Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный медицинский университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Anisimov_Tretyakova.pdf

Скачиваний:

598

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

3.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

4.2. Примеры решения задач

Задача 4.1. Kα линия ванадия отражается в первом порядке от системы плоскостей (100) монокристалла NaCl под углом скольжения θ = 26,5°. Найти постоянную решетки а данного кристалла.

Решение.		Кубический						кристалл
NaCl изображен на рис.4.3. Постоянная
решетки a = 2d. Условие максимума в											a
соответствии с (4.2):											a
соответствии с (4.2):											d
2dsinθ = kλ.											d
2dsinθ = kλ.
По условию задачи k = 1:
2dsinθ = λ.
Длина волны λ (Kα линия ванадия)
1	= Rλ(Z	2		1	1			3	Rλ(Z	2	Рис. 4.3
λKα	= Rλ(Z	−1)		2 −	2	2	=	4	Rλ(Z	−1) .	Рис. 4.3
λKα			1		2			4

Rλ − постоянная Ридберга

2d sin θ = 34 Rλ(Z −1)2

Z = 23 (порядковый номер ванадия) Постоянная решетки

a = 2d = 3Rλ(Z −1)2 = 5,63Ao 4d sin θ

Задача 4.2. Получить выражение для граничной (максимальной) энергии Еmax свободных электронов в металле, при температуре T = 0°K, если известна их концентрация n и выражение для их максимальной скорости.

Вычислить Еmax для серебра, полагая, что на каждый атом серебра приходится по одному свободному электрону.

Решение. Граничная энергия электрона в металле при T = 0°K – это энергия Ферми (4.9):

Emax = EF (0) =			h2			(3π2n)2 / 3.
Emax = EF (0) =			2m			(3π2n)2 / 3.
			2m
Максимальная скорость нерелятивистских электронов из
выражения для кинетической энергии:
T =	mvmax2	= E		F	(0) =		h2	(3π2n)2 / 3.
T =		= E			(0) =			(3π2n)2 / 3.
max	2						2m
	2						2m
						101

Отсюда:

v =	2	h2	(3π2n)2/ 3 = h (3π2n)1/ 3.

max	m 2m		m

По условию			задачи на каждый атом серебра приходится по

одному свободному электрону. Следовательно:

= E

(0) =

(3π2n )2 / 3.

F Ag

max Ag

2me

Здесь me - масса электрона, ne - концентрация свободных

электронов

ne= na (концентрация атомов)

νN A

MN A

= ρ

N A

μV

Для серебра

3 кг

−3

кг

ρ =10,5 10

м3

; μ =107,9 10

моль

= n

10,5 103 6,02 1023

= 5,86 1028 м−3.

107,9 10−3

ТогдаE

(1,05 10−34 )2 (3 3,142 5,86 1028 )2 / 3

=8,7 10−19 Дж = 5,46 эВ.

max Ag

2 9,1 10−31

Задача 4.3. Подучить с помощью распределения Ферми-Дирака вероятность заселения электронами энергетических уровней

а) больших

б) меньших уровня Ферми на E = E − EF =± 2kT.

Решение. Указанная функция распределения (4.8) имеет вид:

f (E,T )=

;

E−EF

а) E = E − EF = 2kT,

тогда

f (E,T )=

= 0,12

2kT

7,39 +1

8,39

e kT +1

б) E = E − EF = −2kT,

тогда

f (E,T )=

= 0,88.

−2kT

e−2 +1

1,135

e kT

102

Задача 4.4.	Найти с помощью распределения	Ферми при
T = 0°K:
а) среднюю	кинетическую энергию свободного	электрона в

металле, если известна его энергия Ферми ЕF(0);

б) суммарную кинетическую энергию в 1 см3 золота, полагая, что на каждый атом золота приходится по одному свободному электрону.

Решение. Средняя энергия электрона (Еmax = ЕF(0)) в соответствии с (4.12):

E∫FEg(E)dE

E= 0EF

∫g(E)dE

Плотность электронных состояний в единице объема (4.7)

g(E)

2m 3 2

2π2

Тогда:

3 2

2 E5 2

∫

EdE

∫E

EdE

2π

E =

5 F

(0);

2m 3 2

EF 1

EdE

1 2

EdE

3 2

∫0 2π2

∫E

Суммарная кинетическая энергия всех электронов в 1 см3 золота

EΣ = Ne E ; Ne = neV (V = 1 см3; ne − концентрация электронов).

По условию ne= na; n

= ρAu NA

; ρAu = 19,3 103 кг/м3;

μAu

μAu = 197 10−3 кг/моль

= 19,3 1036,02 1023

= 5,9 1028 м−3.

