Задание 4. Анализ результатов моделирования и идентификации динамических характеристик

Управляемость линейных стационарных систем

Непрерывная линейная система

является полностью управляемой тогда и только тогда, когда она может быть переведена из любого начального состояния в произвольный момент временив любое конечное состояниеза конечное время.

Примем начальные условия нулевыми: . Тогда, в соответствии с формулой Коши

.

Принимая во внимание выражение для матричной экспоненты в виде бесконечного ряда

,

равенство можно записать в виде

Обозначим:

.

Представим произведения в виде блочных матриц векторов:

.

Тогда

и

.

В результате вектор может рассматриваться как линейная комбинация векторов, являющихся вектор-столбцами матриц. Иначе говоря, конечное состояниепринадлежит линейному подпространству, порождаемому вектор-столбцами бесконечной последовательностью матриц.

В этой последовательности должна появиться матрица , все вектор-столбцы которой линейно зависят от вектор-столбцов предыдущих матрицТакая матрица обязательно должна иметь место, так как в линейномn-мерном пространстве не может быть более чем линейно–независимых векторов. Отсюда же следует, что.

Таким образом, можно записать

,

где - соответствующие диагональные матричные коэффициенты

.

Очевидно, тем же свойством обладает и матрица , так как

.

По индукции можно утверждать то же самое и для всех при.

Итак, конечное состояние принадлежит линейному подпространству, порождаемому вектор-столбцами матриц

... ,

(здесь учтено, что ). Если эти вектор-столбцы не порождают-мерное пространство, то в такой системе можно достичь лишь тех состояний, которые принадлежат подпространству меньшей размерности.

Таким образом, критерий управляемости формулируется следующим образом:

Система полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости

равен , то есть полной размерности линейного пространства. При этом говорят, что пара матриц {A, B} полностью управляема.

Наблюдаемость линейных стационарных систем

В теории автоматического управления большую роль играет задача восстановления вектора состояния по результатам наблюдения за входом и выходом объекта.

Непрерывная система

называется наблюдаемой, если вектор состояния можно определить, знаяна некотором интервале времени. Если это справедливо для любого, то система называется полностью наблюдаемой. Задачей настоящего параграфа является вывод критерия наблюдаемости.

Достаточно рассмотреть задачу при . Тогда

.

В развёрнутом виде - это система алгебраических уравнений

,

в качестве неизвестных в которой выступают координаты вектора состояния. В связи с тем, что, как правило, , число уравнений оказывается меньше числа неизвестных, и решение невозможно.

В соответствии с теоремой Кэли-Гамильтона каждая квадратная матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнению:

.

Поэтому матричная экспонента, являющаяся степенным рядом относительно матрицы , может быть представлена в виде полинома степени. С учетом этого равенство можно записать в виде:

,

где – соответствующие коэффициенты этого полинома. Для i-й составляющей вектора выхода соответственно будем иметь

.

Здесь –-я строка матрицы.

Если набор для;не содержит полного базиса, то естьлинейно независимых строк, иначе говоря, если матрица

имеет ранг, меньший, чем, то в качестве ненулевого вектора начальных условийможет быть выбран вектор, ортогональный всем строкам матрицыN. Тогда в соответствии с получим, что для всех, т.е. система не наблюдаема.

Теперь докажем, что если ранг матрицы N равен , томожет быть определен с помощью конечного числа измерений вектора выхода. Обозначим

,

где Е – квадратная единичная матрица размером . Моменты измерениявыберем таким образом, чтобы для различных значенийэлементыотличались друг от друга. С учетом введенного обозначения равенство примет вид

.

Известно, что ранг произведения любых двух матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей. Ранг матрицы не превосходит числа ее строк. Проводя многократные измерения на интервале времени переходного процесса системы, построим расширенный вектор выхода

и обозначим

.

Матрица имеетстрок. Моменты измерений должны быть выбраны таким образом, чтобы выполнялось условие. Как было обусловлено, ранг матрицытакже равен. Поэтому уравнение

содержит линейно независимых скалярных уравнений, то есть оно может быть разрешено относительно вектора.

Таким образом, доказан следующий критерий полной наблюдаемости стационарных линейных систем:

Линейная стационарная система вполне наблюдаема тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости N равен .

Для анализа результатов моделирования необходимо перевести полученные модели в модель в виде переменных состояния.