Основні способи знаходження обернених величин а - 1≡ 1 mod n.

0. Перевірити по черзі значення 1, 2,…, n – 1, доки не буде знайдено

а ^{- 1}≡ 1 mod n, таке, що а·а ^{- 1} (mod n) ≡ 1 mod n.

2 Якщо відома функція Ейлера φ(n), то можна обчислити

а ^{- 1} (mod n) ≡ а ^{φ(n) - 1} (mod n),

при цьому можна використовувати алгоритм швидкого піднесення до степеня.

3 Якщо функція Ейлера φ(n) не відома, то можна використовувати розширений алгоритм Евкліда.

Розглянемо основні способи знаходження обернених величин на числових прикладах.

1 Перевірка по черзі значення 1, 2,…, n – 1, доки не буде знайдено таке

х = а ^{- 1} (mod n), що ах (mod n) ≡ 1 mod n.

Нехай n = 7, a = 5.

Треба знайти х = а ^{- 1} (mod n).

ах (mod n) ≡ 1 mod n чи 5·х≡ 1 mod 7

n – 1 = 7 – 1 = 6

Результати перевірки усіх значень по черзі подано у таблиці 6.1

Таблиця 6.1 - Результати перевірки

х	5х	5х mod 7
1 2 3 4 5 6	5 10 15 20 25 30	5 3 1 6 4 2

З дістаної таблиці можна зробити висновок, що х = 5 ^{- 1} (mod 7) = 3.

2 Обчислення а ^{- 1} (mod n), якщо відома функція Ейлера φ(n).

Нехай n = 7, a = 5.

Треба знайти х = а ^{- 1} (mod n) =5 ^{- 1} (mod 7).

Функція Ейлера φ(n) характеризує число елементів в приведеному набору лишків(табл.6.1).

Таблиця6.1 - Означення функції Ейлера φ(n)

Модуль n	Функція Ейлера φ(n)
n – просте n2 … n к	n – 1 n (n - 1) … n к – 1 (n - 1)
p · q (p, q - прості )	(p - 1) (q - 1)

Модуль n = 7 – просте число.

Тому функція Ейлера φ(n) = φ(7) = n – 1 = 7– 1 = 6.

Обернена величина від 5 за модулем 7

а ^{- 1} (mod n) ≡ а ^{φ(n) - 1} (mod n) = 5^{6 - 1} mod 7 = 5⁵ mod 7 =

=( 5² mod 7)·(5 ³ mod 7) mod 7 = (25 mod 7)·(125 mod 7) = 24 mod 7= 3.

Так, маємо х = 5 ^{- 1} (mod 7) = 3.

3 Обчислення а ^{- 1} (mod n), якщо функція Ейлера φ(n) не відома за допомогою розширеного алгоритму Евкліда.

За допомогою цього способу можна також одночасно обчислити такі цілі числа u₁ та u₂, що

а u₁ + b u₂ = НСД (а, b).

Контрольні питання

1. У чому сутність арифметики за модулем?

2. Що називають лишком числа а за модулем n ?

3. Які числа називають простими?

4. Які числа називають взаємно простими?

5. Як знайти найбільший спільний дільник (НСД) за допомогою алгоритма Евкліда?

6. Які числа називають оберненими?

Завдання

Завдання 6.1.1 Обчислити: а) (15 · 19) mod 18;

б) (12 · 30) mod 9;

в) (3 · 5 · 36) mod 7;

г) 3 ¹⁵ mod 10;

д) 4 ¹⁰ mod 14.

Завдання 6.1.2 Знайти найбільший спільний дільник за допомогою алгоритма Евкліда:

а) (56, 15);

б) (275, 198).

Завдання 6.1.3 Знайти найменше спільне кратне (НСК) чисел 24 та 45.