Сигнали електрозв’язку- навчальний посібник з вивч

Дисперсія процесу

КФ ергодичного процесу визначається

Два процеси X(t) і Y(t) називаються спільно ергодичними, якщо усереднення функцій від них по ансамблю приводить до того ж результату, що й усе-

реднення за часом. Взаємна кореляційна функція спільно ергодичних процесів

може бути визначена

Для рішення багатьох практичних задач досить розглядати лише середні

значення, дисперсії й КФ. Теорії, які обходяться лише цими характеристиками,

називаються кореляційними теоріями. У рамках кореляційної теорії природ-

но вважати стаціонарними такі випадкові процеси, у яких середнє значення й ди- сперсія процесу не залежать від часу, а КФ залежить лише від τ. Такі випад-

кові процеси називаються стаціонарними в широкому сенсі.

3.4 Спектральна густина потужності стаціонарного випадкового процесу

При вивченні детермінованих сигналів для спектрального аналізу використовується перетворення Фур'є. Можна спробувати знайти перетворення Фур'є від k-ої реалізації процесу xk(t) і знайти її спектральну густину як межу

Однак спроба може виявитися безуспішною, оскільки при T ® ¥ немає гарантії, що k-а реалізація задовольняє умові абсолютної інтегруємості. Якби межа інтеграла (3.32) для k-ї реалізації й існувала, то вона була б спектральною характеристикою лише k-ї реалізації, а не процесу в цілому.

Можна показати, що

де пряма лінія означає усереднення по ансамблі реалізацій. Співвідношення (3.33) є не що інше, як перетворення Фур'є від КФ процесу. Оскільки КФ характеризує процес у цілому, те й ліва частина в (3.33) є спектральною характеристикою всього процесу. Її позначають як GX(w).

Фізичний зміст функції GX(w) легко з'ясувати, якщо врахувати, що ½Sk(jw)½2 відповідно до рівності Парсеваля (2.45) характеризує розподіл енергії

43

процесу по частоті. У результаті ділення цієї функції на T одержимо розподіл потужності процесу по частоті.

Співвідношення (3.33) можна переписати у вигляді прямого й зворотного перетворень Фур'є

На підставі (3.34) можна записати

Нам вже відома властивість КФ KX(0) = PX, враховуючи її, стверджуємо,

що функція GX(ω) дійсно характеризує розподіл потужності процесу по час-

тоті на інтервалі (−∞, ∞), а значення функції GX(ω) або GX(f) дорівнює потужності процесу в смугах в 1 Гц навколо частот +f і −f. У зв’язку зі сказаним функцію GX(ω) називають спектральною густиною потужності процесу (СГП). Та-

ким чином, спектральна густина потужності й кореляційна функція стаціо- нарного випадкового процесу зв'язані перетвореннями Фур’є. Це твердження відоме як теорема Хінчина-Вінера. Розмірність СГП В2/Гц, вона збігається з розмірністю енергії й, напевно тому, іноді функцію GX(ω) називають енергетичним спектром процесу.

Оскільки функції KX(τ) і GX(ω) парні, то замість пари перетворень (3.34) можна записати пару косинус-перетворень Фур’є, які, як правило, більш прості в обчисленнях, ніж співвідношення (3.34)

Знаючи функцію GX(ω), можна визначити ширину спектра процесу тими самими способами, що і ширину спектра детермінованого сигналу, наприклад, як протяжність області додатних частот, поза якою значення функції не перевищують значення 0,1max{GX(ω)}. Якщо спектр примикає до нуля, то ширину спектра визначають величиною Fmax (рис. 3.4, а), а якщо спектр смуговий, то ширину спектра визначають величиною F (рис. 3.4, б).

Оскільки функції GX(ω) і KX(τ) зв’язані перетворенням Фур’є, то відповідно до властивості перетворенням Фур’є зміни масштабу ω і τ, чим менший інтервал кореляції процесу, тим ширший спектр процесу й навпаки. Інакше кажу-

чи, інтервал кореляції й ширина спектра процесів обернено пропорційні величи- ни, а їх добуток є величиною порядку 0,5:

τкFmax = 0,5.

44

Рисунок 3.4 – Визначення ширини спектра процесу:

а– спектр примикає до нульової частоти; б – смуговий спектр

3.5Гауссів випадковий процес

Найбільш часто в теорії й техніці зв'язку зустрічається так званий гауссів

(або нормальний) випадковий процес. Випадковий стаціонарний процес X(t) на- зивається гауссовим, якщо його одновимірна й двовимірна густини ймовірно-

сті визначаються наступними виразами

го стаціонарного процесу, досить знати лише його КФ. Таким чином, нормальні стаціонарні процеси можуть відрізнятися один від іншого видами КФ й, відповідно, СГП.

Одновимірна функція розподілу ймовірностей нормального процесу на-

ступна

– гауссова Q-функція або доповнення до функції розподілу ймовірностей. Графіки функцій (3.39) і (3.40) наведені на рис. 3.5.

Рисунок 3.5 – Гауссів розподіл:

а – функція розподілу ймовірностей; б – густина ймовірності

Гауссів смуговий процес зручно представити через квадратурні складові

X (t) = A(t) cos(ω0 t + Φ(t)) = Ac (t) cos ω0 t + As (t) sin ω0 t = X c (t) + X s (t) , (3.41)

де A(t) і Φ(t) – обвідна і фаза процесу;

Xc(t) і Xs(t) – квадратурні складові процесу;

ω0 – деяка частота, що належить смузі частот процесу X(t).

