10. Тавтології логіки висловлювань.

Тотожно істинні формули (тавтології)

Формула є тотожно істинною, якщо вона істинна при будь-яких значеннях вхідних у неї змінних. Ось декілька широко відомих прикладів тотожно істинних формул логіки висловлювань:

Закони де Моргана :

1) заперечення висловлювання «А і В» еквівалентно висловленню «не-А або не-В»;

2) невірно, що А і В, якщо і тільки якщо невірно А и невірно В;

Закон контрапозиции :

закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»). В виде формулы алгебры высказываний закон контрапозиции имеет вид (А→В) →(∼ В→∼А);

Закони поглинання:

1) Для логічного складання А ∨ (В ∧ А)= А;

2) Для логічного множення А ∧ (В ∨ А)=А;

Закони дистрибутивності :

1) ;

2) .

11-12. Тавтологічна імплікація і тавтологічна еквіваленція.

Тавтологические импликации:

1.  p ∧ (p → q) → q,

2.  ∼ q ∧ (p → q) →∼ p,

3.  p ∧ (p ∨ q) → q,

4. |= p → (q → (p ∧ q),

5. |= p ∧ q → p,

6. |= p → p ∨ q.

Тавтологические эквиваленции:

1.  p ↔ p,

2.  ∼∼ p ↔ p,

3. |= (p ↔ q) ↔ (q ↔ p),

4. |= (p → q) ↔ (∼ q →∼ p),

5. |= (p ∨ q) ↔ (q ∨ p),

6. |= (p ∧ q) ↔ (q ∧ p).

Імплікацію з таким визначенням називають матеріальною, тобто імплікацією, в якій між антецедентом і консеквентом немає змістовного зв'язку.

Крім матеріальної імплікації, існує і формальна.

Тавтологічна (Формальна) імплікація - це вид імплікації, який фіксує змістовний зв'язок між антецедентом і консеквентом.

Назву "формальна" ця імплікація отримала завдяки тому, що антецедент і консеквент мають суб'єкти, які збігаються за формою. Прикладом може бути закон фізики, наведений А.Тарським "Для будь-якого х, якщо х є метал, то х є пластичний".

Б.Рассел запропонував застосовувати формальну імплікацію для позначення законів природи.

13. Предикати, відношення та індивідні константи.

Предметні (індивідні) константи замінюють власні імена.

У логіці предикатів термін "предикат" двоякий за смислом: 1. Властивість. 2. Відношення.

1. Властивість (якість, ознака, характерна особливість, атрибут) - все, що притаманне предметам, явищам, процесам об'єктивного світу, подіям і відбувається у світі як їхня сутнісна та специфічна особливість. Позначають терміном "одномісний предикат".

Одномісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає властивість. Відношення між об'єктом і його властивостями називають відношенням предикації, яке визначають через поняття "одномісна про позицій на функція", "одномісний предикат". Мовою логіки предикатів це означає встановлення відношення між терміном, що позначає емпіричний об'єкт, і терміном, що позначає абстрактний об'єкт, який виражає властивість Р, притаманну емпіричному об'єктові. Термін "емпіричний об'єкт" визначають як предметний (індивідний) концепт, термін "абстрактний об'єкт" - як предикатний концепт, а відношення між ними - як двомісне відношення у структурі певного висловлювання. Формальний вираз такого відношення "х <= X", де "я" - предметна змінна для термінів, що позначають емпіричний об'єкт; "X" - предикатна змінна для термінів, що позначають абстрактний об'єкт; <= - символ предикації. Приклад такого двомісного відношення - висловлювання "Україна є республікою", де "Україна" - термін, що позначає емпіричний об'єкт, тобто Українську державу, а "республіка" - - термін, що позначає абстрактний об'єкт, тобто властивість, притаманну Українській державі - "бути республікою" (за формою державного правління). Послідовна формалізація цього висловлювання мовою логіки предикатів така: - Р,(х) - одномісна пропозиційна функція; х <=. Р(Х), де "дг" - символ для позначення предметного (індивідного) концепта "Україна" (Українська держава); <= - символ предикації; Р{Х) - символ для позначення предикатного концепта (властивості) "республіка".

2. Відношення (лат. relatio - відношення) - співвіднесення; взаємозалежність двох і більше предметів у їх взаємозв'язку; відношення між двома і більше предметами (об'єктами міркувань. Позначається терміном "багатомісний предикат" (л-міс-ний предикат).

Багатомісний предикат - логічна функція висловлювання, що виражає відношення між двома і більше емпіричними чи абстрактними об'єктами.

