Корреляционный анализ

ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра “ Металорізальні верстати і інструмент”

КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ ТА ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ВПЛИВУ КОНСТРУКТИВНИХ ПАРАМЕТРІВ ІНСТРУМЕНТУ НА ЙОГО СТІЙКІСТЬ

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №2

З дисципліни “ Математичне моделювання процесів різання, металорізальних інструментів та автоматизовані системи наукових досліджень”

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

Для студентів за фахом 7.090203 усіх форм навчання

Укладач: Фролов М.В., к.т.н., доцент

Розглянуто і узгоджено на засіданні кафедри “ Металорізальні верстати і інструмент”

“___” __________ 2007 р.

Протокол № ______

Запоріжжя, ЗНТУ

2007 р.

2

1.ЦІЛЬ РОБОТИ

1.Вивчити методики оцінки тісноти зв’язку між факторами процесу різання та його результатами на основі кореляційного аналізу.

2.Вивчити методику знаходження рівняння регресії (математичної моделі) за результатами експериментальних досліджень а також оцінки адекватності отриманої моделі.

2.ЗМІСТ РОБОТИ

У ході проведення експериментальних досліджень при обробці сталі 45 для партії з N спіральних свердел були отримані наступні дані:

1Залежність стійкості свердла від товщини серцевини. Діаметр свердла 6 мм.

2Залежність стійкості свердла від значення заднього кута. Діаметр свердла 28 мм.

3Залежність стійкості свердла від його зворотної конусності. Діаметр свердла 8 мм.

На основі даних, отриманих для однієї з вищевказаних залежностей:

2.1Висунути гіпотезу про форму зв’язку між конструктивним параметром інструменту (X) та його стійкістю (Y);

2.2Визначити тісноту зв’язку між конструктивним параметром інструменту та його стійкістю за допомогою коефіцієнту кореляції або вибіркового кореляційного відношення

2.3Перевірити гіпотезу про статистичну значимість (достовірність) зв’язку.

2.4Вибрати вид рівняння регресії (математичної моделі), що описує досліджуваний зв’язок та визначити його коефіцієнти за допомогою методу найменших квадратів.

2.5Перевірити однорідність дисперсій експериментальних даних та оцінити адекватність обраної моделі

2.6Зробити висновки та пояснити отримані результати.

3КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

3.1Кореляційний зв’язок та кореляційний аналіз

На будь який виробничий процес, в тому числі і на роботу металорізального інструменту

впливає багато факторів (вхід), які визначають кінцевий результат – результативний показник (вихід або відгук). Спостерігаючи за ходом процесу можна записати з одного боку умови його протікання - вхід, а з другого – його результат - вихід. Так, для ріжучого інструменту входом можуть бути: режими різання, геометричні параметри, властивості інструментального та оброблюваного матеріалів та ін., а виходом: стійкість, сила та температура різання, якість обробленої поверхні та ін.

Очевидно, що між цими двома групами даних існує якійсь зв’язок. Завдання полягає у визначенні чи такий зв’язок насправді існує, і якщо так – у встановленні форми такого зв’язку для того щоб було можливо або оптимізувати роботу інструменту по одному з результативних показників (наприклад по стійкості) або прогнозувати результати його роботи. Зазвичай такі задачі вирішуються на основі експериментальних досліджень у результаті яких знаходять рівняння регресії, тобто рівняння яке з тією або іншою точністю описує досліджуваний процес. Це рівняння є математичною моделлю процесу.

Зв’язок при якому кожному значенню фактору (аргументу) відповідає одне значення результативного показника (функції або відгуку) називається функціональний зв’язок, який записується Y = F(X).

Аналіз процесу різання показує що його показники відрізняються приблизністю та в деякій мірі невизначеністю оскільки на нього впливає цілий ряд випадкових величин – неоднорідність інструментального та оброблюваного матеріалів, а також природній розбіг їх властивостей; стан обладнання; похибки вимірювальних пристроїв та ін. У цьому проявляється

3

статистичний характер результатів роботи металорізального інструменту і одному й тому ж значенню фактору будуть відповідати декілька значень результативного показника. У цьому випадку можна казати тільки про вірогідність виникнення того чи іншого значення результативного показника.

