Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 1229

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

459.93 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

7 ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для неперервної функції f (x ) , то

∫ f (x ) dx = F(x ) ba = F(b) − F(a) .

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца.

ПРИКЛАДИ

2		x	5	2		32			1			31
2			5	2
1) ∫ x 4dx =					=			−		=			= 6,2 ;
1) ∫ x 4dx =					=			−		=			= 6,2 ;
1	5			1		5		5			5
1	5			1
π							π
2							π				π − sin 0 =1 .
2) ∫ cos x dx = sin x							2	= sin
2) ∫ cos x dx = sin x							2	= sin
0							0				2
							0				2

	7.1 Підстановка у визначеному інтегралі
Нехай	функція				x = ϕ (t )							відображає однозначно [α, β ] на

[a, b ] , причому ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b																, а також ϕ ' ( t ) - неперервна
на [α, β ]					функція , тоді
							b				β
							∫ f (x ) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t ) dt
							a				α
											ПРИКЛАД
8						1 + x	= t		x t			3	2	−1) 2t dt =
∫	x dx			=		x = t2 −1			3 2 =			∫ (t		−1) 2t dt =
3	1 + x					dx = 2tdt			8 3			2				t
			3			3	27			8					16			32
						3

= 2		t		−t		= 2(		−3	−		+2 ) =		2				=		.
= 2				−t		= 2(	3	−3	−		+2 ) =		2			3	=		.
	3						3		3							3	3
						2
						2

7.2 Інтегрування частинами визначеного інтеграла

Для двох функцій u(x ) та v(x ) , неперервних разом зі своїми

похідними на відрізку [a , b]

має місце формула

∫ u dv = (uv)

ba − ∫ v du

ПРИКЛАД

u = ln x , dv = x 2dx

∫ x 2 ln x dx =

v =

x 3

2dx =

= ln x

− ∫

−

∫ x

−

e3 +

8 НЕВЛАСНІ ІНТЕГРАЛИ

I .

Нехай

f (x ) визначена на проміжку [a, + ∞)

і інтегровна на

довільному відрізку [a, b] .

Невласний інтеграл I роду від функції f (x )

в межах від a до

+ ∞ визначається рівністю:

+∞

∫ f (x ) dx =

lim

∫ f (x ) dx

b→+∞ a

Якщо ця границя існує , то невласний інтеграл називається

збіжним, якщо не існує , то – розбіжним.

Аналогічно визначаються такі невласні інтеграли

∫ f (x ) dx =

lim

∫ f (x ) dx

−∞

a→−∞ a

		23
+∞	c	+∞
∫ f (x ) dx =	∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx , де c - деяке число
−∞	−∞	c

Останній інтеграл збіжний, коли є збіжними обидва інтеграли у правій частині.

ПРИКЛАДИ

+∞	dx		b	dx			b =
1) ∫		= lim	∫		= lim	arctgx


1	1 + x 2	b→+∞	1	1 + x 2	b→+∞		1

=	lim	(arctg b − arctg1) = π				− π	=	π .		Інтеграл збіжний.
	b→+∞				2	4		4
	+∞	ex dx =		b			ex		b =	lim (eb − e0 ) =
2)	∫		lim	∫ ex dx =		lim
	0		b→+∞	0	b→+∞				0	b→+∞

lim (eb −1) = +∞ .					Інтеграл розбіжний.
b→+∞

Питання про збіжність невласних інтегралів від невід’ємних функцій можна вирішити за допомогою ознак порівнянь. Нехай функції f (x ) і g(x ) невід’ємні і інтегровані на довільному відрізку

[a; b]. Тоді:

1)	якщо при всіх x [a, + ∞) виконані нерівності	f (x ) ≤ g(x ) і
+∞	+∞	+∞

∫ g(x )dx – збіжний, то збіжний і	∫ f (x )dx ; якщо	∫ f (x )dx –
a	a	a
+∞

розбіжний, то розбіжний і ∫ g(x )dx ;

24
2) якщо при всіх x [a, + ∞)	g(x ) > 0 і існує границя

	f (x )		+∞
lim		= a > 0 (const), то інтеграли	∫ f (x )dx

x →+∞ g(x )			a

+∞

∫ g(x )dx збіжні або розбіжні одночасно. a

+∞ dx

Невласні інтеграли І роду часто порівнюють з інтегралом 1∫ x p

який збіжний при p >1 і розбіжний при p ≤ 1.