197

10−3

Энергия Ферми для золота:

(0)=

(3π2n

)2 3 = (1,05 10−34 )2 (3 3,14 5,9 1028 )2 3 =8,78 10−19 Дж.

2 9,1 10−31

Суммарная энергия:

= n V

3 E

= 5,9 1028 10−6 0,6 8,78 10−19 = 3,12 104 Дж.

103

Задача 4.5. Какая часть η свободных электронов в металле имеет при абсолютном нуле кинетическую энергию, превышающую половину максимальной энергии?

Решение. Искомую величину η можно определить как отношение концентраций электронов с соответствующими

диапазонами энергий:

η =

;

Концентрация электронов, энергии которых лежат в диапазоне от

E до E + dE (4.5)

dn(E) = g(E)f(E)TdE. Так как E≤EF, то f(E,T) = 1 (T = 0) и

dn(E) = g(E)dE В соответствии с (4.7):

g(E)=

3 2

2π2

Максимальная энергия Еmax = ЕF (0). Значения

2m 3 2

2m 3 2 EF

3 2

n =

∫dn =

∫

EdE =

∫E

dE;

2π

EF 2

Обозначим

3 2

= A.

2π2

Тогда

n = A ∫E1 2dE;

искомое отношение

∫E1 2dE

η=

=1−

= 0,64.

3 2

∫FE1 2dE

Задача 4.6. Найти с помощью распределения Ферми для свободных электронов в металле при Т = 0 К среднюю скорость этих электронов v, полагая известной максимальную скорость vmax.

Решение. Среднее значение скорости при Т = 0 К (4.1)

	vmax
v =	∫vg(v)dv
	0	.
	v	.
	max
	∫g(v)dv
0

104

Плотность состояний по скоростям g(v)dv можно получить из плотности состояний по энергиям g(E)dE (4.7):

g(E)dE =	1	2m 3 2
			EdE
	2π2	h2

Для нерелятивистских электронов

E =

mv2

;

E = v

; dE =

2vdv = mvdv

g(v)dv =

1 2m 3 2

m 3

mvdv =

π 2

2π

vmax

∫

3 v

= 3 v

v =

vmax

max

∫

v2dv

π h

Задача 4.7. Ширина запрещенной зоны чистого полупроводника равна E = 1эВ. Найти вероятность попадания электрона на уровни вблизи дна зоны проводимости при температурах Т1 = 0 К и Т2 = 290 К. Будет ли увеличиваться эта вероятность, если на полупроводник действует электромагнитное излучение с длиной волны λ1 = 1 мкм,

λ2 = 2 мкм.				Для			Зона проводимости
Решение.
чистого	полупроводника
уровень	Ферми		лежит				E
посередине запрещенной
						EF
зоны (рис.4.4).								E/2

Функция
распределения Ферми –

Дирака	определяет						Валентная зона
вероятность нахождения							Рис 4.4
электрона в состоянии с
энергией E			1
f (E,T )=					;
		E−EF
		e	kT	+1
При Е > EF и Т = 0						f(E,0) = 0.
При Т = 0			электрон не может попасть на уровень вблизи дна

зоны проводимости.

105

Расстояние между уровнем Ферми и дном зоны проводимости

Е – EF = E/2 = 0,5 эВ = 0,5·1,6·10–19Дж.

Тогда вероятность при Т = 290 К будет

f (E,T )=	1		=	1				≈ 2 10−9
	E 2				0,51,610	−19
	e kT	+1		e			+1
					1,3810−25 290

Энергии квантов действующего излучения:


εf		=hν = hc
						λ
ε =hν				=	hc		=		6,62 10−34 3 108		=1,24эВ
ε =hν				=			=				=1,24эВ
1					λ1					10−6 1,6 10−19
ε	2	= hc		=		hc		=		ε1 = 0,62эВ
ε		= hc		=		2λ		=		ε1 = 0,62эВ
		λ	2			2λ				2
			2		1

Так как ε1 > E (ширины запрещенной зоны), то вероятность заполнения указанного уровня увеличивается и при Т = 0 °К и при Т =

290 °К. Так как ε2 < E, то вероятность не изменится.

Задача 4.8. Запрещенная зона в Ge	равна приблизительно
E= 0,75 эВ. При какой длине волны	Ge начнет поглощать
электромагнитное излучение?

Решение. Поглощение излучения определенной длины волны λ означает передачу энергии электронам валентной зоны для перехода их

в зону проводимости
hc	= e		ϕ = E
λ
λ =		hc	=	6,62 10−34 3 108	=1,655 10−6 м
		E		7,5 10−1 1,6 10−19

= 1,655 мкм = 16,55·10–7 м = 16550 Å Это – инфракрасное (ИК)

излучение, длинноволновый край полосы поглощения чистого германия.

