Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

матанчик 4 идз

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

588.27 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

∞		(x + 5)n
16.а) å

	3		n2 +1
n=0	3	n +1	n2 +1

∞ (x - 2)n

17.а) nå=1

(3n - 2)!

∞

(x +1)n

18.а) å

2n−1 × n (n +1)

n=1

∞

(x - 2)n

19.а) å

(2n -1) 2n

n=1

∞

20.а) å 2n (x +1)n

n=1

∞

n(x −8)n

21.а) å

n3 + 3

n=1

∞

(x + 2)n

22.а) nå=1

n(ln2 n + 4)

∞ (2n + 3)!

23.а) å

(x -

n=1

(3n)!

∞

(2n + 3)(x -1)n

24.а) å

(2n +1)!

n=1

∞

(x - 3)n

25.а) nå=1

(n + 4)(5n2 + 6)

∞

(x - 6)n

26.а) å

n=0

3 2n3 + 5n - 3

∞

n n

(x + 3)n

27.а) nå=1

(3n + 2)!

∞

n2(x + 2)n

28.а) å

(n -1)!

n=1

∞

(x - 2)n

б) å

n=0

∞

(x -1)n

б) nå=1

2n ln(n +1)

∞

б) å

n +1

n=0

∞

(6n + 2)(x -1)n

б) å

(n -1)!

n=1

∞

(x - 7)n

б) nå=1

(3n + 4)(2n -1)

∞

(2n + 3)!

æ x

ön

б) å

3n + 5

n=1

è 2

∞

(x - 9)n

б) å

4 5n4 + 7

n=0

∞

ön3

б) å

3n -1

n=1

(x - 2)n

∞

б) å

(4n + 5) 4n

n=1

∞

(x + 6)n

б) nå=1

(2n + 3)ln(2n + 3)

∞

(x + 9)n

б) nå=1

n(ln2 n + 9)

∞

n2(x - 5)n

б) å

n=1 3n4 + 6n - 3

∞

(n3 + 8)(x -1)n

б) å

n4 + 2n + 3

n=1

∞

- 3)n

в) å

n=1

∞

(x - 6)n

в) å

(n2 + 3n +1)3

n=1

∞

n4(x - 4)n

в) å

(n -1)!

n=1

∞

(x + 9)n

в) å

4 3n5 + 4n +1

n=0

∞

(n + 4)(x + 3)n

в) å

(3n - 2)!

n=1

∞

(x + 5)n

в) å

(2n -1) 6n

n=1

∞

в) nå=1

(x - 3)

3n + 2

∞

в) å 22−n (x +1)n

n=1

∞

(x + 5)n

в) å

n=0

4 5n7 + 7n

∞

(x - 7)n

в) å

3n+1

n=0

∞

(n + 3)!

æ x

ön

в) å

2n +1

n=1

∞

(x - 6)n

в) å

4n2 - 3

n=1

∞

5arctg n xn

в) å

1+ n2

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞

(x + 2)n

∞

n!x2n

∞

(x - 4)n

29.а) å

б) å

в) å

3n−1 × n (n + 2)

2n + 3

9n × n + 6

n=1

n=0

∞

(x - 3)n

∞

(x + 4)n

∞

(x - 2)n

30.а) å

б) å

в) å

(3n -1) 3n

(n + 2)!

n=1

n=0

5 n6 + n3 + 2

n=1

1.3.5 Обчислити інтеграл з точністю до 0,001:

0,1

1. òe−6x2 dx .

	0	1− e−2x
0,1		1− e−2x
4.	ò		x	dx .
	0
0.2
7.	òe−3x2 dx .
	0
10.	ò1		dx			.
		4
		4	16 + x		4
	0		16 + x

0.3

13. òe−x3 dx .

0,2

16.òcos (25x2 ) dx .

0
0,1	ln(1+ 2x)
19. ò		dx .
19. ò	x	dx .
0

0,5

22.òsin (4x2 ) dx .

