Рух центра маси механічної системи
Для системи, яка складається з матеріальних точок, положення центра маси механічної системи (радіус-вектор ) визначається виразом
= , (1)
де – радіус-вектори матеріальних точок, що входять до системи.
Виходячи з визначення головного вектора зовнішніх сил, можна показати, що центр маси механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас всіх елементів системи () і на яку діє сила, що дорівнює головному вектору зовнішніх сил
= . (2)
Остання формула є математичним записом теореми про рух центра маси механічної системи, в якому – прискорення центра маси.
Векторне рівняння (1.2) еквівалентне трьом скалярним:
, , , (3)
в яких , та – компоненти вектора швидкості центра маси, а , та – координати центра маси.
З наведеної теореми випливають наступні наслідки:
1) внутрішні сили не змінюють характер руху центру маси системи;
2) якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то центр маси системи рухається рівномірно та прямолінійно, або знаходиться в стані спокою, тобто
, (4)
де – початкова швидкість центра маси. Якщо = 0, то
, (5)
тобто центр маси системи не змінює свого положення в просторі;
3) якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на деяку нерухому вісь (наприклад, ) дорівнює нулю, то проекція швидкості центра маси системи на цю вісь не змінюється(), і якщо = 0, то
, (6)
тобто центр маси системи не змінює свого положення відносно осі .
Методика розв’язання задач
1) Визначити тіла, що входять до механічної системи.
2) Визначити зовнішні сили, що діють на систему.
3) Якщо всі зовнішні сили паралельні, обрати систему координат і одну з осей (наприклад, ) спрямувати перпендикулярно до лінії їхньої дії. В проекції на цю вісь диференціальне рівняння руху центра маси приймає вигляд
= 0, (7)
де – координата центра маси.
4) Двічі інтегруючі (1.7) за умовою, що у початковий момент часу центр маси системи знаходився в стані спокою, знаходимо що
= = const. (8)
5) Рівняння (1.8) еквівалентно рівнянню
,
звідки отримуємо
= 0, (9)
в якому – абсолютні зміщення елементів системи. Ці зміщення можуть бути знайдені як алгебраїчні суми абсолютного зміщення одного з тіл (основного) та зміщень інших тіл відносно нього. З рівняння (9) визначаємо –абсолютне зміщення основного тіла.
6) Якщо зовнішні сили діють з рівнодійною вздовж осі , то теорема про рух центра маси дає
= = , (10)
де – абсолютне прискорення кожного тіла. Беремо другі похідні від абсолютних зміщень кожного тіла за умовою, що = 0 і отриманий вираз (1.10) визначає силу .
Приклад 1. Призма 3 (рис. 1) масою = 12 кг з закріпленим на ньому електродвигуном ( = 5 кг) та блоком ( = 1 кг) може ковзати вздовж горизонтальної поверхні без тертя. Два вантажі, маси яких = 4 кг та = 3 кг можуть ковзати по гладким поверхням призми, які утворюють кути = 45º та = 60º з горизонтом, бо з’єднані мотузками з двигуном та блоком . Електродвигун (радіуси шківів якого = 15 см та = 5 см), зв’язаний з блоком (радіуси шківів якого = 20 см та = 10 см), неперехресною пасовою передачею. В момент часу = 0 вал електродвигуна починає обертатися за законом рад. Знайти:
1. Закон зміщення призми від часу.
2. Реакцію упорів, які утримують призму в закріпленому стані.
3. Обчислити зміщення призми і реакцію упору на момент часу = 1 с.
Додатному напряму обертання відповідає обертання валу двигуна проти руху стрілки годинника. Вагою мотузок та пасу нехтувати і вважати їх нерозтяжними.
Розв’язання. В даному випадку механічна система складається з п’яти елементів. Зовнішніми силами є сили тяжіння, а також нормальна реакція горизонтальної площини, які спрямовані вертикально. Введемо декартову систему відліку (дивись рис.1), спрямувавши вісь горизонтально. Тоді сума проекцій усіх зовнішніх сил на вісь дорівнює нулю і, згідно з теоремою про рух центра маси механічної системи, з урахуванням того, що в початковий момент часу система знаходиться у стані спокою, маємо
= 0, (1)
де – абсолютні зміщення елементів системи вздовж осі .
Абсолютні зміщення тіл 1, 2, та знайдемо як алгебраїчну суму їхніх зміщень відносно призми та абсолютного зміщення призми = відносно нерухомої системи координат. Будемо вважати, що призма змістилася праворуч від початкового положення (рис.2). Електродвигун та блок не зміщуються відносно призми, тому
= = = . (2)
Для визначення зміщень першого та другого тіла відносно призми, треба визначити на який кут повернувся вал двигуна протягом часу і в якому напрямі відбулися відповідні лінійні зміщення тіл 1 і 2.
Додатнім напрямом обертання валу двигуна ми вважаємо його обертання в напрямі проти руху стрілки годинника (рис. 1.4). В такому випадку тіло 1 рухається ліворуч вниз. З врахуванням передачі між електродвигуном А та блоком , останній обертається також проти напряму руху стрілки годинника і тіло 2 рухається по похилій площині догори ліворуч. Модуль відносного зміщення тіла 1 вздовж похилої площини знайдемо як
= ,
тоді абсолютне зміщення першого тіла вздовж осі визначиться як
= – . (3)
Блок за той самий проміжок часу повернеться на кут проти руху стрілки годинника, який ми знайдемо за умовами нерозтяжності пасової передачі та відсутності ковзання між блоками та пасом
= ,
звідки знайдемо кут повороту блока
.
Це дає можливість визначити модуль відносного зміщення тіла 2 вздовж похилої площини
= ,
та знайти абсолютне зміщення другого тіла вздовж осі
= – . (4)
Підставимо (2), (3), (4) в (1) і отримаємо
= 0.
Якщо розкрити дужки та провести алгебраїчні перетворення, то дістанемо
. (5)
Отриманий вираз дає зміщення тіла 3 в будь-який момент часу. Підставляючи умови задачі в формулу (5) на момент часу = 1 с отримуємо
= 0,09 (м).
Для відповіді на друге запитання перепишемо закон руху центра маси механічної системи у вигляді, який визначає реакцію упору
, (6)
При наявності упорів тіло 3 не рухається, отже
= = 0. (7)
Візьмемо другі похідні від (3) та (4) і, з урахуванням (7), для реакції упору отримаємо
=
= =
= . (8)
Знайдемо другу похідну по часу від :
, (рад/с2),
і, підставляючи в (8) дані задачі на моменту часу = 1 с, знайдемо
= – 1,2 (Н).
Відповідь: м, (1) = 0,09 м, = , (1) = – 1,2 Н.