Квадратурні складові – некорельовані процеси, що мають гауссів розподіл імовірностей, їхні дисперсії однакові й дорівнюють половині дисперсії процесу X(t).

Обвідна A(t) і фаза Φ(t) також є некорельованими процесами. Обвідна A(t)

має релеєвський розподіл імовірностей (рис. 3.6)

D[ A(t)] = (2 − π / 2)σ2 , середня потужність PA = 2σ2.

Фаза Φ(t) має рівномірний розподіл імовірностей на інтервалі (0, 2π) (рис. 3.7)

У ідеального ФНЧ шумова смуга фільтра Fш = Fзр.

Щодо розподілу ймовірностей процесу, що пройшов через лінійне коло,

відомо наступне. Якщо на вході лінійного кола процес гауссів, то вихідний про- цес також гауссів – вид розподілу не змінюється, змінюються тільки його па- раметри. Якщо на вході кола процес не гауссів, то вид розподілу змінюється, і вихідний процес має розподіл імовірностей більш близький до гауссового, ніж

розподіл вхідного процесу.

Фільтрація є вузькосмуговою, якщо смуга пропускання кола значно ме-

нша ширини спектра вхідного процесу. При вузькосмуговій фільтрації має місце явище нормалізації процесу, що полягає в наступному – незалежно від виду

розподілу вхідного процесу, розподіл імовірностей процесу на виході кола є га-

уссовим. Доказ цього явища базується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей.

3.8 Перетворення випадкових процесів нелінійними електричними колами

Тут розглядаються лише безінерційні електричні кола, тобто такі, ре-

акція яких на дію миттєво припиняється після її закінчення. Коло називається нелінійним, якщо для нього не виконується принцип суперпозиції. Варто відзначити, що присутність одного нелінійного елементу робить усе електричне коло нелінійним.

При дослідженні проходження X(t) Y(t) випадкових процесів через нелінійні безінерційні кола вважається, що відомі статистичні характеристики вхідного процесу X(t) і залежність y = f(x) між миттєвими значеннями вхідного й вихідного процесів. Необхідно знайти

характеристики вихідного процесу Y(t) (рис. 3.11).

Найпоширенішою функцією f(x) для опису нелінійних перетворень є полі- ном степеня n

де a0, a1, a2,..., an – коефіцієнти полінома.

Коефіцієнти й степінь поліному визначаються в результаті апроксимації характеристики реального електричного кола або виходячи з деяких припущень. Крім поліноміальної залежності (3.54) використовуються й інші залежності.

Кожна із складових (3.54) вносить свій внесок у формування значень реакції нелінійного кола на вхідну дію. Так, a0 описує появу постійної складової при х = 0; a1x – лінійний доданок, що забезпечує пропорційне відображення

50

значень х в y; a2x2 – квадратичний доданок, a3x3 – кубічний доданок і т.д. забезпечують внески, пропорційні х2, х3 і т.д.

Найпростіша дія – гармонічне коливання x(t) = A1cos2pf1t. У цьому випадку сигнал на виході нелінійного кола буде наступним:

де Y0 – постійна складова реакції;

Y1, Y2, ..., Yn – амплітуди першої, другої, ..., n-ї гармонік реакції.

Таким чином, реакція на гармонічну дію містить постійну складову й га- рмоніки частоти дії – це принципово відрізняє нелінійні кола від лінійних, у яких

нові складові не виникають.

У випадку бігармонічної дії

підхід до визначення реакції такий самий, як і використаний вище – вираз для x(t) підставляється в поліном (3.54). При зведенні суми (3.57) у квадрат, куб і т.д. з’являться степені косинусоїд частот f1 і f2, що після перетворень дає вираз виду (3.56) для коливань частот f1 і f2. Але з’являються ще й добутки косинусоїд і їхніх степенів. Добуток косинусоїд приводить до появи складових сумарних і різницевих частот.

У загальному випадку будуть мати місце складові комбінаційних час-

тот

де p, q – цілі числа 0, 1, 2, ..., але такі, що p + q £ n. Їхня сума N = p + q назива-

ється порядком комбінаційної частоти.

Так, якщо n = 3, то в спектрі реакції можуть бути складові частот f1, f2, 2f1, 2f2, ½f1±f2½, 3f1, 3f2, ½2f1 ± f2½, ½f1 ± 2f2½ і постійна складова. Амплітуди складо-

вих залежать від амплітуд А1 і A2 і коефіцієнтів полінома (3.54). Якщо амплі-

туди і фази складових дії на коло є випадковими, то, відповідно, випадковими будуть амплітуди і фази складових на комбінаційних частотах реакції.

Визначити СГП вихідного процесу GY(f) можна в такий спосіб: визначити спочатку КФ вихідного процесу KY(t), а потім виконати над нею перетворення Фур’є. Виходячи з визначення КФ

де f(x) – функція, що описує нелінійне коло;

р2(х1, х2, t) – двомірна густина імовірності вхідного процесу.

При проходженні випадкового процесу через нелінійне коло вид розподілу миттєвих значень істотно змінюється.