Бесконечно малые величины.

Функция называется бесконечно малой при , если .

Примеры:

1) функция является бесконечно малой (б.м.) при ;

2) функция б.м. при ;

3) функция б.м. при .

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми, обозначают буквами α, β, γ, δ и т.д. (В природе – масса льдины находящейся в воде, в процессе таяния является бесконечно малой величиной.) суть б.м. в том, что в процессе изменения переменная величина стремится к нулю.

Теорема 1. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых величин есть так же бесконечно малая величина.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию при (или при ) есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Так как функция ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки . Кроме того, так как – бесконечно малая функция при , то для произвольного найдется окрестность точки , в которой будет выполняться неравенство . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем . А это и значит, что – бесконечно малая. Для случая доказательство проводится аналогично.

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то . Произведение конечного числа б.м. величин есть б.м. величина.

Следствие 2. Если и c=const, то . Произведение величины б.м. на величину постоянную есть б.м. величина.

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции на функцию , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть. Тогда есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

Бесконечно большие функции.

Наряду с бесконечно малыми величинами существуют бесконечно большие. Например, время, отсчитываемое от некоторого начального момента, может возрастать неограниченно. Путь, который проходит точка числовой оси, неограниченно удаляясь от начала координат.

Опр. Функция стремится к бесконечности при , т.е. является бесконечно большой величиной, если для любого числа М, как бы велико оно ни было, можно найти такое , что для всех значений , удовлетворяющих условию , имеет место неравенство .

Обозначают .

Если стремится к бесконечности при и при этом принимает только положительные или только отрицательные значения, соответственно пишут или .

Примеры.

1. ,(см. рис.).

2. .

3. Функция при не стремится ни к какому пределу (см. рис.).

Соотношение между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

Теорема 1. Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .

Пример.

Ясно, что при функция является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при , т.е. .

Теорема 2. Если функция - бесконечно малая при (или) и не обращается в нуль, то является бесконечно большой функцией.

Примеры.

1. .

2. .

3. , так как функции и - бесконечно малые при , то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

.