Концентрация носителей заряда в зависимости от температуры полупроводника
n |
= n e |
− 2kT |
, |
(4.22) |
|
|
|
|
EЗ |
|
|
np |
0 |
|
|
|
|
где n0 - концентрация электронов в валентной зоне.
В эффекте Холла n0 - концентрация электронов в валентной зоне, разность потенциалов UX
(4.23)
где RХ - постоянная Холла, j – плотность тока, B – индукция магнитного поля, d – высота образца.
Постоянная Холла для металлического проводника
R = 1 . |
(4.24) |
Х |
e n |
|
Постоянная Холла для полупроводникового образца с зарядами одного знака q:
RХ = |
3π 1 |
. |
(4.25) |
||
|
|
|
|
||
8 q n |
|
||||
|
|
|
|||
Тепловые свойства твердых тел. Фононы
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела от температуры T1 до температуры T2
T2 |
|
|
|
|
|
Q = ∫mc(T )dT, |
(4.26) |
|
|||
T1 |
|
|
|
|
|
где m – масса тела, c(T) – удельная теплоемкость, которая связана |
с |
||||
молярной теплоемкостью |
|
Cm(T) соотношением |
c(T ) = Cm (T ) |
, |
|
здесь M – молярная масса. |
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
Молярная теплоемкость твердого тела |
(4.27) |
|
|||
Cm |
= |
dUm |
, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dT |
|
|
|
где Um – внутренняя энергия моля твердого тела. Согласно классической теории Um = 3RT (R = 8,31 Дж/моль K).
Закон Дюлонга и Пти: в случае высоких температур все твердые тела имеют одинаковую молярную теплоемкость
Сm = 3R (4.28)
При низких температурах теплоемкость зависит от температуры. Температура, при которой спектр колебаний атомов становится практически непрерывным, то есть становится существенным квантование энергии колебаний, называется характеристической температурой Дебая θ. Она определяется из условия
98
θ = |
hωmax |
(4.29) |
|
k |
|||
|
|
где ωmax – максимальная частота колебаний атомов в узлах кристаллической решетки.
Некоторые значения температуры Дебая.
Таблица 4.1
Вещество |
θ К |
Вещество |
θ К |
Свинец |
88 |
Медь |
315 |
Натрий |
150 |
Никель |
370 |
Золото |
170 |
Алюминий |
390 |
Серебро |
215 |
Железо |
420 |
Вольфрам |
310 |
Бериллий |
1160 |
С учетом реального спектра колебаний атомов решетки молярная теплоемкость кристалла по Дебаю
|
|
|
|
|
|
T |
3 θ/T |
|
x3dx |
|
3(θ/T ) |
|
|
||||
|
|
|
C |
m |
= 3R 12 |
|
∫ |
|
|
|
|
− |
|
. |
(4.30) |
||
|
|
ex |
−1 |
eθ/T −1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
hω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь x |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
kT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В области низких температур (T << θ) эта формула принимает |
|||||||||||||||||
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Cm = |
12π4 |
|
|
|
(4.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
R |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
||
R – универсальная газовая постоянная. Это соотношение называется законом Дебая. Теплоемкость вещества пропорциональна кубу температуры. Закон Дебая для диэлектриков и полупроводников выполняется вплоть до абсолютного нуля температур.
Электронная теплоемкость одновалентных металлов вблизи абсолютного нуля линейно зависит от Т:
Cme = |
π2RkT |
. |
(4.32) |
|
2EF |
||||
|
|
|
k – постоянная Больцмана. Молярная теплоемкость электронного газа для металлов с валентностью Z находится по формуле
CmeZ = |
π2RZ kT |
. |
(4.33) |
||
2 |
EF |
||||
|
|
|
|||
99
Теплопроводность твердых тел. Фононы.
Энергия тепловых волн в твердом теле квантована. Квант тепловой энергии называется фононом. Фонон может существовать только в кристалле и поэтому он является квазичастицей.
Энергия фонона
E = hν = hω. ; |
(4.34) |
||
импульс фонона |
|
||
p = 2π |
h |
. |
(4.35) |
|
|||
|
λ |
|
|
Фононы относятся к бозонам (спин s = 0 ). Их распределение по энергиям описывается функцией Бозе - Эйнштейна
f (E,T ) = |
|
1 |
|
, |
e |
E −EF |
|
||
|
kT |
−1 |
||
Длина волны фонона λ = vT, где v – скорость тепловой волны, совпадающая со скоростью звука vЗВ; T - период. Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле.
Звуковые волны распространяются в кристалле в виде продольных v|| и поперечных v волн, скорости которых определяются по формулам
v|| = |
E |
;v = |
G |
, |
(4.36) |
|
ρ |
|
ρ |
|
|
где E и G – модули продольной и поперечной упругости (модуль Юнга и модуль сдвига), ρ - плотность материала твердого тела.
Максимальная частота колебаний атомов может быть выражена через продольную и поперечную скорость
ωmax = 3 |
18π2n |
|
, |
(4.37) |
||
v−3 |
+ 2v |
−3 |
||||
|
|
|
||||
|
|| |
|
|
|
|
|
где n – число атомов в единице объема.
Если v|| = v , то ωmax = v3 6π 2 n.
Для оценки минимальной длины волны в кристалле используется
выражение |
2πv = |
2π |
|
|
2 . |
λmin = |
≈ |
|
|||
|
ωmax |
3 6π2n |
|
3 |
n |
Так как величина 1/ 3 n соответствует минимальному расстоянию
между атомами в узлах кристаллической решетки d, то |
(4.38) |
λmin = 2d. |
100