МУ ЛР Электромагнетизм

–вынужденные незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС (второй член уравнения);

–затухающие колебания с собственной частотой ωi.

Амплитуда собственных колебаний A e t зависит от начальных условий и от времени. С течением времени она становится пренебрежительно малой по сравнению со вторым членом уравнения (13), и в контуре устанавливаются вынужденные колебания. Процесс установления вынужденных колебаний называется переходным. В дальнейшем будем полагать, что переходные процессы закончились и q q2. В установившемся режиме заряд на конденсаторе изменяется

Здесь 2 – сдвиг фаз между током в контуре и приложенной

внешней ЭДС. Амплитудное значение тока I0 и сдвиг фаз рассчитываются по формулам:

емкостным сопротивлениями соответственно, а

определяет полное сопротивление цепи или импеданс (или точнее его модуль).

Таким образом, между амплитудными значениями силы тока I0 и ЭДС

существует соотношение I0 Z0 – аналог закона Ома для постоянного тока.

Сдвиг фаз φ в цепи определяется соотношением активных и реактивных

51

сопротивлений:

-если в контуре присутствует только активное сопротивление, φ = 0 (ток колеблется в одной фазе с приложенной ЭДС);

-если в контуре присутствует только индуктивное сопротивление 2

(ток отстает по фазе на 2 от приложенного напряжения); - если в контуре присутствует только емкостное сопротивление 2

(ток опережает по фазе на 2 приложенную ЭДС).

Сумма падений напряжений в последовательном контуре равна внешней

ЭДС:

где падения напряжения на каждом из элементов цепи определятся соотношениями:

Соотношение между амплитудными значениями падений напряжения выглядят следующим образом:

U L0 I0 L

0 I0 Z

Рисунок 4.2 – Векторная диаграмма напряжений в последовательном контуре (фаза тока выбрана равной нулю)

векторной диаграммы, приведенной на рис. 4.2.

2. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении их частоты к некоторой характерной для данной колебательной системы частоте – называется резонансом.

Найдем частоту ω внешней ЭДС, при которой сила тока в контуре максимальна. Из формулы (18) следует, что I0 достигает максимума, когда

L 1 , т. е. резонансная частота для тока определяется выражением:

LC

52

т.е. совпадает с собственной частотой свободных колебаний контура и не зависит от активного сопротивления. При этом

активном сопротивлении. Это явление называется резонансом напряжений. При I 0 сдвиг фаз между силой тока в контуре и внешней ЭДС

равен нулю: tg 0, 0 т. е. контур ведет себя, как активное сопротивление. Зависимость амплитудных значений тока, напряжения в контуре от частоты носит название резонансной кривой. Резонансная кривая для тока в контуре описывается уравнением (18) и изображена на рис.3.

На рис. 4.3 видно, что все резонансные кривые начинаются в нуле и максимум кривой тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность (такой же вид имеют резонансные кривые для напряжения на активном сопротивлении)

Амплитуда напряжения на конденсаторе UC0 зависит от частоты следующим образом:

Максимального значения амплитуда UC0 достигает тогда, когда

53

3.Важной характеристикой колебательного контура является добротность Q. Это безразмерная величина, характеризующая относительную величину потерь энергии в контуре:

где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за период. Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания:

где T 2 – период затухания колебаний.

1

54

В случае слабого затухания Q R1 CL . В этом случае резонансное

напряжение на конденсаторе (в случае слабого затухания не делается различие между U и I ) равно:

т.е. добротность показывает во сколько раз резонансная амплитуда напряжения на конденсаторе контура больше амплитуды приложенной ЭДС.

Добротность можно определить по резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой следующим образом: проведем горизонтальную

2 02 2 2 2 02 2 .

т.е. добротность равна отношению частоты к ширине резонансной кривой. Точно таким же образом

определяется добротность по резонансной кривой для силы тока:

4. Резонансные характеристики контура можно использовать для определения параметров его элементов. Реальный контур отличается от идеализированного (рис. 1) тем, что

55

Рисунок 4.7 Последовательный колебательный контур

катушка индуктивности L имеет активное сопротивление RL и, измеряя напряжение на катушке, мы тем самым измеряем суммарное падение напряжения на индуктивности и активном сопротивлениях (рис. 4.7).

