Fizika okieana - Doronin

Характерные пространственно-временные масштабы турбулентных возмущений

Из табл.3.1 видно, что крупномасштабная и среднемасштабная турбулентность квазидвумерна, т.е. ее размеры по горизонтали существенно больше чем по вертикали. Мелкомасштабная турбулентность более однородна, особенно в области самых мелких возмущений, где она, по данным наблюдений, практически изотропна. Последнее существенно облегчает ее изучение, поэтому именно мелкомасштабная турбулентность наиболее изучена.

3.2.Осреднение уравнений термодинамики

Поток жидкости при больших значениях числа Re характеризуется наличием в нем беспорядочных флуктуаций скорости, давления, температуры и других величин. В результате зависимость мгновенных значений океанологических элементов от времени и пространства не может быть предвычислена. Даже при одних и тех же внешних условиях они каждый раз будут другими. Возможно лишь описание некоторых осредненных характеристик турбулентного трения. На практике чаще всего ограничиваются осреднением по какому-то отрезку времени. Гораздо реже используется осреднение по какой-то области пространства [4] или совместное пространственно-временное осреднение. Осреднение по времени выполнить легче, поскольку для этого обычно имеется необходимая информация в виде данных наблюдений в какой-то точке. При выборе способа осреднения используются правила, из которых основные определил еще О.Рейнольдс в конце XIX в. Применение правил осреднения к дифференциальным уравнениям гидродинамики не должно менять их сути и должны получаться достаточно простые уравнения для определения средних значений

63

гидродинамических характеристик. Предполагается, что мгновенное значение любой такой характеристики ϕ может быть представлено

через ее среднее значение ϕ в выбранном интервале времени и через отклонение от этой средней величины ϕ ′ , т.е.

проводится осреднение, должен быть таким, чтобы выполнялось условие

описать характер течения за приливной цикл, то период осреднения должен быть порядка десятка минут, в пределах которых среднее значение течения не испытывает заметного изменения. В случае необходимости описания сезонного изменения течения период осреднения может быть существенно больше, так как нет нужды воспроизводить приливные изменения течений и неупорядоченные колебания часовых или суточных масштабов, которые могут быть существенными. Как правило, с увеличением интервала осреднения возрастает масштаб колебаний гидрологических характеристик, входящих в этот t .

Следующим требованием осреднения является условие

свободного падения и Кориолиса. Они не содержат произведений пульсирующих характеристик, а поэтому при их осреднении не появляется произведение пульсаций. Кроме того, в нем учтено приближение Буссинеска и выражение (3.9).

Для того чтобы упростить операцию осреднения, необходимо преобразовать уравнение (3.10) в уравнение импульса. Для этого его умножают на плотность ρ , а уравнение (3.7) умножают на Vi и полученные выражения суммируют

При осреднении этого уравнения можно учесть, что члены, содержащие пульсации плотности, оказываются на три порядка меньше аналогичных слагаемых, содержащих осредненную плотность. Поэтому в дальнейшем, как и в уравнении неразрывности, члены с пульсациями плотности будут опускаться. В таком случае осредненное уравнение (3.11) будет иметь вид

Такое осредненное уравнение называют уравнением Рейнольдса, а слагаемое, содержащее произведение пульсаций скорости течения, напряжением Рейнольдса. Если объединить последние слагаемые левой и правой частей уравнения (3.12), то получается

Слагаемое, содержащее молекулярную вязкость, характеризует обмен количеством движения между молекулами воды, т.е. выражает вязкие напряжения. Пульсационный член также характеризует обмен количеством движения, но не молекулярный, а между объемами воды, имеющими различную мгновенную скорость движения. В турбулентном течении это слагаемое существенно больше вязких напряжений, а поэтому последнее часто не учитывается.

Если записать все пульсационные слагаемые по каждой из трех осей, то получится тензор турбулентных напряжений Τij

плоскостям, а остальные - касательные.

Совершенно аналогично проводится осреднение уравнений теплопроводности и диффузии соли. Их также умножают на плотность, а уравнение неразрывности - на температуру в первом случае и на соленость - во втором. Затем проводится суммирование преобразованных уравнений теплопроводности и неразрывности или уравнения диффузии соли и уравнения неразрывности. В результате получаются

Ради аналогии с уравнением движения здесь также использована сокращенная запись адвективных слагаемых, а под потоком тепла Q обозначена сумма тепла фазовых переходов, диссипации механической энергии в тепло и вертикального потока лучистой энергии в воде

будут опускаться. В результате осредненные уравнения теплопроводности и диффузии соли приобретают вид

характеризует турбулентный поток энтальпии вдоль оси x j , т.е. этот

поток осуществляется неупорядоченным движением воды,. поэтому он всегда существенно больше молекулярного потока энтальпии. По аналогии с дивергенцией молекулярного потока энтальпии слагаемое ∂ФTJ / ∂x j можно считать дивергенцией турбулентного потока

энтальпии.