Для визначення відношень вводять непорожній клас або множину М, у межах якої задають відношення R між її елементами. Залежно від відокремленої множини М відношення R виражають словами "рівність", "нерівність", "подібність", "дружба", "кохання", "рідня", "сучасник" тощо. Розрізняють бінарне, тернарне та інші види відношень.

Бінарне відношення - множина М, елементами якої є впорядковані пари (х, у), що вказують на відношення між двома предметами, пов'язаними цим відношенням. Символічно Щх, у). Наприклад, у системі відношень між натуральними числами бінарні відношення виражають словами "рівності", "більше", "менше", "ділиться" і под.("Число 5 менше числа 9"). У системі відношень між родичами бінарні відношення виражаються словами "мати", "батько", "син", "брат" та ін. ("Павло - брат Петра", "Ігор - син Василя"). У системі правовідношень, що регулюються, скажімо, Цивільним кодексом, використовують слова, "позивач", "відповідач" і под. ("Особа х позивач до особи у").

Формальний вираз таких висловлювань - xRy, де х, у - предмети, про які йдеться у міркуваннях, а/2 - символ, що позначає відношення (чит.: х перебуває у відношенні R до у).

Висловлювання, яке містить бінарне відношення (ті = 2-міс-ний предикат), має властивості рефлексивності, нерефлексивності, симетричності, несиметричності, транзитивності, еквівалентності.

Властивість рефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у в множині М, коли кожен з них перебуває у відношенні R до самого себе. Формально: хВу  ((xRx) Λ (yRy))t де  - символ слідування (імплікації); Λ - символ кон'юнкції.

Властивість рефлексивності притаманна відношенню рівності (наприклад, для множини предметів певного виду кожен предмет рівний самому собі), конгруентності (для множини геометричних фігур) та ін.

Властивість нерефлексивності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини Му коли кожному з них не притаманна властивість перебувати у відношенні до самого себе. Формально: xRy -> ((->хЯ*) л (-o yRy)).

Властивість нерефлексивності притаманна відношенню "бути елементом множини", "нерівності", "бути причиною" (х не може бути причиною самої себе) та ін.

Властивість симетричності - така властивість відношення R між предметами х та у для множини А/, коли наявність відношення xRy зумовлює відношення yRx. Формально: (xRy) -> ~> №х).

Властивість симетричності притаманна відношенню рівності, подібності, родинності, дружби тощо. Наприклад: Якщо "я - брат у, то у - брат х".

Властивість антисиметричності (несиметричності) - така властивість відношення R між предметами х та у множині М, коли наявність відношення xRy не зумовлює зворотного відношення уВх. Формально: (хЯу) -" -> (xRy) А -* (уЯх).

Властивість антисиметричності (несиметричності) притаманна відношенню, що виражають словами "бути більше, "бути менше", "бути краще", "бути причиною", "бути мотивом" та ін. Наприклад: "х - причина дії у" (якщо х причина у9 то у не може бути причиною х); "х - мотив дії у" ("Заздрість - мотив скоєння злочину особою І/").

Властивість транзитивності (лат. - перехід) така властивість відношення R між х, у, г для множини М, коли з того, що х перебуває у відношенні Я з у, а у - у відношенні Я з 2, то випливає, що х перебуває у відношенні R з г.

Формально: ((xRy) л (yRz)) -> (xRz), де л - символ кон'юнкції, -> - символ слідування.

Властивість транзитивності притаманна відношенням R, що виражають словами "рівність", "подібність", "паралельність" і под. Наприклад, якщо * рівне і/, а у рівне г, то х рівне z.

Якщо бінарне відношення водночас має властивості рефлексивності, симетричності й транзитивності, то воно набуває властивості еквівалентності (лат. aequalis - рівний, valentis - той, що має; рівнозначність, рівносильність).

Властивість еквівалентності притаманна відношенню R і виражається словами "рівність", "подібність", "конгруентність", "бути ровесниками", "бути водночас сучасниками події П" та ін.

Тернарне відношення - множинна М, елементами якої є впорядковані трійки (х, у, z), що виражають відношення між трьома предметами, пов'язаними між собою системою відношень. Визначають як тримісний предикат (п = 3), має символічний вираз R(x, у, z).

Тернарні відношення виражають словами "знаходиться між", "знаходиться далі від... ніж"; "бути ближче... ніж" та ін. Наприклад: "Земля знаходиться між Венерою та Марсом", "Планета Марс знаходиться далі від Сонця, ніж планета Земля".