Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4609 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Керченский государственный морской технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

МУ ЛР Электромагнетизм

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
08.02.2016
Размер:
1.01 Mб
Скачать
☆

P f x 2 x ,

 

(12)

где функция f x имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

f x

 

1

 

 

 

x x 2

 

 

 

e

2

2

(13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

Функция f x называется функцией распределения Гаусса. Формула (12)

тем точнее, чем меньше x и чем больше число измерений n.

Полученные Гауссом результаты позволили сформулировать и решить вопрос о погрешности измерений при влиянии случайных ошибок. Поставим

вопрос следующим образом: указать тот интервал

x ,

 

x x; x

(14)

к которому с заданной вероятностью («надежностью») принадлежит истинное значение измеряемой физической величины х. Этот интервал называют доверительным интервалом. (Обычно в физическом практикуме задается надежность p 0,95 95% ). Ответ на этот вопрос следующий:

x t , n 1 ,

(15)

где величина t, называемая коэффициентом Стьюдента, зависит от числа измерений n , а также от степени требуемой надежности. Эта величина протабулирована, см. таблицу 1.

Относительная ошибка определяется по формуле

 

x

(16)

 

x

Итак, алгоритм обработки результатов многократных измерений физической величины х следующий.

1.Провести n измерений и зафиксировать результаты единичных измерений x1 , x2, ... xn .

2.По формуле (8) определить среднеарифметическое значение x

величины х.

3.Вычислить отклонения единичных измерений от среднеарифметического значения по формулеxk x

4.Вычислить величины xк 2 , к 1,2,...,n.

5.Вычислить среднеквадратичную погрешность по формуле (7).

6.Задать надежность р (обычно p 0,95 ) и определить из таблицы 1

коэффициент Стьюдента для n измерений.

7.Вычислить величину x по формуле (15).

8.Представить результат в стандартном виде с указанием его надежности:

x x x x x, p 0,95 . 9. Вычислить относительную ошибку по формуле (16).

11

Таблица 1 – Значения коэффициентов Стьюдента при различной

надежности и разном числе измерений

 

0,5

0,7

0,9

0,95

0,98

0,999

 

 

 

 

 

 

 

2

1,00

2,00

6,30

12,7

31,8

636,6

3

0,82

1,3

2,90

4,30

7,0

31,6

4

0,77

1,25

2,4

3,2

4,5

12,9

5

0,74

1,2

2,1

2,8

3,7

8,6

6

0,73

1,15

2,0

2,6

3,4

6,9

7

0,72

1,1

1,9

2,4

3,1

6,0

8

0,71

1,1

1,9

2,4

3,0

5,4

9

0,71

1,1

1,9

2,3

2,9

5,0

10

0,70

1,1

1,8

2,3

2,8

4,8

20

0,69

1,1

1,7

2,1

2,5

3,9

60

0,68

1,0

1,7

2,0

2,4

3,5

 

0,67

1,0

1,6

2,0

2,3

3,3

1.4 Оценка систематических погрешностей

Оценку систематических погрешностей экспериментатор производит, анализируя особенности методики, паспортную точность приборов и производя контрольные опыты. К первому типу систематических погрешностей относят, так называемые, ошибки округления. Они связаны с методикой снятия показаний со шкал измерительных приборов. Опытный экспериментатор способен оценить десятые доли деления. Однако, при обработке результатов измерений обычно полагают, что результат невозможно получить с точностью большей, чем половина деления измерительного прибора. Отсюда - погрешность округления.

окрx 0,5 Cx

(17)

где Cx – цена деления шкалы прибора, измеряющего x.

Так при измерении линейкой, наименьшее деление которой I мм, допускается ошибка до 0,5 мм.

Для приборов, оснащенных нониусом, за приборную погрешность принимают погрешность, определяемую нониусом (для штангенциркуля - 0,1 мм или 0,05 мм; для микрометра - 0,01 мм).

Для измерения толщины проволоки нельзя пользоваться миллиметровой линейкой, нужен штангенциркуль, микрометр или другой более точный прибор (например, микроскоп). А вот для измерения площади лабораторного стола достаточно метровой линейки с сантиметровыми делениями.