Такі зв’язки при яких одному значенню аргументу можуть відповідати декілька значень функції у результаті впливу випадкових факторів називаються стохастичними.

На малюнку 3.1 у вигляді хрестиків показані середні значення результативного показника (функції) Y, отримані з результатів декількох експериментів при одному й тому ж значенні X. Крім того, розсіювання експериментальних точок (позначене відрізками) при різних значеннях X характеризується своїми значеннями групової дисперсії Si (S1, S2 та S3 на мал.3.1), тобто функція розподілення результативного показника f(Y) буде різною при різних значеннях аргументу X. Таким чином, стохастичний зв’язок можна також визначити як такий при якому зі зміною аргументу змінюється закон розподілення функції.

З вищесказаного можна зробити висновок, що стохастичний зв’язок включає в себе дві компоненти: функціональну та статистичну або випадкову. Зв’язок такого типу, коли зі зміною аргументу змінюється середнє значення функції, визначають також як кореляцію або кореляційний зв’язок.

Якщо функціональна компонента відсутня, то аргумент X та функція Y незалежні один від одного. Якщо відсутня випадкова компонента, то маємо строго функціональний зв’язок.

Співвідношення між функціональною та випадковою компонентами визначає тісноту (силу) зв’язку між аргументом та функцією. Оцінюється тіснота зв’язку за допомогою кореляційного аналізу, а показниками тісноти зв’язку є коефіцієнт кореляції r (використовується для оцінки лінійної залежності Y від X) або вибіркове кореляційне відношення η (використовується переважно для оцінки нелінійної залежності Y від X). Коефіцієнт кореляції приймає значення від –1 до 1, а вибіркове кореляційне відношення – від 0 до 1 і чим вони ближче по абсолютному значенню до 1 тим тісніше зв’язок. Якщо значення дорівнює 1 то маємо строго функціональний зв’язок, а якщо наближаються до 0 - то функціональний зв’язок відсутній.

Малюнок 3.1 – Стохастичний зв’язок між аргументом та функцією

4

Графічно кореляцію між X та Y може бути показано як зображено на малюнку 3.2.: а – кореляція відсутня. В цьому випадку r→0 та η→0;

б, в – лінійна кореляція: б – від’ємна кореляція для якої r<0 та в – позитивна кореляція з коефіцієнтом кореляції r>0;

г, д – нелінійна кореляція з вибірковим кореляційним відношенням η>0.

а

Малюнок 3.2 – Різновиди кореляційного зв’язку між аргументом X та функцією Y: а – кореляція відсутня; б, в – лінійна кореляція; г, д – нелінійна кореляція.

5

Нехай були проведені експериментальні дослідження залежності стійкості N інструментів - Y від одного з конструктивних параметрів X. Результати досліджень занесені в таблицю 3.1

Таблиця 3.1 – Результати досліджень

Якщо залежність між X та Y наближається до лінійної, то тіснота зв’язку між аргументом та функцією визначається за допомогою коефіцієнту кореляції:

~

де X середнє значення аргументу X, а Y - середнє значення Y по групам:

7

3.2 Побудова математичної моделі. Метод найменших квадратів

Наступним етапом за визначенням наявності та сили зв’язку між X та Y а також його статистичної достовірності є побудова математичної моделі, тобто вибір виду рівняння регресії та встановлення його коефіцієнтів. Зв’язок між X та Y може виражатися у вигляді лінійної, гіперболічної, експоненціальної, статечної та ін. залежностей, а також у вигляді поліномів різних ступенів. Процес вибору виду рівняння регресії, а також визначення його коефіцієнтів називається апроксимацією.