ПРИКЛАД

	1
+∞ e
+∞ e		x
Довести розбіжність інтеграла ∫			dx .
Довести розбіжність інтеграла ∫	x		dx .
1	x
1

+∞ 1

Порівняємо цей інтеграл з інтегралом 1∫ x dx , який розбіжний.

Дійсно,

+∞		1			b	1
∫			dx =	lim	∫		dx =	lim (ln

1		x		b→+∞	1	x		b→+∞
		lim ln b = ∞
=
	b→+∞

x	b ) =	lim (ln b − ln1) =

	1	b→+∞

За ознакою порівняння існує границя

e	1x	1
	x	1	= e0 =1,
lim	x	= lim e x	= e0 =1,
x →+∞	1	x →+∞

тому ці два інтеграли ведуть себе однаково, тобто одночасно розбігаються. Твердження доведено.

II . Нехай	f (x ) → ∞	при	x → b − 0 , також f (x ) визначена
на [a, b ) та	інтегрована	на	[a, b −ε ] ε > 0 , b −ε > a . Тоді
невласний інтеграл II роду визначається рівністю:
	b			b−ε
	∫ f (x ) dx =		lim	∫ f (x ) dx .
	a		ε→+0	a

Якщо границя, яка стоїть у правій частині, існує, то невласний інтеграл називають збіжним, якщо не існує – розбіжним.

Аналогічно, якщо		f (x ) → ∞	при x → a + 0 то
b		b
∫ f (x ) dx =	lim	∫ f (x ) dx .
a	ε→+0 a+ε		, c [a, b ] , то
Якщо f (x ) → ∞ при x → c			, c [a, b ] , то
b	c	b
∫ f (x ) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ f (x ) dx .
a	a	c

Останній інтеграл збіжний, якщо збіжними є обидва інтеграли у правій частині рівності.

ПРИКЛАДИ

2−ε

lim arcsin x

2−ε

∫

= lim

∫

4 − x

ε→+0

4 − x

ε→+0

lim

arcsin

2 −ε

= π .

Інтеграл збіжний.

ε→+0

∫

= ∫

+ ∫

−2

x 2

−2 x 2

x 2

−ε dx

−ε

∫

lim

∫

lim

−

= lim

−

= ∞

−2 x 2

→+0

−2 x 2

ε→+0

−2

ε→+0

Інтеграл розбіжний.

Для інтегралів від необмежених невід’ємних функцій справедливі ознаки порівнянь, аналогічні наведеним вище. (Лише у другій ознаці

необхідно

обчислювати

границю

lim

f (x )

, де

– особлива

g(x )

x →x 0

точка функції

f (x ) , тобто f (x ) → ∞

при

x → x0

Часто

невласні

інтеграли

ІІ

роду

порівнюють з

інтегралом

a∫

, який збіжний при p < 1 і розбіжний при

p ≥1.

(x − a) p

ПРИКЛАД

sin x

Довести розбіжність інтеграла ∫

dx .

(x −2)2

Порівняємо цей

інтеграл

інтегралом

∫

dx , який

−2)2

розбіжний. Дійсно,

2−ε

∫

dx =

lim

∫

lim (−

) =

(x −2)2

x −2

ε→+0

lim (−

−1) =

lim (

−1) = ∞

2 −ε −2

ε→+0

За ознакою порівняння існує границя

		sin x
lim		(x −2)2
lim		1
x →2		1
		(x −2)2

=lim sin x = sin 2 ,

x→2

тому ці два інтеграли ведуть себе однаково, тобто одночасно розбігаються. Твердження доведено.

		27
Зауваження. Іноді при обчисленні невласного інтеграла І роду
інтервалу	[a, + ∞) належить	особлива точка x0 функції f (x )
( f (x ) → ∞ при x → x0 )		або точка x = a є особливою, тоді цей

інтеграл розбивають на суму інтегралів другого та першого родів. Тільки якщо кожен з інтегралів буде збіжним, заданий інтеграл теж буде збіжним.

