Исследование систем линейных уравнений

§ 1. Общие понятия. Систему уравнений вида

(1)

называют системой «m» линейных уравнений с «n» неизвестными x₁, x₂, ……x_n все остальные величины известны. Числа, стоящие в правых частях уравнений, называют свободными членами. Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной и наоборот.

Совокупность «n» чисел α₁, α₂,…… α_n называется решением системы (1), если каждое уравнение системы обращается в числовое равенство после подстановки в него α_i вместо соответствующих неизвестных x_i .

При этом могут представиться различные случаи: а) система имеет единственное решение, например

б) система может вообще не иметь решений

Если такие системы не имеют смысла, то их называют несовместными, а имеющие решения – совместными

в) система имеет множество решений (обычно если n > m), т.е. когда количество неизвестныx больше количества уравнений х₁ + х₂ = 0

§ 2. Система 2-х уравнений с 2-мя неизвестными

Рассмотрим неоднородную систему

1. Если , то и , т.е. система имеет единственное решение.

2. Если , то, т.е.

Здесь могут быть два случая

а) или или оба определителя не равны нулю.

Пусть = 0, . Т.е. . Поэтому

.

Следовательно, система не совместна. Пример

б) оба определителя равны нулю. .

Последнее уравнение есть следствие предыдущих, поэтому эта система имеет бесконечное множество решений, т.е. неопределенна.

Например:

Здесь второе уравнение есть следствие первого , которое имеет множество решений.

Однородные системы

Здесь и все зависит от определителя .

; имеем 2 случая

1. . Тогда

2. , т.е. . Или

Второе уравнение есть следствие первого.

Например

§ 3. Система 3-х уравнений с 3-мя неизвестными

Рассмотрим неоднородную систему

1. Если , то имеем единственное решение

2. Если , то могут быть такие случаи.

Пусть элементы двух строк определителя пропорциональны: (например ) в этом случае если:

а) если и третье уравнение не противоречит первому, то система имеет множество решений.

Например: (3)

Здесь

Вместо первого и второго уравнения системы (3) будет

б) система несовместна. Например

Рассмотрим однородные уравнения

1. Если , то система имеет единственное решение .

2. Если , то,,.

Система имеет множество решений.

Например:

. Вместо 3-х уравнений получаем одно , которое допускает множество решений.

Вопросы для самоконтроля

1. Определители 2-го и 3-го порядков, их вычисление и свойства.

2. Минор, алгебраическое дополнение элемента. Вычисление определителя разложением по элементам ряда. Понятие об определителях произвольного порядка.

3. Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц.

4. Матрица, обратная данной. Алгоритм её нахождения.

5. Понятие о системах m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными. Общая схема исследования.

6. Понятие о ранге матрицы. Методы его вычисления. Условие совместности СЛАУ.

7. Решение системы линейных алгебраических уравнений с помощью формул Крамера.

8. Решение системы линейных алгебраических уравнений средствами матричного исчисления.

9. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛАУ.

10. Основные и свободные неизвестные. Решение СЛАУ для случая m = n.

11. Исследование однородных систем линейных уравнений.