Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия связи им. А.С. Попова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сигнали електрозв’язку- навчальний посібник з вивч

.pdf

Скачиваний:

163

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

1.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

jϕ( ω) .

ють числом Fmax. Визначивши Fmax, уважають, що сигнал не містить частот вище Fmax у тому розумінні, як це оговорено в умові визначення ширини спектра.

Спектральне подання періодичного сигналу можна виконати, використовуючи експонентні базисні функції

ψ	n	(t) = e j 2πnf1t , n = ..., –1, 0, 1, 2, ...
	n
При цьому ряд записується
		∞
		s(t) = ∑ cn e j 2	πnf1t .	(2.38)

n=−∞

Таке розкладання сигналу називається рядом Фур'є в комплексній формі. Коефіцієнти розкладання визначаються

	=	1	T / 2
cn			∫ s(t)e− j 2πnf1t dt , n = ..., –1, 0, 1, 2, ...	(2.39)

	T		−T / 2

Легко переконатися, що

c		=	an	− j	bn	=	An	e jϕn .
	n
		2		2		2

Особливістю ряду Фур'є в комплексній формі є компактний запис ряду й коефіцієнтів розкладання. Іншою особливістю є використання від’ємних частот.

Спектри, що відповідають ряду (2.38), називаються двосторонніми. Дільник 2 в останньому виразі пов'язаний саме з тим, що двосторонній спектр містить удвічі більше складових.

2.6 Спектральний аналіз неперіодичних сигналів

Співвідношення

∞		1	∞
S ( jω) = ∫ s(t)e− jωt dt і	s(t) =		∫ S ( jω)e jωt dω	(2.40)
		2π
−∞			−∞
становлять пару перетворень Фур’є –	пряме й зворотне перетворення. Функ-

ція S(jω) називається спектральною густиною сигналу. У загальному випадку спектральна густина S(jω) є комплексною функцією. Вона визначається на інтервалі (−∞, ∞). Представимо її через модуль і аргумент S ( jω) = S (ω)e

Функція S(ω) називається амплітудним спектром сигналу, а функція ϕ(ω) – фазовим спектром сигналу. Функція S(ω) – парна функція частоти, тому зазвичай на графіках цю функцію зображують для невід’ємних частот (рис. 2.6). Ширину спектра неперіодичного сигналу Fmax визначають аналогічно визначенню ширини спектра періодичного сигналу.

Багато сигналів мають парну симетрію (це досягається шляхом відповідного вибору початку відліку часу). У таких сигналів спектральна густина – дійсна функція

∞

S (ω) = 2∫ s(t) cos ωtdt .

У силу парності функції S(ω) зворотне перетворення Фур'є

s(t) = 1	∞
	∫ S (ω) cos ωtdω .

π 0

(2.41)

(2.42)

Останні два інтеграли становлять пару косинус-перетворень Фур'є. Принципова відмінність спектрів полягає в тому (рис. 2.5 і 2.6), що у не-

періодичного сигналу спектр суцільний, а у періодичного – дискретний, він міс-

тить гармоніки частоти f1 = 1/T.

Перехід від ряду Фур'є до перетворення Фур'є здійснюють шляхом припущення, що неперіодичний сигнал є умовно періодичним з періодом Т→0, тоді частота вже не є дискретною і стає неперервним параметром перетворення (2πnf1→ω), знак суми перетворюється в знак інтегралу.

У ряді випадків корисним є використання дельта-функції (одиничного імпульсу) δ(t). Спектральна густину дельта-функції δ(t – t0)

( jω) = e− jωt0 , (при t0 = 0			(jω) = 1).		(2.43)
Використовується також дельта-функція у частотній області δ(ω – ω0),
зворотне перетворення Фур’є якої
1		∞	1	e jω0t .
		∫ δ(ω − ω0 )e jωt dω =			(2.44)
	2π
		−∞	2π

Тобто, 2πδ(ω – ω0) є спектральною густиною комплексної експоненти e jω0t .