Задача 4.9. Чистый кристаллический германий содержит

4,5·1028 атомов/м3. При температуре 300 °К один атом из каждых 2 109 атомов ионизован. Подвижности электронов и дырок при этой

температуре соответственно равны μn = 0,4 м2/В с и μp = 0,2 м2/В с. Определить удельную проводимость чистого германия.

Решение. В соответствии с формулой (4.16)

106

σ = σn,р = nn,р е(μn + μp)

Концентрация электронов и дырок собственных носителей

n		4,5 1028	19	−3
	=		= 2,25 10 м		.
	=		= 2,25 10 м		.
n, p		2 109
		2 109

Тогда σ = 1,6 10-19 2,25 1019 (0,4+0,2) = 2,16 См/м = 2,16 Ом–1м–1.

Задача 4.10. Характерная особенность полупроводников – наличие отрицательного температурного коэффициента сопротивления α. Вычислить α для чистого германия при температуре Т = 300 °К.

Ширина запрещенной зоны германия

E0= 0,75 эВ.

Решение. Удельное сопротивление Ge (4.19):

∂ρ

ρ = ρ0e2kT

Тогда

= ρ0e2kT −

∂T

2kT

Температурный коэффициент сопротивления

α =

∂ρ

= −

ρ ∂T

2kT 2

Тогда α = −

7,5 10−1 1,6 10−19

= −0,048K−1 .

2 1,38 10−23 9 104

Задача 4.11. Некоторый образец германия n-типа имеет

постоянную Холла RХ =

6,3·10–3м3Кл–1

удельное сопротивление

ρ = 1,7 10–2 Ом·м. Найти

концентрацию

подвижность электронов

проводимости.

Решение. В соответствии с (4.25) постоянная Холла

RX =

3π

Отсюда концентрация

n =

3π

3 3,14

= 0,117 1022

=1,17 1021м−3

8qRX

8 1,6

10−19 6,3 10−3

Проводимость σ =1/ρ = q·nn·μn.

Подвижность электронов проводимости

м2

μn =

= 0,31

ρqn

1,7 10−2 1,6 10−19 1,17 1021

В с

107

Задача 4.12. Можно ли считать температуры Т1= 20 К и Т2 = 30 К низкими для железа, если известно, что теплоемкость при этих

температурах равна соответственно СV1= 0,226 Дж·моль–1К–1 и

СV2 = 0,76 Дж·моль–1К–1.

Решение. Отношение теплоемкостей при этих температурах

СV1/ СV2 = 3,36

Отношение температур

;

x lg

= lg

= C

lg3,36

0,526

x =

lg1,5 = 0,176 ≈ 3 .

lg T2

Температуры можно считать низкими, т.к. отношение теплоемкостей соответствует закону Дебая (4.31).

Задача 4.13. Скорость поперечных упругих волн в алюминии v = 3130 м/с, продольных v║ = 6400 м/с. Определить температуру Дебая θ для алюминия.

Решение. Температуру Дебая θ определим из (4.29)

θ = hωkmax

ωmax – максимальная частота колебаний атомов в узлах решетки (4.37)

max

= 3

18π2n

= 3

18π2n

v−3 + 2v

−3

1 v3 + 2 v3

Концентрация атомов Al в решетке

n =

ρN A

; ρAl = 2,7

103 кг ; M Al = 27 10−3

кг

моль

м3

θ =

18π2n

1,05 10−34

18 3,142 2,7 103 6,02 1023

3 M (1 v||3

+ 2 v3 )

10−23

1,38

2,7 10−2

(6,4 103 )3

(3,13 103 )3

= 408K

Задача 4.14. Кристаллический образец характеризуется температурой Дебая θ = 300 К и скоростью звука v = 5,2 км/с. Для фонона с максимальной энергией, которая может возбуждаться в этом образце, определить энергию, импульс и длину волны де-Бройля, сравнить ее с постоянной решетки а ≈ 0,3 нм.

108

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1711 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2016456.66 Кб4099-112.docx
#
09.02.2016928.47 Кб28adzhienko_v_l_red_ekonomika_chast_1.pdf
#
09.02.2016914.94 Кб187aleksandrovskii_yu_a_psihofarmakoterapiya.doc
#
09.02.2016473.6 Кб65anatom22034-itogovye_testy.doc
#
22.11.201955.19 Кб7Anatomiya_chel_1k_lech_rus_in_1sem.doc
#
09.02.20163.59 Mб598Anisimov_Tretyakova.pdf
#
30.08.2019332.47 Кб42apteka_1.docx
#
09.02.20161.28 Mб2529Attestatsia_proped_otvety.doc
#
14.11.2018498.18 Кб24averages.doc
#
09.02.2016760.98 Кб30bestref-122019.rtf
#
09.02.201672.19 Кб16Bilet.doc