Кроме погрешностей округления существуют систематические погрешности, связанные с особенностями конструкции самих измерительных приборов - приборные погрешности. Систематические погрешности электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров, мостов, потенциометров и т.д.) определяются их классом точности , η который обычно выражается в процентах:

C

пр

 

х

(18)

xmax

 

 

 

12

где х – максимальное значение погрешности прибора, xmax – максимальное значение измеряемой величины, ГОСТом предусмотрен следующий ряд значений класса точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 и т.д. Существует различие в правилах определения погрешностей и в определении класса точности. При многочисленных измерениях погрешность опыта только вN случаях меньше слx , а в 1 N случаях больше слx . Класс точности

определяет максимальное возможное значение погрешности. Приборы, которые могут давать, хотя бы иногда, большие по грешности, должны быть отнесены к другому классу. Такое различие в определениях очень неудобно. В научных публикациях принято приводить именно среднеквадратическую ошибку, а не максимальную. Строгих формул перевода одних погрешностей в другие не существует. Можно пользоваться следующим правилом: для доверительных вероятностей 0,67; 0,95; 0,998 приборная погрешность соответственно

составляет 1 ; 2 и 1 от максимального значения.

2 3

Таким образом для доверительной вероятности 0,95 приборная погрешность определяется по формуле

прx 2 xmax

300

Относительная приборная ошибка прx 2 xmax уменьшается с

х 300 х

увеличением х, поэтому приборы обеспечивают большую точность при больших отклонениях стрелки и очень малую – в начале шкалы. Отсюда следует рекомендация: выбирать прибор (или шкалу многошкального прибора) следует так, чтобы измерения проводились по возможности во второй половине шкалы.

Шкалы электроизмерительных приборов обычно изготовляют так, что одно деление шкалы прибора приблизительно равно максимальной погрешности прибора. Поэтому прx и окрx как правило, сравнимы по величине и при расчете

ошибки их следует обе учитывать (если класс точности прибора не указан, то систематическая ошибка сводится к погрешности округления). При наличии как случайных, так и систематических погрешностей погрешность прямого измерения определится по формуле:

x слx 2 прx 2 окрx 2

1.5 Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях интересующая экспериментатора величина А находится по некоторой формуле

A f x,y,...,z

(19)

где x,y,...,z . – результаты прямых измерений.

В качестве наилучшего приближения к истинному значению выбирается среднее арифметическое (если прямые измерения выполнялись многократно):

A f x,y,...,z (20)

13

Погрешность A определяется из погрешностей прямых измерений по формуле:

 

df

2

df

2

df

 

2

A

 

 

x

 

 

y

...

 

z

(21)

 

 

 

 

dx

 

dy

 

dz

 

 

Значение частных производных берутся в точках x,y,...,z . Формула

(21) является общей. В частных случаях она упрощается.

 

df

 

df

 

 

а) Пусть A x y. Тогда

1,

1 и A

x 2 y 2

dx

dy

 

 

 

 

(абсолютные погрешности складываются квадратично).

б) Пусть A xy. Тогда

df

 

 

y

,

 

df

 

 

x и A

 

y x 2 x

y 2

 

 

dy

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как A

x y , то

A

 

 

x 2

y 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

 

 

(относительные погрешности складываются квадратично).

В таблице 2 приведены наиболее часто встречающиеся случаи использования формулы (21).

Таблица 2 – Погрешности косвенных величин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x y ... z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

x 2

y 2 ... z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y ... z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

u ... v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A x

l

y

m

... z

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

z

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

2

x

m

 

 

 

... n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l const,m const,n const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A e x, const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A ln x, const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A sinkx,k const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

k ctg k

 

k

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A coskx,k const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

k tg k

 

k

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A tgkx,k const

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

2k x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2k

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Многие расчетные формулы могут быть сведены к формулам таблицы 2. Пусть, например, A x y z. Положим x y B.

14

 

 

A

 

 

B

2

 

z

2

 

 

 

 

 

. Но B

x 2 y 2

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B x y. Окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

x 2 y 2

z 2

 

 

 

 

 

x

y

2

 

 

 

 

 

A

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.6 Обработка графической информации (метод наименьших квадратов)

Очень часто цель эксперимента заключается в том, чтобы из опыта найти неизвестный параметр в известной формуле. Так, например, пройденный путь при равноускоренном движении без начальной скорости описывается формулой

S 1 at2 (известна зависимость S от t, требуется определить a); зависимость

2

сопротивления чистого полупроводника от температуры вычисляется по формуле

E

R Ae2RT (известна зависимость R от Т, требуется определить ширину запрещённой зоны E и параметр А). Обе приведенные зависимости являются нелинейными, но, если в первом случае строить график S от t2 , а во втором lnR от

1 , то оба графика будут представлять из себя прямые линии. Тангенс угла

T

наклона прямой к оси t2 равен 1 a в первом случае и E – во втором, вторая

2 2R

прямая пересекает ось lnR в точке lnA.