9 ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

9.1 Площа фігури

а)

y = f(x)

б)

S = ∫ f (x ) dx

y		y=f2(x)
		y=f2(x)
				b


		y=f 1(x)		S = ∫ ( f2 (x ) − f1(x ))dx
		S		S = ∫ ( f2 (x ) − f1(x ))dx
		y=f1(x)		a
		y=f1(x)
o
o	a		b	x
			b	x

в) площа криволінійного сектора

ρ=ρ(ϕ)

S =

∫ ρ2 (ϕ )dϕ

β α

2 α

г) Нехай лінія, що обмежує площу задана параметрично :

x = x (t )

, t1 ≤t ≤t 2 .

y = y(t )

Тоді

′

S = ∫ y(t ) x (t ) dt

ПРИКЛАДИ

Знайти

площу

фігури,

яка

обмежена

лініями

y = x 2 , y = 2 − x .

Р о з в’ я з а н н я.

Побудуємо

графіки

функцій

та

знайдемо межі інтегрування. Для чого треба

розв’язати систему

рівнянь

y = x

− x

y = 2

-2 0

Прирівнюючи

одержуємо

рівняння

− x ,

або

2 + x −2 = 0 , корені

x 2 = 2

якого x1 = −2 , x2 =1. Таким чином

S = ∫ (2 − x − x 2 )dx = = (2x −

−

)

−2

= 2 − 21 − 13 + 4 +2 − 83 = 4,5

2) Обчислити площу фігури , яка обмежена кардіоїдою

ρ= 2a(1 + cos ϕ )

Ро з в’ я з а н н я.

S = 2

∫ ρ 2dϕ =

∫ 4a2 (1 + cos ϕ )2 dϕ =

= 4a2

1 + cos 2ϕ

∫

(1 +2 cos ϕ +

) dϕ =

S/2

= 4a2

ϕ +2 sin ϕ +

sin 2ϕ

= 4a2

3π

= 6π a2

9.2 Довжина дуги кривої

а) Нехай крива задана рівнянням y = f (x ) , x [a, b]

, причому

f (x ) неперервна разом із своєю похідною на [a, b] . Тоді довжина дуги кривої визначається за формулою

		b
	L = ∫ 1 + f ′2 (x )dx
		a
б)	Нехай крива задана параметрично :		x	= x	(t ),	t1	≤ t ≤ t2	і
б)	Нехай крива задана параметрично :			= y(t ),		t1	≤ t ≤ t2	і
	x(t ), y(t ) неперервні разом із		y	= y(t ),
функції	x(t ), y(t ) неперервні разом із		своїми		похідними. Тоді
довжина дуги дорівнює
	t2
	L = ∫	x ′2 (t ) + y′2 (t )dt

в) Довжина кривої, яка задана в полярній системі координат рівнянням ρ = ρ( ϕ ), α ≤ϕ ≤ β , де ρ (ϕ ) неперервна і

диференційована функція на [α, β ] , дорівнює

L = ∫ ρ 2(ϕ ) + ρ′2(ϕ ) dϕ

ПРИКЛАДИ

1). Знайти довжину лінії y = ln cos x , 0 ≤ x ≤ π6 .

Р о з в’ я з а н ня.

Знайдемо вираз, який стоїть під знаком інтеграла.

1 + y′2 =

1 +

π/6

cos x

= 1 +tg2 x

cos x

+ π )

Тоді

L = ∫

= ln

tg(

cos x

= ln tg

= ln

3 =

= ln tg

− ln tg

2
(−sin x )	=

ln 3

2)	Обчислити довжину астроїди, що надана у параметричному
			3	t
вигляді	x = a cos			t	,	0 ≤ t ≤ 2π
вигляді		3			,	0 ≤ t ≤ 2π
		3		t
	y = a sin			t
Р о з в’ я з а н н я.						Крива симетрична відносно осей
	y					Крива симетрична відносно осей
	y					OX та OY , тому для обчислення

aдовжини дуги досить знайти четверту частину її довжини, для

-a	o	a	x якої 0 ≤ t ≤	π .
				2

-a

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.19 Mб15Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016171.52 Кб7Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125.44 Кб4Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588.27 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016594.89 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163.15 Mб15Математика задания(30 вариантов).doc