Пусть сила тока при резонансе напряжений равна I . Тогда падение напряжения (амплитудные значения) на элементах контура определится соотношениями:

Формулы (4З ÷ 45) используются для нахождения параметров элементов цепи. Активное сопротивление можно вычислить, зная ток в цепи и падение напряжения на R:

URрез.

R 0 (46)

I0рез.

Амплитуды напряжения на конденсаторе достигают максимального

56

Так как при слабом затухании добротность определяется по формуле:

2 ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Электрическая схема установки приведена на рис 4.8.Требуемые элементы последовательного колебательного контура выбираются с помощью переключателей (L1 - L4,; С1 – С5, R1— R6). Контур подключается к выходу 2 генератора сигналов ГЗ-З5. К выходу 1 генератора подключается вход А электронносчетного частотомера 4З-34А. Последовательно с элементами контура включено сопротивление R=1 Ом так, что падение напряжения на нём численно равно силе тока в цепи. Его включение вызвано тем, что сила тока измеряется цифровым вольтметром по падению, напряжения. Подключение вольтметра к катушкам индуктивности, конденсаторам, активным сопротивлениям и резистору R осуществляется переключателями, расположенными вблизи клемм подключения вольтметра.

Сдвиг фаз между силой тока в контуре и приложенной ЭДС измеряется с помощью осциллографа. На горизонтальный вход X осциллографа подаётся сигнал с генератора, уровень которого регулируется потенциометром Rус. (регулятор «Усиление X» расположен на стенде). На вертикальный вход У осциллографа подаётся напряжение, падающее на активном сопротивлении контура, пропорциональное силе тока в цепи. Таким образом, на электронный луч действуют две колеблющиеся во взаимно-перпендикулярных направлениях силы. Рассмотрим траекторию луча, получающуюся при сложении двух взаимноперпендикулярных колебаний.

57

14. Переключателями на стенде подключите вольтметр поочередно к конденсатору и катушке индуктивности. Измеренные значения напряжении

вольтметр к активному сопротивлению.

15.Тумблер "X" на стенде поставьте в положение "Выкл". Измерьте высоту вертикальной линии 2b на экране осциллографа. Переведите тумблер в положение. "Вкл" и измерьте "толщину" эллипса 2у (рис. 9) (для прямой 2у = 0), Результаты занесите в таблицу 4.1.

16.Уменьшая частоту генератора так, чтобы амплитуда напряжения на сопротивлении уменьшалась каждый раз на 10% от максимальной, снимите 7–8 значений напряжения UR0 . В каждой точке измеряйте . параметры 2в и 2у эллипса

на экране осциллографа согласно п.14. Получаемые значения UR0 2в, 2у и частоты

νзаносят в таблицу 4.1.

17.Вернувшись к резонансной частоте повторите измерения по п.16, увеличивая частоту генератора. Измеренные в 7-8 точках значения; UR0 , ν , 2в, 2у

занесите в таблицу 4.1.

18. Переключателем на стенде подключите вольтметр В7-27А/1 к конденсатору. Изменяя частоту генератора, добейтесь максимума напряжения на конденсаторе (соответствующая резонансная частота U и будет меньше резонансной частоты I ). Значение, резонансной частоты U занесите в таблицу

4.3.Эту же частоту вместе со значением напряжения Uc0 занесите в таблицу 4.2.

19.Уменьшая частоту от U до 20 Гц снимите 7- 8 значений напряжения

на конденсаторе Uc0. Результаты измерений Uc0 частоты ν занесите в таблицу 4.2. 20. Увеличивая частоту от U так, чтобы амплитуда напряжения на конденсаторе Uc0 уменьшалась на 10% от максимальной, снимите ещё 7-8 точек

резонансной кривой; Результаты занесите в таблицу 4.2.

Таблица 4.1 Резонанс силы тока и сдвиг фаз между током и напряжением

60