Однако, из-за наличия погрешностей измерения, а в некоторых случаях из-за статического характера исследуемых зависимостей экспериментальные точки не ложатся на теоретическую прямую(см. рисунок 2).

Рисунок 2 – Построение прямой у=ax+b по экспериментальным точкам

15

Возникает следующая задача: по экспериментальным точкам провести прямую наилучшим образом, т.е. проходящую по возможности ближе ко всем точкам. В случае числа экспериментальных точек 2 2 количественным критерием является сумма квадратов отклонений "теоретических" Yi ' от "экспериментальных" Yi ; точек (квадраты берутся для того, чтобы избежать взаимной компенсации положительных и отрицательных отклонений). Метод, использующий этот критерий, носит название метода наименьших квадратов.

Пусть имеется набор n экспериментальных точек xi,yi ,i 1,2,...,n

Теоретическая зависимость имеет вид:

Y ax b

Тогда упомянутая сумма определяется выражением

n

S yi axi b 2

i 1

Коэффициенты a и b находятся из условия, чтобы S Необходимые условия минимума дают систему уравнений:

dS

n

 

 

2 yi

axi

b xi 0

 

 

 

da

i 1

 

 

 

n

 

 

dS

 

 

2 yi

axi

b 0

 

 

db

i 1

 

 

или

(22)

(23)

была минимальна.

(24)

 

n

n

n

 

 

a xi2 b xi

xi yi

0

 

i 1

i 1

i 1

 

(25)

 

n

 

n

 

 

 

bn a yi

0

 

a xi

 

 

i 1

 

i 1

 

 

Решение системы (25) дает следующие формулы для определения a и b:

 

n

 

 

 

n

 

n

 

 

 

xi yi

xi yi

 

 

 

a

i 1

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

2

 

 

n xi2

xi

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

(26)

 

n

n

 

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

2

xi xi yi

 

 

yi xi

 

 

i 1

i 1

 

 

i 1

i 1

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

n

2

 

n

 

 

 

 

n xi

 

 

xi

 

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

После того как коэффициенты a и b найдены, зависимость y ax b может быть использована как градуировочная для нахождения неизвестного значения y0 по графику в точке x0 . Погрешность y0 определяется как погрешность x0 (если x0 – экспериментальная величина) так и погрешностями проведения графика :

y

a x

2 x a 2

b 2

(27)

 

0

0

 

 

16

Здесь x0 находится обычными методами, а погрешности a и b определяются следующими формулами:

 

n

 

n

2

 

 

n yi2

yi

 

 

a

i 1

i 1

 

(28)

n

 

n

2

 

 

 

n2 xi2

 

xi

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

a

n

2

 

n

2

 

b

 

 

n xi

 

xi

(29)

n

 

i 1

 

 

i 1

 

 

В заключение приведем формулу метода наименьших квадратов в случае

более простой теоретической зависимости:

y kx

 

 

 

 

 

(30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

k

xi yi

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

xi2

i 1

n n

yi2 k2 xi2

k i 1 i 1 (31)

n

n xi2

i 1

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА МЕТОДОМ

МАГНЕТРОНА

Цель работы: Исследование движения заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях; определение отношения заряда электрона к его массе.

Оборудование: Кенотрон (вакуумный диод) В 1-0,1/30, соленоид, блок питания 0–50 В, блок питания цепей накала и соленоида, ЛАТР, амперметр, вольтметр, миллиамперметр.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1. Отношение заряда электрона, е к его массе т называется удельным

зарядом. Для измерения удельного заряда e применяют различные методы. Все m

17

они основываются на том, что характеристики движения заряженных частиц в электрическом и магнитном поле зависят от me . Рассмотрим ,например,

движение положительно заряженной частицы в однородном магнитном поле. Пусть частица влетает в однородное магнитное поле с индукцией В со скоростью v , перпендикулярно силовым линиям смотри рис. 1.1.

Рисунок 1.1 – Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле v B

Со стороны магнитного поля на частицу действует сила Лоренца:

Fл q(v B),

(1)

(направление силы показано на рис. 1).

