КЗ_КОЛИВАННЯ
.pdf
где А0 – начальная амплитуда; – коэффициент затухания; А0е t – амплитуда затухающих колебаний; циклическая частота затухающих колебаний
20 2 .
Коэффициент затухания:
|
|
r |
– для механических колебаний, где r – коэффициент сопротивления; |
|
|||||
|
2m |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
– для электромагнитных колебаний, где R – сопротивление контура. |
|
|||||
2L |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Добротность системы Q |
0 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A t |
|
|
|
|
Логарифмический декремент затухания ln |
|
T , где A(t) |
и A(t |
||||
|
|
A t T |
|||||||
+ T) – амплитуды двух последовательных колебаний, отвечающих моментам времени,
которые отличаются на период Т.
Если в контур последовательно включена электродвижущая сила (ЭДС)
= m cos( t + 0),
стационарные колебания силы тока описываются уравнением
i Im cos t Ц 0 ,
где амплитуда силы тока Im и разность фаз Ф между ЭДС и силой тока находятся в соответствии с законом Ома для переменного тока:
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im = |
|
, |
tgЦ |
C |
, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z |
R |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Z R |
|
|
L |
|
|
|
|
– полное сопротивление контура. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Волны |
|
|
|
|
|
|
Уравнение плоской волны, которая распространяется вдоль положительного |
|||||||||||||||||
направления оси х: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x,t Acos t kx 0 , |
|
|
|
|
|
||
где y(x, t) – смещение точки среды с координатой х в момент времени t; |
А – |
||||||||||||||||
амплитуда волны; |
– циклическая частота; |
k = 2 / – волновое число. |
|
|
|||||||||||||
Длина волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
21
хф T ,
где ф – фазовая скорость волны; Т – период колебаний.
Уравнение плоской электромагнитной волны:
|
|
|
E E0 cos t kx 0 ; |
|
|
|
H H0 cos t kx 0 , |
|||||||||||
гдеE0 |
и |
H0 – соответственно |
амплитуды |
напряженности электрического и |
||||||||||||||
магнитного полей волны; – циклическая частота; k – волновое число. |
||||||||||||||||||
Фазовая скорость распространения электромагнитных волн в среде |
||||||||||||||||||
|
|
|
хф |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
c |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где c 1 |
0 |
0 |
– скорость электромагнитной волны |
в вакууме; 0 и 0 – соответственно |
||||||||||||||
электрическая и магнитная постоянные; |
и |
|
– относительные электрическая и магнитная |
|||||||||||||||
проницаемости среды.
Связь между мгновенными значениями напряженности электрического и магнитного
полей
0 E 
0 H .
Плотность потока электромагнитной энергии (вектор Умова–Пойнтинга)
P [E H] .
Среднее значение вектора Умова–Пойнтинга определяет интенсивность волны:
P = E0 H0/2.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Пример 1 Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 25 мГн и
конденсатора. Сила тока в контуре изменяется по закону i = Imcosω0t, где Im= 20
мА и ω0 = 104 1/с. 1) Получить уравнение изменения со временем заряда на обкладках конденсатора и напряжения на конденсаторе. 2) Определить полную энергию колебаний в контуре.
Дано:
Im= 20 мА = 0,02 А ω0 = 104 1/с
L = 25 мГн = 0, 025 Гн
22
q(t), uC(t), W– ?
Решение:
1. Уравнение изменения заряда со временем можно получить, воспользовавшись определением мгновенного значения силы тока
i dq , dt
откуда q idt. Подставим в это выражение заданное уравнение силы тока и проинтегрируем:
|
q Im cos( 0t)dt ; |
q |
Im |
sin 0t |
(1) |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
Напряжение и заряд на обкладках связаны соотношением |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
uC |
|
q |
, |
(2) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|||
где С – электроемкость конденсатора. Электроемкость можно найти по формуле, |
||||||||||||||
связывающей циклическую частоту с параметрами контура, |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
LC |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
откуда |
C |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
02L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L – индуктивность контура. Подставив в формулу (2) полученное выражение для С и
уравнение (1) изменения заряда, получим уравнение напряжения на конденсаторе
uC 0LIm sin 0t. (4) 2. Полная энергия колебаний в контуре равна сумме энергии электрического поля в
конденсаторе и энергии магнитного поля в катушке
|
Cu2 |
|
Li2 |
||
W = WЭ + WМ = |
|
C |
|
|
. |
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
||
Подставив выражение для С из формулы (3), уравнение (4) изменения uC и заданное уравнение силы тока, получим
|
W |
1 |
|
02LIm2 |
sin2 0t |
LI02 |
|
cos2 |
0t |
|||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
02L |
|
|
|
|
|
||||
|
|
LI2 |
|
(sin2 |
0t cos2 0t) |
|
LI2 |
|
|
|
||
или |
W |
m |
|
m |
. |
(5) |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
23
Проверим, дает ли правая часть уравнения (1) единицу заряда (Кл), уравнения (4)
единицу напряжения (В) и формулы (5) единицу энергии (Дж).
[q] |
[Im ] |
|
A |
A c Кл; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
[ ] |
c 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
[uC] [ 0 ] [L] [Im ] c 1 Гн А |
Вб А |
|
Тл м2 |
|
Н м |
|
Дж |
В; |
||||||||
|
с |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
А м с Кл |
||||||
[W] [L] [Im2 ] Гн А2 |
Вб А2 |
|
Тл м2 А |
Н м2 А |
Н м Дж. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
А м |
|||||||
Подставив числовые значения, запишем уравнения изменения q и uC с числовыми
коэффициентами и вычислим полную энергию колебаний в контуре
q0,02sin104t 2 10 6 sin104t КК; 104
uC 104 2,5 10 2 0,02sin104 t 5sin104t B;
W 2,5 10 2 0,022 5 10 6 Дж. 2
Ответ:q 2 10 6 sin(104 t)Кл; uC 5sin(104 t) B; W 5 10 6 Дж.
Пример 2 Колебательный контур состоит из конденсатора, катушки индуктивностью
L = 2 мГн и резистора. В начальный момент времени заряд на обкладках конденсатора максимален и равен q(0) = 2 мкКл. Период колебаний Т = 1 мс, логарифмический декремент затухания δ = 0,8. 1) Записать уравнение колебаний заряда с числовыми коэффициентами. 2)
Определить емкость конденсатора и сопротивление резистора.
Дано:
L = 2 мГн = 0,002 Гн q(0) = 2 мкКл = 2·10-6 Кл Т = 1мс=10=3 с
δ = 0,8
q(t), С, R– ?
Решение:
1. Колебания в контуре будут затухающими. Запишем уравнение затухающих
колебаний заряда в общем виде
q q0e t cos( t), |
(1) |
|
24 |
где q0 – начальная амплитуда заряда, β – коэффициент затухания; ω - циклическая частота затухающих колебаний.
Циклическая частота связана с условным периодом затухающих колебаний Т соотношением
|
2 |
. |
(2) |
|
Т
Начальную фазу φ0 найдем, записав уравнение (1) для начального момента времени t
= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
q(0) q0 cos 0 , |
Откуда |
0 |
arccos |
q(0) |
arccos(1) 0. |
|
||||
|
|
|
q0 |
|
Логарифмический декремент затухания
T ,
откуда коэффициент затухания
|
(3) |
. |
Т
Подставим числовые значения в формулы (2) и (3)
|
|
2 |
2 103 с 1; |
|
0,8 |
800с 1. |
|
10 3 |
10 3 |
||||||
|
|
|
|
|
Запишем уравнение колебаний заряда с числовыми коэффициентами
q 2 10 6 e 800t cos(2 t) КК.
Для определения емкости конденсатора С и сопротивления резистора R запишем формулы, связывающие коэффициент затухания β и циклическую частоту затухающих колебаний ω с параметрами контура:
|
R |
, |
(4) |
|
|||
|
2L |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 , |
|
|
|||
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где ω0 – циклическая частота незатухающих колебаний, L – индуктивность контура. |
|||||||||||||
Из формулы (4) |
находим сопротивление резистора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R = 2βL. |
|
|
|
|
(6) |
||||||
Из формулы (5) |
находим емкость конденсатора: |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
; |
|||||
|
|
|
|
||||||||||
LC
25
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L( 2 2 ) |
|
|
||||||||
Проверим, дает ли правая часть формулы (6) единицу сопротивления (Ом), а левая |
||||||||||||||||||
часть формулы (7) единицу электроемкости (Ф): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
[R]=[β]·[L] = с-1·Гн = |
Вб |
|
В с |
Ом; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
с А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
с А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
[C] |
1 |
|
|
1 |
|
|
с2 А |
|
с2 А |
|
Кл |
Ф. |
|
|||||
[L] [ 2 2 ] |
Гн с 2 |
Вб |
В с |
|
В |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Выполним вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