Використовуючи приведені вище властивості дельта-функції, можна знайти спектральну густину гармонічного коливання s(t) = Acos(ω0t + ϕ0)

S ( jω) = Aπ[δ(ω − ω0 )e jϕ0 + δ(ω + ω0 )e− jϕ0 ] .

(2.45)

Таким чином, використання дельта-функції дозволяє визначати спектральну густину періодичного сигналу, який не задовольняє умові абсолютної інтегруємості.

Апарат перетворення Фур'є є досить ефективним математичним засобом для рішення багатьох задач теорії й техніки зв’язку. Відзначимо лише деякі найбільш використовувані властивості перетворення Фур'є.

1. Добуток двох сигналів (загальний випадок):

				s(t) = s1 (t)s2 (t),
S ( jω) = S1 ( jω) S2	( jω) =	1	∞ S1	( jν)S2	( j(ω − ν))dν =	1	∞ S	2 ( jν)S1 ( j(ω − ν))dν

		2π ∫				2π ∫		(2.46)
			-∞				-∞

–множенню сигналів у часовій області відповідає згортка їхніх спектрів.

2.Згортка сигналів

∞ ∞

s(t) = s1 (t) * s2 (t) = ∫ s1 (t)s2 (t - t)dt = ∫ s2 (t)s1 (t - t)dt,

-∞ -∞

S ( jw) = S1 ( jw) × S2 ( jw). 3. Розрахунок енергії сигналів

∞	1	∞
Es = ∫\| s(t)\|2 dt =		∫\| S ( jω)\|2 dω
	2π
−∞		−∞

–це співвідношення називається рівністю Парсеваля.

4.Скалярний добуток сигналів:

(2.47)

(2.48)

∞			1	∞
(s1 , s2 ) = ∫ s1 (t)s2 (t)dt;	(s1	, s2 ) =		∫ S1 ( jω)S2 ( jω)dω .	(2.49)

-∞			2π -∞

Прирівнюючи останнє співвідношення до нуля, одержимо умову ортогональності сигналів, заданих спектральними густинами.

2.7 Спектральне представлення дискретних сигналів

Нагадаємо, що відповідно до класифікації сигналів, наведеної у підрозд. 2.1, сигнал називається дискретним, якщо кількість значень t, у які сигнал заданий, скінчена або значення t можна пронумерувати. Звичайно крок за часом, через який сигнал подається, постійний і називається він інтервалом дискретизації Tд. Найчастіше дискретний сигнал з’являється в результаті дискретизації за часом неперервного за часом сигналу, тобто подання його відліками

(рис. 2.7).

Представлення сигналу відліками широко використовується з метою передавання аналогових сигналів цифровими каналами зв’язку, а також для виконання перетворень аналогових сигналів пристроями дискретної та цифрової обробки.

Описом дискретного сигналу є послідовність чисел {s(nTд)}, де n – дис-

кретний час. Часто для зручності послідовність позначають s(nTд), хоча таке ж позначення s(nTд) є значенням послідовності в момент nTд. Ще одним варіантом позначення є відповідний індекс біля позначення сигналу sд (t ).

s(t)

s(nTд)

Тд

2Тд

3Тд

4Тд

5Тд

nTд

Рисунок 2.7: а – неперервний сигнал; б – представлення неперервного сигналу відліками

Над послідовностями так само, як і над аналоговими сигналами, виконують різні арифметичні опе-

рації. Основним математичним

апаратом для аналізу перетворень дискретних сигналів лінійними дис-

кретними й цифровими системами

є апарат лінійних різницевих рівнянь і z-перетворення. Цей математичний апарат викладено у відповідній літературі.

