6.Формули логіки висловлювань

Певну частину формальних виразів скл. множина правильно побудованих формал(п.п.ф.)

правила утвердження ппф:

1)Будь-яка пропозиційна змінна є п.п.ф.

2)Якщо А – ппф,то негація А – ппф

3)Якщо А і В – ппф,то А кон’юнкція В, А диз’юнкція В, А імплікація В, А еквіваленція В – ппф.

4)Інших ппф немає

5)Кількість лівих дужок = кількості правих.

7.Символізація висловлювань

1)Дійсний спосіб

2)Умовний спосіб

3)materialcondition

Список знакових засобів мови логіки висловлювань включає такі знаки: 1. Знаки змінних логіки висловлювань: p, q, r, s, p1, q1, r1, s1… Ці знаки служать для позначення простих висловлювань природної мови. У звязку з цим їх ще називають пропозиційними змінними. 2. Знаки логічних сполучників: ~ - знак заперечення (читається: ”не”, ”невірно, що…”); ^ - знак конюнкції (читається: “…і…”); v- знак дизюнкції (читається: “…або…”);  - знак імплікації (читається: “якщо…,тоді…”). 3. Технічні знаки: ( - ліва дужка; ) – права дужка; , - кома. Ці знаки в мові логіки висловлювань виконують роль знаків пунктуації природної мови. Ніяких інших знаків у мові логіки висловлювань немає.

Стислий список логічних символів

у символічній (математичній) логіці

а Λ b; a · b; a & b; “а і b”	Кон’юнкція
а V b; “а або b”	Диз’юнкція
а  b; а  b; “а імплікує b”, “якщо а, то b”	Імплікація
а  b; а  b; а  b; “а еквівалентно b”, “а, якщо і тільки якщо b”	Еквіваленція
 а; “не-а”	Заперечення

8. Правила істинності для формул логіки висловлювань.

Логіка висловлювань (ЛВ) - розділ символічної логіки, що вивчає необхідні відношення між висловлюваннями, на підставі чого визначають значення істинності висловлювань; дедуктивна теорія, яка моделює процес виведення одних висловлювань з інших за принципом логічного слідування. Це - історично перша формально-логічна система, побудована засобами.

Символи для позначень пропозиційних зв'язок (логічні сполучники, логічні постійні):

- кон'юнкції /\; (приблизно відповідає граматичному сполучнику "і");

- нестрогої диз'юнкції V (відповідає граматичному сполучнику "або");

- строгої диз'юнкції X (відповідає... - "або.., або...");

- імплікації → (відповідає... - "якщо..., то...");

- еквівалентності ↔ (відповідає... - "якщо і тільки якщо...";

- заперечення (цей знак пишеться над висловлюванням, відповідає частці "не" і читається - "хибно, що...").

Таблиця істинності для формул логіки висловлювань:

9. Таблиці істинності.

Кон'юнкція — це логічний сполучник, який буде істинним лише в тому випадку, коли всі його складники будуть істинними. В усіх інших випадках цей логічний сполучник буде хибним.

Ці факти виражаються в таблиці істинності кон'юнкції таким чином:

№ А В А /\ В

1. і і і

2. і X X

3. X і X

4. X X X

Так, кон'юнктивне судження "Всі ромби мають рівні сторони і взаємно перпендикулярні діагоналі" істинне, а судження "Всі ромби мають рівні сторони і кути" хибне.

Слабка (нестрога) диз'юнкція — це логічний сполучник, який буде хибним лише в тому випадку, коли усі його складники будуть хибними. В усіх інших випадках цей логічний сполучник буде істинним.

Ці факти можуть бути представлені в таблиці істинності слабкої (нестрогої) диз'юнкції таким чином:

№ A В А \/ В

1. і і і

2. і X і

3. X і і

4. X X X

Перше диз'юнктивне висловлювання є хибним, оскільки обидва диз'юнкти (члени диз'юнкції) є хибними. Новий Лондон знаходиться не в Австралії і не в Канаді, а в двадцять другому штаті США — штаті Коннектикут.

Друге і третє висловлювання істинні, бо в другому висловлюванні обидва диз'юнкти є істинними, а в третьому - один, перший.

Сильна (строга) диз'юнкція — це логічний сполучник, який буде істинним лише в тих випадках, коли логічні значення його складників не співпадають. Цей логічний сполучник буде хибним, коли логічні значення його складників співпадають.

Ці факти можуть бути представлені в таблиці істинності сильної (строгої) диз'юнкції таким чином:

№ А В A \/ В

1 і і X

2. і X і

3. X 1 і

4. X X X

Строга диз'юнкція є істинною тоді, коли один і лише один диз'юнкт є істинним. В іншому разі вона буде хибною.

Імплікація — це логічний сполучник, який буде хибним лише в тому випадку, коли перше висловлювання (антецедент) — істинне, а друге висловлювання (консеквент) — хибне. У всіх інших випадках імплікація є істинною.

Ці факти в таблиці істинності імплікації виражаються таким чином:

№ А В А → В

1. і і і

2. і X X

3. X і і

4. X X і

Імплікація є хибною лише тоді, коли антецедент (перша частина імплікації) є істинним, а консеквент (друга частина імплікації) - хибним. В усіх інших випадках імплікація є істинною.

Еквівалентне висловлювання є істинним за умови, коли обидві його складові є одночасно або істинними, або хибними.

Еквіваленція — це логічний сполучник, який буде істинним лише в тих випадках, коли логічні значення його складників співпадають. Цей логічний сполучник буде хибним, коли логічні значення його складників не співпадають.

Ці факти в таблиці істинності еквіваленції виражаються таким чином:

№ A В А ↔ В

1. і і і

2. і X X

3. X і X

4. X X і

Наприклад: "Якщо ця геометрична фігура - прямокутник, то вона є паралелограмом з прямими кутами". Це висловлювання буде істинним лише за умови, що обидві його частини матимуть однакове логічне значення, тобто будуть або одночасно істинними, або одночасно хибними.

Таблиця істинності заперечення

А А

і X

X і

Заперечення перетворює істинне висловлювання на хибне, а хибне - на істинне. Наприклад:

"Відень - столиця Австрії";

"5x5 = 50".

Вдавшись до операції заперечення, ми перетворимо істинне висловлювання на хибне ("Хибно, що Відень - столиця Австрії), а хибне - в істинне ("Хибно, що 5 х 5 = 50").