Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Пусть функция непрерывна на отрезке . Функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения либо во внутренней точке отрезка , либо на границе х₀=а или х₀=b. Если , то х₀ критическая точка данной функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. Найти критические точки функции, т.е. решить уравнение ;

2. Вычислить значение функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу ;

3. Вычислить значение функции на концах отрезка, в точках х=а и х=b;

4. Среди всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Если функция на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонна убывает или возрастает. Следовательно, наибольшее и наименьшее значение принимает только на концах отрезка.

Пример: найти максимум и минимум функции на отрезке [-2;1].

1.

х₁=0, х₂=-1 обе точки принадлежат данному отрезку;

2. f(0)=1 f(-1)=3-4+1=0

3. f(-2)=48-32+1=17 f(1)=3+4+1=8

4. минимальное значение функции на отрезке [-2;1] f(-1)= 0,

максимальное значение функции на отрезке [-2;1] f(-2)=17.

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции широко применяется при решении многих практических задач математики, физики, химии, экономики. Практические задачи: транспортная задача о перевозке груза с минимальными затратами, задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и т.п. (задачи оптимизации).

Пример: определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

Решение:

Обозначим а- сторона квадратного дна бассейна, h- высота бассейна.

- площадь поверхности.

-получили функцию площади. Необходимо найти при каком значении а функция будет принимать минимальное значение.

, , .

Т.к. V=32 м³ , то а=4 м.

вторая производная больше нуля при а=4м, следовательно, функция будет достигать минимального значения при а=4. Окончательно получили размеры бассейна: а=4м и м.

Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала .

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала .

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части выпуклости и вогнутости, называется точкой перегиба.

Интервалы выпуклости и вогнутости находятся с помощью следующей теоремы.

Теорема (достаточное условие выпуклости (вогнутости)). Пусть функция имеет вторую производную на интервале . Тогда, если на этом интервале, то функция выпукла, если , то график функции вогнутый на этом интервале.

Для нахождения точек перегиба используются следующая теорема: (необходимое условие точки перегиба). Пусть задана функция . Если или не существует и при переходе через точку х₀ вторая производная меняет знак, то точка графика функции с абсциссой – есть точка перегиба.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками 2 –го рода.

Точки перегиба следует искать среди критических точек 2- го рода.

Пример: исследовать функцию на интервалы выпуклости, вогнутости, найти точки перегиба. .

1.

2. решаем уравнение . Получаем х=0.

3. определяем знак второй производной в интервалах (-∞; 0) и (0; ∞). На интервале (-∞; 0) знак второй производной отрицательный , график функции выпуклый. На интервале (0; ∞) - график функции вогнутый.

4. меняет знак, следовательно, точка (0; 5) – точка перегиба.

Асимптоты графика функции.

Прямая линия m называется асимптотой графика функции , если расстояние d от точки M, лежащей на этом графике, до прямой m стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат в бесконечность.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальные, наклонные и горизонтальные.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов и равен бесконечности ().

Обычно вертикальными асимптотами являются прямые в точках разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания вертикальных асимптот определяют точки бесконечного разрыва функции. Тогда уравнение вертикальных асимптот . Вертикальные асимптоты могут быть и на границе области определения функции. Например, как у функции .

Пример: найти асимптоту графика функции .

Точка х=-1 точка разрыва, , .

х=-1 – вертикальная асимптота.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ).

Уравнение наклонной асимптоты к графику функции ищем виде , где (*)

(**)

Если хотя бы один из пределов (*) и (**) не существует или равен бесконечности, то кривая наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты графика функции при и могут быть разными. Поэтому при нахождении пределов (*) и (**) следует отдельно рассматривать случай, когда и когда .

Частным случаем наклонной асимптоты (при ) является горизонтальная асимптота.

Прямая является горизонтальной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда (соответственно, ).

Пример: для функции

, , т.е. горизонтальная асимптота (ось Ох).

Общая схема исследования функции и построение графиков функций.