Для теорії й техніки зв’язку важливими є спектральні характери-

стики дискретного сигналу. Спектральну густину дискретного сигналу визначають за допомогою перетворення Фур’є, вважаючи, що дискретний сигнал представлений δ-імпульсами (рис. 2.7, б)

sд (t ) = ∑∞	s(nTд )δ(t − nTд ).	(2.50)
n=−∞
Знайдемо перетворення Фур’є дискретного сигналу s(nTд), для чого під-
ставимо (2.50) у (2.40). Спектральна густина дискретного сигналу
∞	∑∞ s(nTд )δ(t − nTд )e− jωt dt .
Sд( jω) = ∫		(2.51)
−∞ n =−∞
Змінюючи порядок інтегрування й підсумовування та враховуючи фільт-
руючу властивість дельта-функції, отримаємо
Sд ( jω) = ∑∞ s(nTд )e− jωnTд .		(2.52)
n = −∞

Співвідношення (2.52) визначає спектр дискретного сигналу s(nTд). Оскі-

льки функції e− jωnTд періодичні за частотою ω з періодом 2π/(nTд), то з останнього виразу видно, що функція Sд(jω) періодична в частотній області з періодом 2π/Tд. Вираз (2.52) за виглядом збігається з виразом (2.38) для подання періодичної функції часу рядом Фур’є в комплексній формі. Розглядаючи (2.52) як розвинення функції Sд(jω) в ряд Фур’є, слід вважати, що значення s(nTд) є коефіцієнтами розвинення функції в ряд. Використаємо вираз (2.39) для розрахунку коефіцієнтів розвинення:

s(nTд )=	Tд	π Tд
	Tд	∫ Sд( jω)e jωnTд dω.	(2.53)
	2π	∫ Sд( jω)e jωnTд dω.	(2.53)
	2π	−π T
		д

Співвідношення (2.52) і (2.53) називаються відповідно прямим і зворот-

ним перетворенням Фур’є послідовності або дискретного сигналу s(nTд).

Обчислення спектра послідовності s(nTд) за допомогою виразу (2.52) припускає складання нескінченного числа членів. Реально для аналізу спектра дискретного сигналу використовують послідовності скінченої довжини N (тривалості NTд). Припустимо, що послідовність періодично повторюється з періодом NTд. Як відомо, спектр періодичного сигналу містить лише складові з частотами kf1 =k/(NTд) (k називають цифровою частотою). Тому в співвідношенні (2.52) замість ω слід писати 2πkf1 = 2πk/(NTд). Перепишемо (2.52) в загальноприйнятому вигляді

N −1	2π
	− j N	kn .
S(k ) = ∑ s(n)e			(2.54)

n =0

Щоб виразити s(n) через S(k), помножимо обидві частини рівності (2.54)

2π

на e

і просумуємо по k

N −1

2π

−1N −1

2π

∑ S (k )e j

N km

= ∑ ∑ s(n)e− j N kne j N km .

(2.55)

k =0

k =0 n =0

Змінюючи в правій частині порядок підсумовування, розглянемо суму

N −1

− j

2π

k (n −m)

при

n = m,

∑ e

n ¹ m.

(2.56)

k =0

при

Справді, у випадку n = m e0 = 1 і сума дорівнює N. У випадку n ¹ m сума

відліків

комплексної експоненти

на

інтервалі

зміни її аргументу,

рівному

½n –

m½ періодів, дорівнює нулю.

З врахуванням (2.56) для правої частини (2.55) справедлива рівність

N −1

− j

2 π

k (n−m )

= N × s(m).

(2.57)

∑ s(n)e

n=0

Підставляючи (2.57) в (2.55) і переходячи до n замість m, одержимо

s(n) =

N −1

(k )e

2π

∑ S

N .

(2.58)

N k =0

− j

2π

Вводять позначення WN = e

N . Тоді співвідношення (2.54) і (2.58) за-

пишуться

N −1

S(k ) = ∑ s(n)WNkn ;

(2.59)

n =0

N −1

s(n) =

∑ S(k )WN− kn .

(2.60)

N k =0

Співвідношення (2.59) і (2.60) є відповідно прямим і зворотним дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ). ДПФ передбачає періодичність дискретного сигналу з періодом NTд. Періодичним є і спектр цього сигналу з періодом 2p/Тд так само, як і спектр неперіодичного дискретного сигналу. Програмно пряме і зворотне ДПФ реалізують за алгоритмом швидкого дискретного перетворення Фур’є (FFT – Fast Fourier Transform), який дозволяє суттєво скоротити час обчислення у порівнянні з безпосереднім використанням виразу ДПФ.