Так как Fл перпендикулярна v , то работы она не совершает, следовательно, модуль вектора скорости не изменяется, изменяется лишь его направление. Сила Лоренца, перпендикулярная вектору скорости, является в этом случае центростремительной, а траектория движения частицы – окружность. Для нахождения радиуса окружности запишем второй закон Ньютона:

 

mv2

qvB ,

 

(2)

 

R

 

 

 

 

 

 

где α – угол между векторами v и B; в нашем случае

;

 

2

m – масса частицы.

 

 

 

 

 

 

Тогда:

R

mv

 

 

(3)

qB

 

 

 

 

 

 

Период Т обращения частицы по окружности вычислим следующим способом:

T

2 R

2

m

(4)

v

qB

 

 

 

Из формул (3) и (4) видно, что радиус траектории и период обращения

зависят от удельного заряда q поэтому измерение этих параметров движения, m

может быть положено в основу определения mq .

18

Рисунок 1.2 – Движение заряженной частицы в магнитном поле

Если частица влетает в однородное магнитное поле под углом α к линиям индукции магнитного поля, то траекторией движения будет винтовая линия, (рис. 1.2) – частица участвует в равномерном движении в направлении поля и вращается в плоскости, перпендикулярной полю.

Радиус R витка, шаг спирали h и период обращения вычисляются по формулам:

R

mv

sin ,

h 2

mv

cos ,

T 2

m

T

m

 

2

(5)

qB

qB

qB

 

 

 

q

B

2. В настоящей работе отношение

e

для электрона определяется с

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

помощью метода, получившего название "метода магнетрона". Это название связано с тем, что применяемая в работе конфигурация электрического и

Рисунок 1.3 – Устройство вакуумного диода и конфигурация полей в нем при помещении его в соленоид

магнитного полей совпадает с конфигурацией полей в магнетроне – генераторе электромагнитных колебаний СВЧ диапазона. Движение электронов, испускаемых нагретым катодом, вакуумного диода в этом случае, происходит в кольцевом пространстве, заключенном между катодом и анодом двухэлектродной электронной лампы (рис. 1.3). Нить накала – катод – коаксиальна с цилиндрическим анодом, так, что электрическое поле направлено радиально и в силу симметрии зависит только от координаты r цилиндрической системы координат. Сам вакуумный диод помещен внутрь соленоида так, что магнитное поле соленоида В направлено параллельно оси катода, т.е. перпендикулярно электрическому полю. Электрическое поле ускоряет электроны в пространстве

19

между электродами, а магнитное поле искривляет их траекторию, т.е. равнодействующая сила равна векторной сумме

F eE e(v B),

(6)

где E – напряженность электрического поля; В – индукция магнитного поля. Под действием такой сложной системы сил электроны движутся по траекториям, показанным на рис.4. В отсутствии магнитного поля траектория электрона прямолинейна и направлена вдольрадиуса. При слабом магнитном поле траектория несколько искривляется, но электрон все же достигает анода.

При некотором критическом значении индукции магнитного поля Вкр траектория искривляется так сильно, что только касается анода. При В > Bкр электрон вовсе не попадает на анод и возвращается к катоду. Траектория электрона в общем случае представляет собой кривую с переменной кривизной, радиус которой увеличивается при приближении к аноду. (Чем больше скорость электрона, тем больше радиус кривизны согласно формуле (3)).

Величина критического поля Bкр определяется соотношением

Bкр

 

8mUa

.

(7)

 

 

 

er2

 

 

 

a

 

Если определить Bкр, то соотношение может быть использовано для нахождения удельного заряда электрона:

Рисунок 1.4 – Траектории электронов в диоде в зависимости от индукции аксиального магнитного поля

e

 

8Ua

.

(8)

 

2 2

m

r B

кр

 

 

 

a

 

Для нахождения Bкр необходимо исследовать зависимость анодного тока Ia от индукции магнитного поля. Если все электроны вылетают с катода с одинаковыми скоростями, то при В < Вкр все они попадают на анод и создают анодныйток, а при B ≥ Bкр электроны на анод не попадают – анодный ток прекращается. Зависимость анодного тока от индукции магнитного поля – сбросовая характеристика – в этом случае показана на рисунке 1.5а пунктиром. На самом деле электроны, испускаемые нагретым катодом, обладают различными начальными скоростями. Критические условия достигаются, поэтому для различных электронов при различных значениях В. По этой причине, сбросовая характеристика "размазывается". Её вид изображен сплошной линией. Кроме того, к "размазыванию" сбросовой характеристики приводят и другие причины: некоаксиальность анода и катода, наклон вектора магнитной индукции по отношению к катоду и т.д. Все эти причины затрудняют определение Bкр по

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности