Fizika - V. F. Dmitriyeva

Р О З Д І Л 4

Е Л Е К Т Р О М А Г Н І Т Н І

КО Л И В А Н Н Я І Х В И Л І

Уцьому розділі розглянуто широке коло питань, пов'язаних

зколиваннями і хвилями. Вчення про коливання і хвилі у фізиці виділяють окремо. Це зумовлено спільністю закономірностей коливальних процесів різної природи і методів їх дослідження. Механічні, акустичні, електромагнітні коливання і хвилі розглядаються з єдиної точки зору.

Коливання притаманні всім явищам природи. Пульсують зорі і обертаються планети Сонячної системи, у земній атмосфері та іоносфері циркулюють потоки заряджених і нейтральних частинок, вітри збуджують коливання і хвилі на поверхні водоймищ. Всередині будь-якого живого організму безперервно відбуваються процеси, які ритмічно повторюються, наприклад биття серця.

Види хвиль, які дуже важливі і часто відбуваються, - це пружні хвилі, окремим випадком яких є звук; хвилі на поверхні рідини; електромагнітні хвилі.

Основна властивість усіх хвиль незалежно від їх природи в тому, що хвилі переносять енергію і не переносять речовину. Хвильові процеси є майже в усіх областях фізичних явищ, тому їх вивчення має велике значення.

ГЛАВА 18 ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ КОЛИВАННЯ

§ 158. Коливальний рух

Коливальними називають рух або процеси, які точно або приблизно повторюються через однакові проміжки часу.

Серед процесів, які повторюються, важливе значення мають періодичні рухи.

Рух називають періодичним, якщо значення фізичних величин (наприклад, зміщення або швидкості), які змінюються в процесі руху, повторюються через однакові проміжки часу. Прикладами періодичного руху можуть буги рух планети навколо Сонця, рух поршня в циліндрі двигуна внутрішнього згоряння тощо.

400

Коливальну систему незалежно від її фізичної природи називають осцилятором. Прикладом осцилятора може бути коливний тягарець, підвішений на пружині або нитці.

Повним коливанням називають один закінчений цикл коливального ру- \ у, після якого воно повторюється в тому самому порядку.

Характеристики коливального руху

Час, протягом якого здійснюється повне коливання, називають його періодом (7).

Частотою V періодичних коливань називають кількість повних коливань, які здійснюються за одиницю часу:

Циклічною або коловою частотою періодичних коливань називають

Циклічну частоту со вимірюють у радіанах на секунду (рад/с).

Для тіл характерне існування положення, яке називають положенням стійкої рівноваги; у цьому положенні тіло або точка може бути доти, поки зовнішня сила не виведе їх з цього стану. Вивести тіло з цього стану можна завдяки роботі зовнішньої сили, надавши йому надлишкової енергії. Тіло, виведене із стану рівноваги і залишене само на себе, здійснює коливання навколо положення рівноваги - такі коливання називають власними, або вільними. Власні коливання - не тільки найбільш поширені, а найважливіші з точки зору теорії коливань, оскільки умови виникнення і характер усіх інших типів коливань дуже залежать від характеру власних коливань.

Будь-який коливальний рух характеризується амплітудою А - значенням максимального відхилення коливної точки від положення рівноваги.

Коливання точки, які відбуваються із сталою амплітудою, називають пезгасаючими, а коливання з амплітудою, яка поступово зменшується, - /гасаючими.

Якщо положення тіла (точки) в будь-який момент часу можна описати єдиним параметром, то кажуть, що тіло (точка) має один степінь вільності ( гак, наприклад, коливання пружинного маятника, які відбуваються в заданій площині, можна описати зміною однієї координати).

401

§ 159, Гармонічні коливання

Гармоні чні коливання

Серед усіх різноманітних форм коливань важливе місце належить гармонічним коливанням. Гармонічні коливання ~~ це найпростіші періодичні коливання. Більшість коливань, які трапляються на практиці, складні. З курсу математики відомо (теорема Фур'є), що будь-яке складне періодична коливання є сумою найпростіших гармонічних коливань (гармонік),

Гармонічні коливаним - єдиний тин коливань, форма яких не спо- творюється в процесі відтворення.

Коливання, під час яких коливна величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса, називають гармонічними.

Гармонічні коливання величини в описуються рівнянням

Фаза коливань - це кутова міра часу; який минув від початку коливань.

Якщо початкова фаза коливань <р0 = 0 , то фазі ср = 2к відповідає / = 7\ фазі ж І 2 відповідає 774 іт. д.

Метод векторних діаграм

Гармонічне коливання можна задати вектором, довжина якого дорівнює амплітуді А коливання, а напрям утворює з віссю х кут, що дорівнює початковій фазі коливання. Якщо надати цьому вектору обертань з кутовою швидкістю с% то проекція кінця вектора на ВІСЬ X переміщатиметься

в межах від +А до -А, а коливна величина змінюватиметься з часом за законом 5 = ^со$(с%*+ф0), здійснюючи гармонічне коливання (рис. 18.2, а).

