат находится в центре эллипсоида. Различают прямоугольные и полярные геоцентрически координаты.

Система геоцентрических прямоугольных координат (пространственных прямоугольных координат, декартовых координат):

• ось z расположена вдоль оси вращения эллипсоида и направлена на северный полюс,

• ось х расположена в плоскости начального меридиана,

• ось у расположена в плоскости меридиана с долготой 90˚.

Система геоцентрических полярных координат

• геоцентрическая широта Ф –угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора,

• геодезическая долгота L,

• геоцентрический радиус-вектор ρ – расстояние по прямой, соединяющей заданную точку пространства с центром эллипсоида.

Связь между двумя системами геоцентрических координат осуществляется по формулам:

Системы топоцентрических координат. Начало координат находится в некоторой точке (B₀, L₀, H₀), расположенной обычно на поверхности. Различают прямоугольные и полярные топоцентрические координаты.

Система топоцентрических прямоугольных координат:

• ось ζ расположена на продолжении нормали к поверхности эллипсоида в точке Q₀,

• ось ξ расположена в плоскости меридиана точки Q₀ перпендикулярно к оси ζ и направлена в сторону оси вращения эллипсоида,

• ось η перпендикулярна к осям ζ и ξ и направлена в сторону увеличения долготы.

Система топоцентрических полярных координат

• геодезический азимут Ао – двугранный угол между плоскостью меридиана начальной точки и нормальной плоскостью, проходящей через нормаль в точке Q₀ и заданную точку Q пространства,

• зенитное расстояние Z₀ – угол между осью ζ и прямолинейным направлением из точки Q₀ в точку Q,

• расстояние D между точками Q₀ и Q по прямой.

Связь между двумя системами топоцентрических координат

осуществляется по следующим формулам:

Система геодезических координат:

• геодезическая широта В,

• геодезическая долгота L,

• геодезическая высота Н – кратчайшее расстояние от заданной точки пространства до поверхности эллипсоида (продолжение нормали к этой поверхности).

Связь между геодезическими и декартовыми геоцентрическими координатами осуществляется по формулам:

Связь между декартовыми топоцентрическими и декартовыми геоцентрическими координатами:

Обратная зависимость:

2. Решение главной геодезической задачи между точками в пространстве.

По аналогии с решением главных геодезических задач на

поверхности эллипсоида, т. е. в двумерном пространстве, сформулируем сущность решения главных геодезических задач в пространстве трех измерений.

Прямая геодезическая задача. Даны геодезические

координаты B₁, L₁, H₁ некоторой точки Q₁ и полярные топоцентрические

координаты D₁₂, А₁₂, Z₁₂ второй точки Q₂. По этим данным

требуется найти геодезические координаты B₂, L₂, H₂ точки Q₂.

Обратная геодезическая задача. Даны геодезические

координаты B, L, H двух точек Q₁и Q₂. Требуется найти полярные топоцентрические координаты D₁₂, А₁₂, Z₁₂ точки Q₂ относительно

точки Q₁.

Решение прямой геодезической задачи.

Исходные данные: B₁, L₁, H₁; D₁₂, А₁₂, Z₁₂.

Вслед за последней итерацией вычисляется:

Знак у2	+	+	-	-
Знак х2	+	-	-	+
l =	| l |	180˚ – | l |	| l | – 180˚	– | l |

| l | – аргумент в первой четверти.

Постоянные величины для эллипсоида Красовского:

а = 637825, с = 6399698,902,

е² = 0,006693422, се² = 42835,88,

k = 1,006738525.

Решение обратной геодезической задачи.

Исходные данные: B₁, L₁, H₁; B₂, L₂, H₂.

Знак η12	+	+	-	-
Знак ξ12	+	-	-	+
А12 =	| А12 |	180˚ – | А12 |	180˚ + | А12 |	360˚ – | А12 |

| А₁₂ | – аргумент в первой четверти.

Если необходимо найти для этого же отрезка D₁₂ азимут и зенитное расстояние со второй точки на первую, т. е. величины A₂₁ и Z₂₁, то можно применить эти же формулы, но в них следует поменять местами индексы 1 и 2.

Для контроля вычислений можно воспользоваться формулой: