2. Геодезическая линия.

В сфероидической геодезии точки на поверхности соединяются геодезическими линиями, которые определяются как кратчайшие расстояния на данной поверхности между заданными точками. Другими словами геодезическая линия на какой-либо поверхности играет роль прямой линии на плоскости или дуги большого круга на сфере. Введением геодезической линии устраняется неопределённость в построении геометрических фигур на поверхности земного эллипсоида и достигается однозначность решения задач.

Из определения геодезической линии, как кратчайшей кривой между двумя точками на земной поверхности, следуют и иные её определения: геодезическая линия на поверхности – такая кривая, в каждой точке которой соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в той же точке.

Геодезической линией называется такая линия на поверхности, в каждой точке которой главная нормаль кривой совпадает с нормалью к поверхности.

Порядок построения геодезической линии на земном эллипсоиде (способ первый):

• Установить теодолит в точке А так чтобы его вертикальная ось совпала с нормалью Аn₁

• Отметить в заданном направлении на поверхности эллипсоида точку а, близкую к А.

• Перенести теодолит в точку а и совместить его вертикальную ось с нормалью аn₂

• Навести трубу на точку А, повернуть алидаду точно на 180^о и отметить на поверхности эллипсоида точку b, близкую к а.

• Перенести теодолит в точку b и совместить его вертикальную ось с нормалью bn₃

• Навести трубу на точку а, повернуть алидаду точно на 180^о и отметить на поверхности эллипсоида точку с, близкую к b.

• Поступать таким образом до тех пор пока расстояние между начальной точкой А и точкой i не сделается равным заданному. Если при этом указанные выше перестановки производились через бесконечно малые расстояния на эллипсоиде, получится геодезическая линия.

Действительно, плоскостьАаbn₂ будет, во-первых, соприкасающейся плоскостью полученной кривой в точке а, так как в этой плоскости лежат отрезки Аа и аb, которые можно рассматривать как касательные к кривой в точке а; во-вторых, в этой плоскости лежит и нормаль аn₂, то же самое будет и в точках b, c, d и т.д. Следовательно, условия, определяющие геодезическую кривую соблюдены; нормаль к поверхности лежит в соприкасающейся плоскости в каждой точке кривой. Так как нормали An₁, an₂, bn₃, cn₄ пересекают малую ось эллипсоида в разных точках, поэтому плоскости Aabn₂, abcn₃, bcdn₄ не совпадут между собой и точки A, a, b, c, d и т.д. дадут на поверхности эллипсоида непрерывную кривую двоякой кривизны.

В изложенном способе построения геодезической линии каждая последующая точка геодезической линии определяется по двум предшествующим при условии бесконечно малых расстояний между двумя смежными точками.

Второй способ построения геодезической линии:

• Соединить А и В хордой и из её середины провести нормаль к поверхности эллипсоида.

• Провести плоскость через нормаль в точке С и точку А.

В этой же плоскости будет лежать хорда АВ, следовательно, эта плоскость пройдёт и через точку В. Эта плоскость будет плоскостью прямого нормального сечения из точки С на точку А и точку В. Она пересечёт поверхность эллипсоида по кривой АсСсВ.

• Провести прямое нормальное сечение из точки А на точку С (кривая АаС) и нормальное сечение из точки В на точку С (кривая ВвС).

• Соединить хордами точки А и С, В и С и из середины этих хорд провести нормали к поверхности эллипсоида, которые пересекут последнюю в точках d и е.

• Выполнить те же действия, какие производились в отношении точки С (провести нормальную плоскость из точки d на точку А, которая пройдёт и через точку С и изобразится кривой Ad₁dd΄C; провести нормальную плоскость из точки е на точку В, которая пройдёт и через точку С и изобразится кривой Се₁ее΄В; прямое нормальное сечение из А на точку d изобразится кривой Аа₁d; прямое нормальное сечение с С на d – кривой Сс₁d; прямое сечение с В на е изобразится кривой Bb₁е; прямое сечение с С на е – кривой Сс₂е).

• Соединить хордами А иd, d и С, С и е, е и В. Из середин этих хорд провести нормали к поверхности, которые пересекут её в точках f, g, h, i; провести нормальные сечения в этих точках, проходящие через A, d, C, e, B, затем соединить хордами A и f, f и d, d и g и т.д., т.е. выполнить во вновь отмеченных точках такие же действия, как и раньше.

Если продолжать такое построение до бесконечности, то плоскости, проходящие через нормаль в каждой хорде, обратятся в соприкасающиеся плоскости. Число хорд, а следовательно, и число точек пересечения нормалей, проходящих через середины хорд, будет бесконечно велико. Эти точки образуют непрерывную кривую, которая и будет геодезической линией, так как выполнено условие, определяющее геодезическую кривую; в каждой точке её нормаль к поверхности будет лежать в соприкасающейся плоскости кривой.

Если обозначить:

∆ – угол между взаимными нормальными сечениями в точке А, т. Е. между кривыми АаВ и ВbА;

δ – угол начального элемента геодезической линии в А с прямым нормальным сечением на В, т.е. с кривой АаВ,

то углы между кривыми будут равны:

АсС и АаВ, равный ,

АсС и АаС, ″ ,

Аd₁d и АcС, ″ ,

Аd₁d и АаВ, ″ ,

Аd₁d и Аа₁d, ″ ,

Аd₁d и Аfd, ″ ,

Аfd и АаВ, ″ ,

и т. д.

В пределе, при бесконечном продолжении описанного выше построения, угол между кривой АаВ и нормальным сечением , проходящей через нормаль, проведенную из середины ближайшей к точке А хорды, обратится в δ. Тогда по аналогии с написанной выше таблицей можно записать:

или

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при <1), стоящей в круглых скобках равна:

Следовательно , или.

Отсюда следует, что геодезическая линия на поверхности эллипсоида (при азимутах, не близких к 90 или 270º) делит угол между взаимными нормальными сечениями в отношении 1 : 2 и располагается в данной точке ближе к прямому нормальному сечению.

Иначе говоря, угол между геодезической линией, соединяющей точки А и В, и прямым нормальным сечением в каждой из этих точек равен угла между прямым и обратным нормальными сечениями в данной точке.

Если между двумя точками поверхности эллипсоида натянуть упругую нить, то нить примет форму геодезической линии. Действительно, равнодействующая упругих сил нити в каждой точки должна лежать в соприкасающейся плоскости, а сопротивление поверхности направлено по нормали к поверхности. При равновесии нити эти две силы уравновешиваются, и соприкасающаяся плоскость будет содержать нормаль к поверхности.