ш

Рис. 18.2

Нехай точка М рівномірно рухається по колу радіуса А у напрямі проти руху стрілки годинника із сталою кутовою швидкістю со0 (рис. 18.2, б). Якщо в початковий момент часу І = 0 ця точка була в положенні М0 і її початкова фаза дорівнювала нулю, то через час і, здійснивши кутове переміщення со0/, вона буде в положенні М. Проекція точки М на вісь X становитиме

5 = Азіп сОф/.

З цього рівняння випливає, що в процесі обертання точки М по колу її проекція на вісь X здійснює гармонічне коливання навколо точки 0.

403

З порівняння виразів (18.3) і (18.5) випливає, що зміщення 5 і швидкість Ух зсунуті за фазою на я / 2:

швидкість досягає максимального значення в ті моменти часу, коли зміщення 5 = 0.

Прискорення

Проекція вектора доцентрового прискорення а0 на вісь х (див. рис. 18.2, 6) становить

Прискорення коливної точки також змінюється за синусоїдним законом. Максимального значення атах = со0А прискорення досягає в моменти часу, коли 8Іпсо0/ = 1. Врахувавши (18.3), формулу (18.6) можна пере-

Знак мінус у рівнянні (18.8) означає, що прискорення коливної то-

чки напрямлене в бік, протилежний зміщенню, і завжди до положення рівноваги. Прискорення і зміщення змінюються в протифазі.

На рис. 18.3 подано графічні залежності зміщення 5, швидкості V і прискорення а за умови, що початкова фаза коливання ф0 дорівнює нулю. З рисунка видно, що швидкість досягає максимального значення г;0, коли коливна точка проходить положення рівноваги. У цей момент зміщення 5 і прискорення а дорівнюють нулю.

Гармонічний осцилятор

Рівняння (18.8) можна переписати у вигляді

404

Це диференціальне рівняння, розв'язком якого є вираз 5 = ^8Іп(са0/4-ф0).

( истема, яка описується рівнянням (18.9), називається гармонічним осцилятором.

Коливання гармонічного осцилятора - важливий приклад періодичного руху; вони є точною або наближеною моделлю в багатьох задачах фізики. І Ірикладом гармонічного осцилятора є пружинний, фізичний і математичний маятники, коливальний контур.

§ 160. Вільні електромагнітні коливання.

Перетворення енергії в коливальному контурі

Вільні електромагнітні коливання

Електромагнітними коливаннями називають періодичні вза-

заряд від джерела & (ключ у положенні і).

Коли ключ буде в положенні 2, конденсатор почне розряджатися на котушці індуктивності. При цьому в контурі виникає ЕРС самоіндукції

405

розряджання конденсатора на котушку індуктивності в ши виникає маг» І / 2

літне поле, енергія якого ї¥и = —;—. В ідеальному контурі максимальна

енергія електричного поля дорівнює максимальній енергії магнітного поля:

сиі _иІ

2 2

(1-8.17)

Енергія зарядженого конденсатора періодично змінюється з часом за

або

А енергія магнітного поля соленоїда змінюється з часом за законом

Повна енергія електромагнітного поля коливального контуру дорівнює

Отже,

вІдеальному контурі сумарна енергія зберігається, електромагиі-

іні коливання -незгасаючі.

§161, Згасаючі еяектром.агнітні коливання

Реальний коливальний контур (рис, 18.5) має омічний опір, тому енергія, запасена раніше в контурі, безперервно витрачається на виділення тепла. Внаслідок цього амплітуда коливань поступово зменшу»

407

ється і коливання в контурі згасають. Для реального коливального контуру закон Ома можна

ізаписати у вигляді

Отже, амплітуда згасаючих коливань зменшується з часом за експонен-

коливань у момент часу / = 0.

Залежність (18,25) зображено на рис, 18,6 суцільною лінією, а залежність (18.28) - штриховою,

З (18.25) випливає, що коливання можливі лише доти, поки со - дійсна величина, тобто о < со0.

Якщо коливання згасають повільно, то можна користуватися поняттями, введеними для незгасаючих коливань, Період згасання коливань визначають за формулою

* У цьому можна впевнитись, двічі здиференціювавши рівняння (18.25) і підставивши в рів-

няння (18.24). Врахуйте, що со = ^ос>о - б2 .

408

Швидкість згасання коливань у контурі характеризується логарифмічним декрементом затухання 0 - логарифмом відношення амплітуд

Проміжок часу, протягом якого амплітуда згасаючих коливань змен-

§ 162. Автоколивання. Генератор незгасаючих коливань

Автоколивання

Для техніки важливе значення має можливість підтримувати незгасаючі коливання. Якщо поповнювати втрати енергії реальної коливальної системи, то коливання будуть незгасаючими. Особливо важливі і широко застосовуються автоколивання — незгасаючі коливання, які підтримуються у коливальній системі іавдяки постійному зовнішньому джерелу енергії, причому властивості цих коливань визначаються самою системою.

409