Одним із способів визначення коефіцієнтів, що входять в обрану модель є метод найменших квадратів, згідно з яким коефіцієнти повинні мати такі значення, щоб сума квадратів різниць між значеннями отриманими експериментально та вирахуваними за рівнянням регресії (нев’язності) була б найменшою.

Далі наведені приклади визначення коефіцієнтів рівняння регресії для деяких видів залежностей:

3.2.1 Лінійна залежність (Малюнок 3.3а)

Апроксимується рівнянням виду:

Коефіцієнти bo та b1 вираховуються методом найменших квадратів виходячи з вимоги:

Взявши частинні похідні від лівої частини рівняння (3.13) по коефіцієнтах b0 та b1 та прирівнявши їх до 0, маємо систему з двох рівнянь, розв’язавши яку отримуємо коефіцієнти b0 та b1:

Коефіцієнти bo та b1 вираховуються методом найменших квадратів виходячи з вимоги:

Взявши частинні похідні від лівої частини рівняння (3.16) по коефіцієнтах b0 та b1 та прирівнявши їх до 0, маємо систему з двох рівнянь, розв’язавши яку, отримуємо коефіцієнти b0 та b1:

8

а

б

в

Малюнок 3.3 – Апроксимація деяких видів залежностей: а - лінійної; б - гіперболічної; в – з одним екстремумом.

9

3.2.3 Залежність з одним екстремумом (Малюнок 3.3в)

Апроксимується поліномом другого ступеню виду:

Коефіцієнти bo , b1 , та b2 вираховуються методом найменших квадратів виходячи з вимоги:

Взявши частинні похідні від лівої частини рівняння (3.19) по коефіцієнтах b0, b1 та b2 та прирівнявши їх до 0, маємо систему з трьох рівнянь, розв’язавши яку, отримуємо коефіцієнти b0, b1 та b2:

3.2.4 Залежність у вигляді статечної функції

Процеси, пов’язані з різанням металу та металорізальним інструментом, дуже часто описуються у вигляді статечної функції виду:

Тобто статечна функція перетворюється у лінійну: Y = b0 + b1 × X

Розрахунок коефіцієнтів b0, b1 виконується як вказано в п.3.2.1 після чого визначається коефіцієнт a рівняння (3.21):

3.3 Перевірка адекватності математичної моделі

Після визначення коефіцієнтів рівняння регресії – математичної моделі досліджуваного процесу, треба перевірити її адекватність, тобто чи можна використовувати отриману модель для опису процесу. Перевірка адекватності виконується за допомогою критерію Фішера (F- критерію) де порівнюється дисперсія адекватності Sад2, що оцінює розсіювання експериментальних точок відносно лінії регресії та дисперсія відтворення Sвідтв2, що оцінює

10

розсіювання експериментальних точок відносно їх середнього значення. При цьому групові дисперсії Si2 мають бути однорідними. Якщо кількість елементів в групі, що відповідає одному й тому-ж значенню X – n i є різним, то для визначення однорідності дисперсій використовується критерій Бартлетта, що приблизно відповідає розподіленню Пірсона χ2. Перевірка однорідності за цим критерієм виконується у наступній послідовності:

Розраховане значення χ2 має бути порівняно з критичним значенням критерію Пірсона χ2 кр, отриманим для заданого рівня значимості α та кількості ступенів свободи K = M – 1 ( див. Додаток 2).

Якщо χ2 ≤ χ2 кр, то дисперсії є однорідними і можна виконувати перевірку адекватності моделі, а якщо χ2 > χ2 кр – то дисперсії не однорідні і отримані експериментальні дані потребують ретельної перевірки.

Перевірка адекватності за допомогою критерію Фішера (F- критерію) виконується наступним чином:

а також для заданого рівня значимості α за таблицями наведеними в Додатку 3 визначається критичне значення критерію Фішера Fкр .

Якщо виконується умова F ≤ Fкр, то модель адекватна, а якщо F > Fкр – то ні.