Якщо ДПФ застосовано для сигналу, що насправді не є періодичним, то його результат є вірним для діапазону частот (0, p/Тд), а результати для (p/Тд, 2p/Тд) відповідають значенням з (– p/Тд, 0).

2.8 Теорема й ряд Котельникова

Теорема В.О. Котельникова стверджує: сигнал s(t), який не містить час-

тот вищих Fmax, може бути точно відновлений за відліками, узятими через інтервал Tд ≤ 1/(2Fmax), Tд – інтервал дискретизації, fд = 1/Tд – частота дискретизації.

Оскільки для будь-якого реального сигналу можна вказати значення максимальної частоти спектра, то можна вважати, що теорема Котельникова може бути застосована до всіх реальних сигналів.

Для доказу теореми розглянемо дискретний сигнал, що описується формулою (2.50) і є послідовністю відліків s(nTд). Представлення дискретного сигналу за допомогою дельта-функцій можна дати і в іншій формі

∞
sд (t) = s(t) ∑δ(t − nTд ) .	(2.61)

n=−∞

Співвідношення (2.50) і (2.61) еквівалентні, оскільки значення суми дель- та-функцій відмінні від нуля тільки в моменти часу t = nTд.

Спектральна густина добутку сигналів дорівнює згортці спектральних густин співмножників – формула (2.47). Спектральну густину неперервного сигналу позначимо S(jω). Оскільки сума дельта-функцій є періодичний сигнал з періодом Tд, то представимо її рядом Фур’є в комплексній формі:

	∞		− nTд ) =		∞		− j 2πmt / Tд ,
	∑ δ(t			∑ cm e				(2.62)
	n=−∞			m=−∞
			Tд / 2
де	cm =	1	∫ δ(t)e j2πmt / Tд dt = 1/ Tд .					(2.63)

	Tд −T / 2
			д
	∞				1	∞
	∑δ(t − nTд )			=		∑e− j 2πmt / Tд		(2.64)

	n=−∞				Тд m=−∞

Спектральна густина комплексної експоненти e − j 2πmt / Tд згідно (2.44) дорівнює 2πδ(ω + 2πm/Tд), і спектральна густина суми дельта-функцій (2.64) запишеться

	2π	∞
Sδ (ω) =		∑ δ(ω + 2πm / Tд ) .	(2.65)

	Tд m=−∞

Знайдемо згортку спектральних густин

S ( jω) =	1	∞ S ( jν)S ( j(ω − ν))dν =	1	∞ S (
	2π		T
д		∫		∫
		−∞	д −∞

S(jω) і Sδ(jω)

∞

jν) ∑δ(ω − ν + 2πm / Tд )dν . (2.66)

m=−∞

Змінюючи порядок інтегрування і підсумовування і використовуючи фільтруючу властивість дельта-функції, одержимо

				27
	1	∞
Sд ( jw) =	1	∑ S ( j(w + 2pm /Tд ))		(2.67)
Sд ( jw) =		∑ S ( j(w + 2pm /Tд ))		(2.67)
	Tд m=−∞
або, переходячи до частоти дискретизації fд,
		∞
Sд ( jf ) = fд ∑ S ( j2p( f			+mfд )) .	(2.67а)

m=−∞

Із (2.67а) видно, що спектральна густина дискретного сигналу є періодичне повторення з періодом fд спектральної густини неперервного сигналу, з якого отримано дискретний сигнал шляхом узяття відліків. Сказане ілюструється графічно: на рис. 2.8, а показано амплітудний спектр довільного неперервного сигналу з максимальною частотою спектра Fmax, на рис. 2.8, б показане його періодичне повторення, що відповідає співвідношенню (2.67) – рисунок побудований для випадку Tд < 1/(2Fmax) чи fд > 2Fmax. З рис. 2.8, б видно,

що при fд ³ 2Fmax за дискретним сигналом (відліками) за допомогою ФНЧ мож-

на відновити неперервний сигнал (пунктиром показана АЧХ відновлюючого фі-

льтра). При fд < 2Fmax має місце накладення періодичних повторень спектра

(рис. 2.8, в), і відновити без похибки неперервний сигнал неможливо. Тим самим теорема Котельникова доведена.