При построении графика данной функции целесообразно пользоваться следующей схемой:

1. найти область определения функции;

2. исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность;

3. найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно);

4. найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых и );

5. найти асимптоты;

6. найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7. найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

8. построить график функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым вычислить несколько дополнительных точек.

Пример 1. Исследовать функцию и построить график .

1. Область определения функции ;

2. Исследуем функцию на четность и нечетность: . Получили, и, т.е. данная функция общего вида.

3. Находим точки пересечения с осями координат:

при ,

при решаем уравнение

Точки пересечения (0; 0) и (-3; 0).

4. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы. Для этого найдем производную и решим уравнение .

Производная обращается в ноль при или .

Критические точки

Для проверки достаточных условий экстремума и определения интервалов убывания, возрастания составим таблицу. Полезно нанести критические точки на числовую ось.

	+	0		0	+
	Возрастает	0 max	Убывает	-4 min	Возрастает

Производная сохраняет знак в каждом из указанных интервалов. Для его определения выберем в каждом интервале пробную точку и определим знак производной в этой точке. Например, в первом интервале выберем точку . Вычислим , производная больше нуля, функция на этом интервале возрастает и т.д. При переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, точка (-3; 0) точка максимума; (-1;-4) - точка минимума.

5. Найдем точки перегиба графика функции. Для этого определим вторую производную и решим уравнение .

- критическая точка. Для проверки достаточных условий выпуклости, вогнутости составим таблицу.

		0	+
	Выпуклая	-2 Точка перегиба	Вогнутая

На интервале вторая производная имеет отрицательный знак – график функции на этом интервале выпуклый, на интервале вторая производная положительная – график функции на этом интервале вогнутый, точка (-2; -2) - точка перегиба.

6. Строим график функции. Находим дополнительные точки

Пример 2. Исследовать функцию и построить график .

1. Область определения , т.е..

2. Функция нечетная .

3. Точка пересечения с осями (0; 0).

4. Интервалы знакопостоянства. Разложим знаменатель на множители . На числовой прямой изобразим точки и определим знак функции в каждом из полученных интервалов.

На интервалах и функция имеет положительный знак, на интервалах и - отрицательный.

5. Находим асимптоты. Точки с абсциссами являются точками разрыва, следовательно, вертикальные асимптоты прямые . Определим односторонние пределы в этих точках.

Наклонную асимптоту будем искать в виде .

Получили: - горизонтальная асимптота.

6. Находим интервалы убывания, возрастания, экстремумы функции. Для этого найдем производную и решим уравнение .

Производная не обращается в нуль ни в одной точке. В точках производная не существует, но эти точки не принадлежат области определения, поэтому точек экстремума нет. На числовой прямой изображаем точки и определяем интервалы убывания и возрастания функции.

Вкаждом из интервалов производная имеет положительный знак,

следовательно функция возрастает на всей области определения.

7. Определяем точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости. Находим вторую производную и решаем уравнение .

Критические точки . Для проверки достаточных условий выпуклости, вогнутости составляем таблицу.

	+		0	+	─
	Вогнутая	Выпуклая	0 Точка перегиба	Вогнутая	Выпуклая

8) Строим график функции. Дополнительные точки

Пример 3.

1. область определения ;

2. точка пресечения с осями координат (0; 0);

3. функция не является четной или нечетной, функция общего вида;

4. если х<0, то у<0; если х>0, то у>0 – интервалы знакопостоянства;

5. находим асимптоты: , график функции при асимптоты не имеет; , при график функции имеет горизонтальную асимптоту у=0;

6. находим точки экстремума, интервалы возрастания, убывания. при х=-1. На интервале (-∞; -1) производная отрицательная , следовательно на этом интервале функция убывает, на интервале (-1;∞) производная положительная , функция здесь возрастает. Точка х=-1 точка минимума, .

7. находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба. при х=-2. На интервале (-∞;-2) знак второй производной отрицательный -график функции выпуклый; на интервале (-2;∞) знак второй производной положительный - график функции вогнутый. Точка х=-2 точка перегиба, .

8. строим график функции. Дополнительные точки .