R = 2·300·2·10-3= 3,2 Ом; |
|
|
С |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1,25 10 5Ф. |
|
|||||
|
|
2 10 |
3 |
2 6 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 10 |
|
800 ) |
|
|||||
Ответ:q 2 10 6 e 800 t cos(2рt) КК, С 1,25 10 5Ф, R = 3,2 Ом. |
|
|||||||||||||||||
Пример 3. В цепь колебательного контура, состоящего из последовательно |
||||||||||||||||||
соединенных катушки резистора сопротивлением R = 100 Ом, конденсатора емкостью С = |
||||||||||||||||||
10 мкФ и катушки индуктивностью L = 0,2 Гн, включена внешняя переменная ЭДС. |
||||||||||||||||||
Напряжение на конденсаторе изменяется со временем по закону uC = UmC cos(Ωt), где |
UmС |
|||||||||||||||||
=20 B, Ω = 103 1/c. |
|
|
|
1) Записать уравнения изменения силы тока в контуре, |
||||||||||||||
напряжения на активном сопротивлении, напряжения на индуктивности и ЭДС, включенной
в контур. |
2) Построить векторную диаграмму напряжения. |
|
Дано: |
|
|
|
|
|
R = 100 Ом |
|
|
С = 10 мкФ = 10-5 Ф |
|
|
L = 0,2 Гн |
|
|
uC(t) = UmС cos(Ωt) |
|
|
UmС = 20 B |
|
|
Ω = 103 1/c |
|
|
t1 = T/8 |
|
|
|
|
|
i(t), uR(t), ul(t), uC(t), ε(t).– ? |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
Подставив численные значения в заданное уравнение колебания напряжения на конденсаторе, получим:
uС(t) = 20cos(103 t)В.
26
Мгновенное значение силы тока в в контуре определяется производной заряда по времени
i dq ; dt
заряд связан с напряжением на конденсаторе и его емкостью соотношением q = CuС(t).
Подставим в последнюю формулу заданное уравнение uC(t) и продифференцируем полученное выражение по времени
i(t) = [CUmC cos(Ωt)] t = –CΩUmCsin(Ωt)=CΩUmCcos(Ωt + /2) = Imcos(Ωt + /2),(1)
где Im = CΩUmC = UmC /XC – амплитуда силы тока в контуре. Подставим числовые значения и вычислим Im:
Im = 10-5·103·20 = 0,2 А. |
|
Запишем уравнение колебаний силы тока в контуре с числовыми коэффициентами |
|
i(t) = 0,2 cos(103 t + /2) А. |
(2) |
Таким образом, сила тока в контуре опережает по фазе напряжение на конденсаторе
на π/2.
Напряжение на активном сопротивлении в соответствии с законом Ома uR(t) = R i(t) = R Im cos(Ωt + /2) = UmR cos(Ωt + /2),
где UmR = RIm – амплитуда напряжения на активном сопротивлении. Подставим числовые значения величин
UmR = 100·0,2 =20В;
uR(t) = 20 cos(103 t + /2) B.
Колебания uR происходят в одной фазе с колебаниями тока в контуре.
Напряжение на индуктивности определяется напряжением uL L |
di |
. |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
Подставим выражение для i(t) из формулы (1) и продифференцируем по времени: |
|
|||||||
|
uL(t)=[LIm cos(Ωt+ /2)] t=–ΩLImsin(Ωt+ /2)=UmLcos(Ωt+ /2+ /2)=UmLcos(Ωt+ ), |
|||||||
где UmL = ΩLIm = XLIm – амплитуда напряжения на индуктивности. Подставим |
||||||||
числовые значения и выполним вычисления: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
UmL = 0,2·103·0,2 = 40 |
В; |
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) = 40cos (103 t + ) В. |
|
|
(4) |
||
Колебания uL опережают по фазе колебания тока i на π/2 и опережают колебания uС на |
||||||||
π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
того, |
чтобы |
записать |
уравнение |
изменения |
внешней |
ЭДС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
m cos( t 0i ), нужно определить амплитуду ЭДС и ее начальную фазу.
Соотношение между амплитудой ЭДС и амплитудой силы тока выражает закон Ома для амплитуд переменного тока
|
2 |
|
1 |
|
2 |
m ImZ Im R |
|
|
|
L |
, |
|
С |
||||
|
|
|
|
|
где Z – полное сопротивление цепи переменному току.
Колебания ЭДС и силы тока в контуре происходят с разностью фаз, определяемой формулой
|
L |
1 |
|
|
|
tg |
C |
, |
|||
|
|||||
R |
|
||||
|
|
|
|
||
где Φ = φε - φi – разность фаз ЭДС и тока. |
|
|
|
||
Тогда начальная фаза ЭДС |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
L |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 0i |
arctg |
C |
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
R |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (2) начальная фаза силы тока φ0i = π/2. Подставим числовые значения и |
|||||||||||||
найдем m и 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m = 0,2 100 |
2 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
0,2 10 |
|
|
|
|
|
|
28,2 В; |
|||||
|
|
103 10 5 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0,2 103 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 10 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
arctg |
|
10 |
|
|
arctg1 |
|
|
. |
|||||||
|
|
100 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
4 |
4 |
|
||||||||
Запишем уравнения ЭДС с числовыми коэффициентами: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(t) = 28,8 cos (103 t + 3 /4) В. |
|
|
|
(5) |
|||||||||
2 Для построения векторной диаграммы в момент времени t=0 запишем выражения для напряжений в этот момент времени не рассчитывая значение косинуса:
uС(t) = 20 cos(103t) = 20 cos(0) В;
uR(t) = 20 cos(103t + /2) = 20 cos( /2) B; uL(t) = 40 cos(103t + ) = 40 cos( ) В;
(t) = 28,8 cos(103t + 3 /4) = 28,8 cos(3 /4).
28
Далее проведем опорную ось (штриховая линия на рисунке 2) и ось к опорной под углом, равным начальной фазе колебаний.
Затем проведем вдоль оси вектор, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде этого колебания. Если выбрать масштаб 10 В/см, то длина вектора,
представляющего колебание напряжения на
конденсаторе, будет равна 2 см (амплитуда
Рисунок 2 -
UmС = 20 B), направлен этот вектор вдоль опорной оси (начальная фаза равна нулю).
Аналогично строим векторы, представляющие колебания напряжения на активном сопротивлении и на индуктивности. При этом, если начальная фаза положительна, то угол отклонения соответствующего вектора от опорной оси откладываем против часовой стрелки.
Сложив эти три вектора, получим вектор, изображающий ЭДС. Начальная фаза ЭДС на векторной диаграмме получилась равной 3π/4, что соответствует уравнению (5).
Ответ: i(t) = 0,2 cos(103 t + /2) А; uС(t) = 20cos(103 t) В; uR(t) = 20 cos(103 t + /2) B; uL(t) = 40cos(103 t + )В; (t) = 28,8cos(103 t+3 /4)В.
Пример 4 В однородной изотропной немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью ε = 9 вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна.
Изменение |
напряженности |
магнитного |
поля |
описывается |
уравнением |
H H0 cos( t kx), где Н0 = |
0,02 А/м. Период колебаний Т = 1 мкс. |
1) Записать |
|||
уравнения изменения напряженности электрического поля и напряженности магнитного поля с числовыми коэффициентами. 2) Определить интенсивность волны.
Дано:
Н0 = 0,02 А/м Т =1 мкс = 10-6 с
ε = 9 μ = 1
H H0 cos( t kx)
Найти: Н(x, t), Е(x, t), I.– ?
Решение:
1. Чтобы записать уравнение напряженности магнитного поля Н, нужно определить
29
циклическую частоту ω и волновое число k по формулам |
|
||||
|
2 |
; |
(1) |
||
|
|
||||
|
Т |
|
|||
k |
2 |
. |
(2) |
||
|
|||||
|
|
|
|
||
Период Т задан в условии, длина волны λ в соответствии с определением равна |
|
||||
хф T , |
(3) |
||||
где ф – фазовая скорость электромагнитной волны. В среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ скорость ф определяется по формуле
хф |
|
|
с |
|
, |
(4) |
|
|
|
|
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
где с = 3 108 м/с – скорость электромагнитной волны в вакууме.
Подставим в формулу (2) выражение для λ из формулы (3) и ф из формулы (4):
k |
2 |
|
2 |
. |
(5) |
хфT |
|
||||
|
|
cT |
|
||
Колебания напряженности электрического и напряженности магнитного поля в бегущей электромагнитной волне происходят в одинаковой фазе. Поэтому изменение напряженности электрического поля описываются уравнением
E E0 cos( t kx),
где Е0 – амплитуда напряженности электрического поля волны.
В бегущей электромагнитной волне мгновенные значения Е и Н в любой точке связаны соотношением
0 Е 
0 Н ,
где ε0 – электрическая постоянная, μ0 – магнитная постоянная.
Тогда для амплитуд напряженности электрического и магнитного полей волны можно записать
0 Е0 
0 Н0,
откуда |
Е0 |
0 |
Н |
0 . |
(5) |
||
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правая часть формулы (1) дает единицу измерения циклической частоты (1/с);
проверим, дает ли правая часть формулы (5) единицу волнового числа (1/м), а правая часть формулы (6) единицу напряженности электрического поля (В/м).
30