У часовій області зв'язок між неперервним і дискретним сигналами опи-

сується рядом Котельникова

s(t) = ∑ s(nTд ) sin 2πFзр (t − nTд )		,	(2.68)
∞
n=−∞	2pFзр (t - nTд )

де Fзр – частота зрізу відновлюючого ФНЧ.

½S(j2pf)½

– Fmax

Fmax

½Sд(j2pf)½

–2/ Tд

–1/ Tд

– Fmax

Fmax

1/Tд

2/Tд f

½Sд(j2pf)½

–2/ Tд

–1/ Tд – Fmax 0

Fmax 1/Tд

2/Tд

Рисунок 2.8: а– спектр неперервного сигналу; б – спектр дискретного сигналу і АЧХ відновлюючого фільтра; в – спектр дискретного сигналу з накладенням

F = fmax – fmin.

Значення s(nTд) є коефіцієнти розкладання сигналу s(t) по відомій з математики системі ортогональних базисних функцій

ϕ (t) =	sin 2πF (t − nTд )	, n = ..., (–1, 0, 1, 2, ...	(2.69)

n	2πF (t − nTд )

Графічна ілюстрація ряду Котельникова дана на рис. 2.9.

s(t) функції виду sinx/x

(n–2) Tд (n–1) Tд nTд (n+1)Tд (n+2)Tд

Рисунок 2.9 – Сигнал s(t) і члени ряду Котельникова

Пояснюється рис. 2.9 наступним чином: при відновленні неперервного сигналу за його відліками ідеальним ФНЧ з частотою зрізу рівною половині частоти дискретизації, відгук фільтра на кожний відлік (δ-функцію) є функцією виду sinx/x з відповідним масштабом і зсувом у часі, сума цих функцій дає сигнал s(t).

2.9 Подання смугових сигналів

Смуговими (модульованими) називаються сигнали, у яких спектри не

примикають до нульової частоти, їхні спектри зосереджені в смузі частот від fmin до fmax, і fmin > 0 (рис. 2.10). Для опису смугових сигналів уводять параметри:

середня частота спектра f0 = 0,5(fmin + fmax) і ширина спектра

Для смугових сигналів, як правило, виконується співвідношення F << f0, і тоді вони називаються вузькосмуговими. У часовій області вузькосмугові сигнали мають вигляд квазігармонічних коливань із середньою частотою f0 (рис. 2.11).

S(f)	S(f)	F
S(f)		F

f	– f0	0	fmin f0 fmax f
a		б
		б

Рисунок 2.10 – Спектри низькочастотного (а) і смугового (б) сигналів

Будь-який смуговий сигнал можна представити наступним математичним виразом:

		s(t ) = A(t )cos[y(t )],	(2.70)
де	A(t ) –	обвідна смугового сигналу;
	y(t ) –	повна фаза смугового сигналу.
	Обвідна смугового сигналу це позитивно		визначена функція, тоб-

то A(t ) ³ 0 , що, не перетинаючись із сигналом, має з ним спільні точки в моменти, коли значення сигналу на даному періоді максимальне.

Повна фаза смугового сигналу складається із трьох складових:

ψ(t ) = ω0t + ϕ(t ) + ϕ0 ,

(2.71)

де ω0t = 2πf0t – лінійна складова; ϕ(t ) – приріст фази;

ϕ0 – початкова фаза.

Математичний опис смугових сигналів (2.70), підтверджує їх "квазігармонічність".

A(t)

Рисунок 2.11 – Часова діаграма смугового сигналу

При описі смугових сигналів уводять поняття миттєвої частоти, оскільки зміна фази викликає зміну частоти сигналу. За визначенням частота сигналу це швидкість зміни його фази, тобто:

ω(t ) =	∂ψ(t ) = ω +		∂ϕ(t ).
	∂t	0	∂t
		0

Інтеграл від миттєвої частоти дає повну фазу сигналу:

ψ(t ) = ∫ ω(t )dt + ϕ0 .