В уравнении (3.18) первое слагаемое характеризует локальное изменение массы соли в единице объема воды, второе слагаемое - перенос массы соли осредненным течением вдоль оси x j . В правой

части содержится дивергенция молекулярного потока соли и турбулентного потока соли

поскольку здесь перенос соли осуществляется массами жидкости. Собирая турбулентные потоки энтальпии и соли по осям координат,

можно, как и для тензора напряжений (3.14), записать

Значения слагаемых в (3.14) и (3.21) зависят от длины интервала осреднения. Как уже отмечалось, чем он больше, тем больше вероятность того, что в него попадут пульсации больших масштабов. Практика океанологических наблюдений показывает, что при увеличении масштаба осреднения растет модуль произведения пульсационных величин.

Появление в осредненных уравнениях дополнительных слагаемых, содержащих произведение пульсаций, затрудняет их решение, так как эти произведения обычно не бывают заранее известны. Даже при осреднении турбулентных потоков субстанций возникают трудности с

3.3. Коэффициенты турбулентного обмена субcтанциями

Трудность измерения произведений пульсаций океанологических характеристик, а также потребность их представления через

68

осредненные значения этих характеристик с целью уменьшить число неизвестных в уравнениях термогидродинамики заставила еще

Буссинеска в конце XIX в. параметризовать напряжение трения через градиент осредненной скорости и некоторый коэффициент пропорциональности K. Буссинеск предположил, что турбулентное напряжение в плоскопараллельном потоке, как и молекулярное, можно выразить через градиент скорости, меняющейся только по нормали к этому потоку. Вместо кинематического коэффициента молекулярной вязкости κ предлагается кинематический коэффициент турбулентной вязкости K, который должен быть существенно больше молекулярного, поскольку обмен количеством движения осуществляется в данном случае неупорядоченным движением объемов жидкости

Позднее такую форму записи напряжений стали применять для выражений напряжений трения и по другим осям координат.

Шмидт (1917 г.) распространил идею Буссинеска на представления турбулентного потока тепла через градиент осредненной температуры и коэффициент пропорциональности KT , называемый

коэффициентом турбулентной температуропроводности,

Здесь вместо потенциальной использована обычная температура, поскольку в океане их пульсации, как и их градиенты, практически одинаковы.

Совершенно аналогично выражается турбулентный поток соли

В формулах (3.22)-(3.24) вместо одной неизвестной - произведения пульсаций, фигурирует другая неизвестная - коэффициент турбулентного обмена, зависящая от внутренней структуры

осредненного значения этой субстанции. Делались попытки учесть производные более высоких порядков при описании потоков субстанций, но при этом появляются дополнительные коэффициенты, нуждающиеся в определении. Поэтому такое уточнение не получило

движения, теплопроводности и диффузии соли, то по аналогии с

69

выражениями (3.14) и (3.21) можно записать

температуры, соли и импульса. По аналогии с соотношением молекулярных коэффициентов, выраженных через числа Прандтля

(Pr) и Шмидта (Sc)

вводятся турбулентные числа Прандтля (PrT) и Шмидта ( ScТ )

В отличие от молекулярных, турбулентные числа PrT, ScТ больше

зависят от характера потока, чем от физических свойств вещества. Коэффициенты турбулентного обмена очень сильно различаются

по разным направлениям относительно осредненного движения. Обычно вертикальные пульсации гидрологических характеристик меньше горизонтальных из-за устойчивой плотностной стратификации, поэтому горизонтальные турбулентные потоки при этих условиях больше вертикальных. Кроме того, из-за осреднения вертикальные градиенты субстанций больше горизонтальных. Все это приводит к тому, что резко различаются коэффициенты вертикальной и горизонтальной турбулентности: первые меньше вторых. Например, отношение коэффициентов горизонтальной KTL и

вертикальной температуропроводности можно представить в виде

Если полагать, что произведения пульсаций в числителе и знаменателе одинаковы, то вертикальный градиент температуры примерно на 3-4 порядка величины больше горизонтального. Это означает, что коэффициент горизонтальной турбулентной температуропроводности во столько же раз больше вертикального KTz . Полученная оценка справедлива и для коэффициентов

турбулентной диффузии и вязкости. Различие между коэффициентами турбулентной вязкости и температуропроводности заключается не только в уже изложенном, но и в том, что при взаимодействии хаотически движущихся объемов воды передача количества движения происходит дополнительно за счет разностей давления в этих объемах воды. В приведенных формулах

71

это не учитывается.

Формально коэффициенты турбулентного обмена могут быть определены по формулам