0,5

25.ò dx .3 3

0 1+ x

0,1

2. òsin (1000x2 ) dx

0	ln( 1+ x / 5)
1	ln( 1+ x / 5)	dx .
5. ò
5. ò	x
0	x

0,2
8 ò sin(25x2)dx .
0
	0,2 1− e− x
11.	ò						x	dx .
	0
	0,2
14.	òsin (x2 ) dx .
	0
17.	1ò,5						dx			.
		4
		4			81+ x				4
	0				81+ x
20.	2ò,5						dx						.
			4
			4			125 + x					3
	0					125 + x
	0,4
23.	òe−3x2 dx .
	0
	2,5						dx
26.	ò						dx							.
				4
				4			625 + x					4
	0						625 + x

3. ò1 cos x2 dx

0
1,5		dx
6. ò		dx		.

	3	27 + x	3
0	3	27 + x

0,5

9. òcos (4x2 ) dx .

	0	ln( 1 + x / 2)
	0,4	ln( 1 + x / 2)
12.	ò					dx .
12.	ò		x			dx .
	0
	2		dx
15.	ò		dx		.
		3
		3	64 + x	3
	0		64 + x
	0,4	1− e−x / 2
18.	ò		x	dx .
	0

0,4

21.òcos (5x / 2)2 dx .

0
2		dx
24. ò		dx		.
	4
	4	256 + x	4
0		256 + x

3/ 4

27. òsin x2 dx .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

4 1

28 ò e x dx .

29.	1ò/ 2	ln(1+ x)	dx .	30.	0ò,5	dx

							4
	0	x			0 4	1+ x

1.3.6 Знайти зазначене число ненульових членів розвинення в ряд розв’язку диференціального рівняння при заданих початкових умовах:

y′ = arcsin y + x

y(0)= 0,5

(чотири члени)

y′ = xy + ln (y + x)

y (1) = 0

(три члени)

y′ = x + y−1

y (0) = 1

(чотири члени)

y′ = 2x + cos y

y(0) = 0

(чотири члени)

y′ = 1+ (1− x)

y (0) = 1

(три члени)

y′ + ycos x − 3ex y2 − sin x = 0

y (0)= 1

(чотири члени)

y′ − ycos3 x + y2 sin x − ln(x +1)= 0

y(0) = 3

(чотири члени)

2y′ − (x + y)y − ex = 0

y (0)= 2

(чотири члени)

y′ − 4y + 2xy2 − e3x = 0

y (0) = 2

(три члени)

10.

y′′ = y cos y′ + x

y (0)

= 1, y

′

(три члени )

(0) = π / 3

11.

y′′ = x2 + y2

y(−1)= 2, y′(−1)= 0,5

(чотири члени)

12.

y′′ = e y sin y

y(π ) = 1, y′(π ) = π / 2

(чотири члени)

13.

y′′ = (y′)2 + xy

y(0)= 4, y′(0)= 2

(три члени)

14.

′′

′

−1

− x

−1

y(1)= 1, y′(1)= 0

(чотири члени)

= y y

y(0)= 1, y (0)= 1

15.

′′

= xy

(чотири члени)

′

16.

y′′′ = yex − x(y′)2

′

′′

(три члени)

y(0)= y (0)

= y (0)= 1

17.

y′′′ = y′′ + (y′)2 + y3 + x

y (0)= 1, y′(0)= 2,

(три члени)

y′′(0)= 0,5

18.

′′′

= xy

′

y(0)= y′(0)= y′′(0)= 1

(три члени)

+ y x

19.

y′′ = x sin y

y (1)= 1, y′(1)= π / 2

(чотири члени)

20.

′′

+ y

′

+ y = 0

y (0)=1, y (0)= 0

(чотири члени)

′

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

21.y′′ + yy′ − 2 = 0

22.y′′ − y′ = 9 xe2x

23. y′′ − 4 y′ + 4y = 2 (sin 2x + x)

24.y¢¢ -3y¢ + 2y = e3x(3 - 4x)

25.y′′ − 3y′ − 4y = 17sin x

26.y′′ + 2y′ + y = x + sin x

27.y′′ − 5y′ + 6y = x2 − x

28.y′′ = x + y2

y(0)= y′(0)= 0

y (0)= 0, y′(0)= −5 y (0) = 0, y′(0) = 1

y (0)= 0,	′
	y	(0)=1
y (0)= 4,	′	(0)= 0
	y

y(0)= y′(0)= 0

y(0)= 0, y(0)= 1/ 9 y(0)= 0, y′(0)=1

(три члени) (чотири члени)

