Незахищенний канал

K = K' = g ^{ka kb} (mod N)

Рисунок 4.3 - Схема реалізації алгоритму Диффі-Хеллмана

Користувачі А і Вобирають модуль N, який має бути простим числом, та примітивним елементом g  Z_n, (1  g  N-1), що утворює усі ненулеві елементи множини Z_n, чи

{g, g², … , g^N-1 = 1} = Z_N - {0}

Цілі числа N и g держати в таємниці не обов’язково. Звичайно, вони є спільними для усіх користувачів – учасників інформаційного обміну мережі.

Потім користувачі А і В, незалежно один від одного, обирають власні секретні ключі k_A и k_B ( k_A и k_B  випадкові цілі великі числа, які зберігаються користувачами в таємниці.).

Далі користувач А обчислює відкритий ключ

y_A = g ^kA (mod N),

а користувач В  відкритий ключ

y_В = g ^kB (mod N).

Потім А і В обмінюються обчисленними значеннями ключів y_A и y_В по незахищенному каналу.

Далі користувачі обчислюють спільний секретний ключ за допомогою наступних рівнянь

Сторона А K = (y_В ) ^kA = (g ^kB) ^kA (mod N)

Сторона В K' = (y_А ) ^kB = (g ^kA) ^kB (mod N)

При цьому К = К' ,

тому що

(g ^kB) ^kA = (g ^kA)) ^kB.

Ключ К може використовуватися в якісті спільного секретного ключа в симетричній криптосистемі.

Крім того, сторони можуть використовувати ключ К для несиметричного шифрування згідно з правилом

С = Е_К (М) = М ^К (mod N).

З цією метою слід визначити ключ, який призначений для розшифровування К^*, з співвідношення

К * К^*  1 (mod N).

Це дозволить відтворювати повідомлення за правилом

М = D_К (C) = С ^К* (mod N).

Проте, слід зауважити, що останній алгоритм буде мати погані характеристики щодо криптостійкості, тому що ключ К, не завжди буде задовольняти вимогам і тому процедуру частіше за все треба буде повторювати.

Великий вплив на безпеку системи робить вибір значень

Существенное влияние на безопасность системы оказывает выбор значений N та g.Модуль N має бути великим простим числом.

Число (N - 1)/2 також має бути простим.

При використанні алгоритму Диффі-Хеллмана,необхідно пам’ятати про гарантування того, що користувач А одержав відкритий ключ саме від користувача В, і навпаки. Тобто необхідно, щоб під одержанними повідомленнями були цифрові підписи.

Метод Диффі-Хеллмана дає змогу забезпечити кожний сеанс зв’язку новими ключами та не зберігати їх де-небудь.

Крім того, генерація ключів методом Диффі-Хеллмана здійснюється в сотні разів быстріше в зрівнянні з алгоритмом RSA.

Приклад: Нехай

p = 13, a = 7, m = 3, k = 4.

Відкритий ключ, який передається стороной А дорівнює

y_А  7 ³(mod 13)  343(mod 13)  5

Відкритий ключ, який передається стороной B дорівнює

y_В  7⁴(mod 13)  2401(mod 13)  9

Секретне число, яке розраховується сторонами, дорівнює

К  5 ⁴(mod 13)  625(mod 13)  1,

K'  9 ³(mod 13)  729(mod 13)  1.

4.8.3.2 Переваги та недоліки алгоритму Диффі-Хеллмана

Диффі и Хеллмандали пропозицію для створення криптографічних систем з відкритим ключемфунк­цію дис­крет­но­го піднесе­ння до сте­пеня.

Необоротність перетворення в цьому випадку забезпечується тим, щолегко обчислити показникову функцію в кінцевому полі Галуа, яке складається з p елементів(p- просте число чи просте в будь-якому степені).

Обчислення логарифмів в таких полях – більш трудомістка операція.

Так, якщодля прямогоперетворення1000-бітовихпростих чисел треба2000 операцій, то длязворотногоперетворення(обчисленнялогарифмув поліГалуа) –треба біля 10³⁰операцій.

Даний алгоритм відрізняється відалгоритмуRSA тим, що не дає змогу шифрувати саме інформацію.

Другим недоліком алгоритма Диффі-Хеллмана є відсутність гарантованної нижчої оцінки трудомісткості зламування ключа.

Крім того залишається проблема автентифікації, тому що є небезпека імітації користувача.

5 Приклади розв’язування завдань

5.1 Приклади розв’язування криптографічних завдань за допомогою шифрів перестановки

Шифр, перетворювання з якого змінюють лише порядок слідування символів вихідного тексту, але не змінюють їх самих, називається шифром перестановки.

5.1.1 Шифрування за допомогою класичних шифрів перестановки

Розглянемо перетворювання з шифром перестановки, призначене для зашифровування повідомлення довжиною n символів. Його можна подати за допомогою таблиці

1 2 … n

i₁ i₂ … i_n,

де і₁ – номер місця шифртексту, на котре потрапляє перша літера вихідного повідомлення за обраного перетворення; і₂ – номер місця для другої літери й т. д. У верхньому рядку таблиці виписано одне за одним числа від 1 до n, а в нижньому – ті ж самі числа, але в довільному порядку. Така таблиця називається підставлянням ступеня n.

Знаючи підставляння, котре задає перетворення, можна здійснювати як зашифровування, так і розшифровування тексту.

Наприклад, якщо для перетворення використовується підставляння

1 2 3 4 5

5 2 3 1 4

і відповідно до нього зашифровується слово УЧЕНЬ, то виходить НЧЕЬУ.

5.1.2 Шифрування за допомогою табличних шифрів перестановки

Одним з найпримітивніших табличних шифрів перестановки є просте переставляння, для якого за ключ слугує розмір таблиці. Цей метод шифрування є подібний до шифру Сцитала.

Наприклад, повідомлення

МАЄШ ГОЛОВУ, МАЙ ЖЕ РОЗУМ

записується в таблицю по черзі по стовпцях. Розглянемо результат заповнення таблиці з п’яти рядків і чотирьох стовпців:

М	О	М	Р
А	Л	А	О
Е	О	Й	З
Ш	В	Ж	У
Г	У	Е	М

Після заповнення таблиці текстом повідомлення по стовпцях для формування шифртексту зчитують уміст таблиці по рядках. Якщо шифртекст записувати групами по п'ять літер, виходить таке шифроване повідомлення: