Преобразованные матрицы новой системы координат вычисляются по формулам:

Пример 8.6.

Пусть дана система, матрицы ,икоторой имеют вид:

;;.

В соответствии с уравнением состояния имеем систему скалярных уравнений:

;;.

Структурная схема, соответствующая этим уравнениям, приведена ниже:

Рассмотрим невырожденное преобразование координат, заданное матрицей :

,.

Преобразованные матрицы в новой системе координат имеют вид:

,

,

.

Дифференциальные уравнения система, соответствующие матрицам ,,, приведены ниже:

(8-22)

По системе уравнений (8-22) составим структурную схему (рис.8.12)

Записывая эквивалентную передаточную функцию по структуре рис.8.11 и рис.8.12 получаем один и тот же результат:

.

Этим примером еще раз подтвердим, что между матричными и структурными эквивалентными преобразованиями имеется соответствие, т.е. каждому структурному эквивалентному преобразованию соответствует невырожденное матричное преобразование.

Матрица перехода определяет матрицы, ,в новом базисе. При переходе к новому базису не будем (по возможности) использовать специальные обозначения для матриц, записанных в разных базисах. Формулу преобразования будем понимать как формулу присваивания одним и тем же матрицам их значений в разных базисах и для обозначения операции присваивания будем пользоваться символом:

.

Матрицы связанные последним соотношением, определяются как подобные. У этих матриц равны характеристические многочлены, определители и собственные значения. Передаточные функции, связывающие выходные сигналы с входными сигналами, у подобных матриц так же одинаковы.

Как уже указывалось, для конкретной системы можно предложить неограниченное количество моделей в переменных состояния. Желательно так выбрать базис, чтобы матрицы были "удобны", т.е. их легко можно было получить, их удобно использовать при доказательстве теорем, с их помощью просто создать схемы моделирования, а, главное, результаты моделирования просто переносить на физическую модель. Этим требованиям удовлетворяют модели созданные в базисах:

- управляемое каноническое представление (УКП);

- идентификационное каноническое представление (ИКП).

Запись матриц в форме УКП осуществляется относительно просто по дифференциальному уравнению, характеристическому уравнению или передаточной функции.

Пример 8.7.

Дано дифференциальное уравнение системы:

.

Введем обозначения:

,

,

,

.

Отсюда легко получить матрицу , ив формуле УКП:

,,.

Полученные матрицы показывают, что их элементы просто связаны с коэффициентами дифференциального уравнения.

Если первая часть дифференциального уравнения имеет производные от входного воздействия, т.е. числитель передаточной функции определяется некоторым многочленом:

то УКП форма имеет вид:

,,.

Каноническое представление удобно для моделирования, так как матрицы иимеют минимальное число ненулевых элементов (рис.8.13).

Идентификационное каноническое представление тех же матриц записывается как:

,,.

Структурная схема моделирования в форме ИКП приведена на рис.8.14.

Сравнение матриц , ,записанных в базисах УКП и ИКП, показывает пути преобразования матриц. Например, если уравнения записаны в форме УКП (матрицы имеют подстрочный символу), а следует перейти к форме ИКП (матрицы имеют подстрочный символи), то необходимо:

- чтобы получить матрицунеобходимо транспонировать матрицу, т.е.;

- чтобы получить матрицунеобходимо транспонировать матрицу_,т.е.;

- чтобы получить матрицунеобходимо транспонировать матрицу, т.е..

Переход от базиса УКП к базису ИКП относится к широко используемому, но частному случаю.

В общем случае необходимо уметь любую матрицу и любой вектор записывать в разных базисах. Переход к новому базису осуществляется с помощью матрицы перехода , которая, согласно теореме, единственна и вычисляется по формуле

(8-23)

где, - пара матриц, заданных в исходном базисе;- пара матриц, заданных в новом (преобразованном) базисе.

Применим эту теорему для определения матрицы перехода от базиса, определяющего матрицы, ,в форме УКП (обозначим эти матрицы через), к базису, определяющему эти матрицы в форме ИКП (обозначим матрицы через).

.

Так как , а, то матрица перехода от базиса УКП к базису ИКП принимает вид:

.

Пример 8.8.

Даны матрицы системы в форме УКП:

;;.

Записать эти матрицы в форме ИКП.

Для этого воспользуемся выражением (8-23) и определим матрицу перехода . Числитель (8-23) определяется выражениями:

;.

Следовательно,

.

Определяем знаменатель выражения (8-23):

;;;

.

Матрица перехода определяем как:

;.

Имея матрицу перехода, определяем матрицы , ,в форме ИКП по формулам:

;;.

Подставляя значения и, получаем:

,

,

.

Эти же матрицы можно получить, используя свойства перехода от базиса УКП к базису ИКП, то есть, транспортируем матрицу , а для получения векторатранспортируем вектор строку (вектор строказадана в форме УКП), а для получения векторатранспортируем вектор столбец, который также задан в форме УКП.

Для осуществления преобразования подобия решим еще один пример.

Пример 8.9.

Заданы матрицы и, которые следует записать в форме УКП.

,. (8-24)

Для получения матрицы преобразования (выражение (8-19)) следует знать матрицыи в двух базисах - исходном и УКП. Исходная матрица задана, а матрицы в форме УКП получаем через характеристический многочлен:

.

Каноническое представление матриц и в форме УКП имеет вид:

,.

;. (8-25)

Матрицы и в старом базисе определяются выражением (8-24), а для их определения в новом базисе определим матрицу переходакак:

. (8-26)

Определяем составляющие выражения (8-26)

Осуществим проверку. Матрица должна приводить матрицуи к каноническому виду (форме УКП):

,

. (8-27)

Как видно из этого примера, преобразования подобия, даже для простой системы, связано с громоздкими расчетами. В MatLabимеется командаss2ss, осуществляющая преобразования подобия при заданной матрицы. Применение этой команды значительно упрощает расчеты и будет проиллюстрировано на конкретных примерах.