Широко використовується квадратурне подання смугових сигналів

s(t ) = A(t )cos[ω0 t + ϕ(t ) + ϕ0 ] =

= A(t )cos[ϕ(t ) + ϕ0 ]cos[ω0 t]− A(t )sin[ϕ(t ) + ϕ0 ]sin[ω0 t] =

= I (t )cos[ω0 t]− Q(t )sin[ω0 t],

де I (t ) = A(t )cos[ϕ(t ) + ϕ0 ] – синфазна або косинусна складова;

(2.72)

(2.73)

(2.74)

Q(t ) = A(t )sin[ϕ(t ) + ϕ0 ] – квадратурна або синусна складова.

Якщо квадратурні складові I (t ) й Q(t ) відомі, то можна знайти обвідну й повну фазу смугового сигналу:

A(t ) =

;

I 2 (t ) + Q 2 (t )

(2.75)

Q(t )

ψ(t ) = ω0 t + arctg

(2.76)

I (t )

Розповсюдженою формою подання смугових сигналів є комплексна фор-

ма s(t ):

s(t )

jψ (t )

] = A(t )cos[ψ(t )].

(2.77)

= Re[s(t )] = Re[A(t )e

При аналізі смугових сигналів у комплексній формі вводять поняття ком-

плексної обвідної сигналу:

jψ (t )

j (ω0t +ϕ(t )+ϕ0 )

jω0t j (ϕ(t )+ϕ0 )

jω0t

= A(t )e

= A(t )e ,

(2.78)

s(t ) = A(t )e

де

Aɺ(t ) – комплексна обвідна смугового сигналу.

Комплексна обвідна має наступну форму:

Aɺ(t ) = A(t )e j (ϕ(t )+ϕ0 ) = A(t )cos[ϕ(t ) + ϕ

]+ jA(t )sin[ϕ(t ) + ϕ

] = I (t ) + jQ(t ). (2.79)

2.10 Аналітичний сигнал

Комплексний сигнал

аналітичним,

якщо

х(t ) = х(t ) +

jx (t ) називається

На рисунках комплексний сигнал зобра-

x (t ) є перетворення Гілберта від x(t).

жують складеним з двох сигналів, як показано на рис. 2.12.

		x(t)


x(t)		~	(t )
		~
	Перетворювач	x
	Перетворювач
	Гілберта

		~	(t )
x(t ) = х(t ) + jx			(t )
	ɺ

Рисунок 2.12 – Отримання аналітичного сигналу

Перетворювач Гілберта –	це лінійне коло, імпульсна реакція якого
g(t ) =	1	,			− ∞ < t < ∞ .		(2.80)

	πt
У будь-якому лінійному колі вихідний і вхідний сигнали зв'язані інтегра-
лом Дюамеля. Тому
~			1 ∞ x(τ)
х	(t) =			−∫∞		dτ .	(2.81)
			π		t − τ

Це співвідношення називається перетворенням Гілберта сигналу x(t). Знайдемо передатну функцію перетворювача Гілберта як перетворення Фур'є від імпульсної реакції

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.08.2019177.15 Кб2Розділ 2 ТИПОЛОГІЯ ПІДПРИЄМНИЦТВА.doc
#
14.08.20192.16 Mб9С. В. Кульчицький.doc
#
11.09.201922.79 Кб3С.Р.№20.docx
#
26.08.2019479.65 Кб3Сассу КЗ.docx
#
15.08.2019182.27 Кб3Семинары для студентов.doc
#
10.02.20161.2 Mб163Сигнали електрозв’язку- навчальний посібник з вивч.pdf
#
10.02.2016961.02 Кб25СистПриклПрогЗабез(Хихловская).doc
#
10.02.2016340.4 Кб67Служба безопасности предприятия.pdf
#
10.02.2016124.25 Кб13Солнце.docx
#
10.02.20161.52 Mб16Список египетских богов.doc
#
10.02.2016163.84 Кб12Средства индивидуальной защиты.doc