(три члени) (три члени)

(чотири члени) (три члени) (три члени)

(чотири члени)

29.	y′′ = x + y cos y′	′	(0)= π 3
		y(0)= 1, y
30.	y′ = xy + e y	y(0)= 0

1.3.7 Розкласти в ряд Фур′є

ìa, якщо -π < x £ 0

а) функцію f (x)= íî b, якщо 0 < x £ π з періодом

(чотири члени) (чотири члени)

2π ;

б) функцію	f (x)= cx + d задану на інтервалі −l < x ≤ l ;
в) функцію	f (x)= kx + m задану на інтервалі 0 < x ≤ r (в прикладах з

непарними номерами по косинусам, в прикладах з парними номерами по синусам).

1.	a) a = 1, b = 2;	б) c = −1, d = 4, l = 3;	в) k = 4, m = −3, r = 2.
2.	а) a = 3, b = −1;	б) c = 1, d = 2, l = 2;	в) k = −1, m = 3, r = 3 .
3.	а) a = 2, b = −2 ;	б) c = 2, d = −1, l = 4;	в) k = 5, m = 1, r = 2 .
4.	а) a = −1, b = 2 ;	б) c = 3, d = 1, l = 5;	в) k = 2, m = −5, r = 4 .
5.	а) a = 1, b = 3 ;	б) c = −2, d = 3, l = 3;	в) k = 6, m = −3, r = 3 .
6.	а) a = 2, b = 1;	б) c = −5, d = 0, l = 4;	в) k = 1, m = −2, r = 2.
7.	а) a = 4, b = −1;	б) c = 3, d = −2, l = 6;	в) k = −2, m = 3, r = 4 .
8.	а) a = 2, b = 0 ;	б) c = −3, d = 2, l = 2;	в) k = 3, m = 7, r = 4 .

9.а) a = 2, b = 1;

10.а) a = 4, b = −4 ;

б) c = 5, d = −1, l = 4;

б) c = 1, d = 1, l = 4;

в) k = −4, m = 5, r = 5. в) k = −2, m = 3, r = 2 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

11.а) a = −3, b = 5 ;

12.а) a = 4, b = 3 ;

13.а) a = −4, b = 1 ;

14.а) a = 2, b = 3 ;

15.а) a = 2, b = −2 ;

16.а) a = 3, b = 4 ;

17.а) a = 1, b = −1 ;

18.а) a = −4, b = 2 ;

19.а) a = −3, b = 1 ;

20.а) a = 1, b = 1;

21.а) a = 4, b = −6 ;

22.а) a = 1, b = 3 ;

23.а) a = −1, b = 3 ;

24.а) a = 2, b = 3 ;

25.а) a = 2, b = 5 ;

26.а) a = −1, b = 4 ;

27.а) a = −3, b = 2 ;

28.а) a = 4, b = 4 ;

29.а) a = −1, b = 4 ;

30.а) a = 3, b = −5 ;

б) c = 2, d = −3, l = 6; б) c = 1, d = 6, l = 2;

б) c = 3, d = −1, l = 5;

б) c = −4, d = 5, l = 6;

б) c = 4, d = −1, l = 3;

б) c = 6, d = −7, l = 3;

б) c = 3, d = −2, l = 4;

б) c = 2, d = −5, l = 6; б) c = 7, d = 2, l = 3; б) c = 8, d = 0, l = 4;

б) c = −5, d = 3, l = 3; б) c = 1, d = 2, l = 4; б) c = 4, d = 1, l = 4;

б) c = 1, d = −2, l = 2;

б) c = −2, d = 4, l = 3;

б) c = 2, d = −1, l = 4;

б) c = 3, d = −4, l = 6; б) c = 5, d = 0, l = 4;

б) c = 4, d = −3, l = 5; б) c = 2, d = 1, l = 6;

в) k = 7, m = 2, r = 4 . в) k = −2, m = 5, r = 4.

в) k = −6, m = 2, r = 5 . в) k = 2, m = −5, r = 4 . в) k = 5, m = −12, r = 6 . в) k = −1, m = 2, r = 3 .

в) k = −3, m = 0, r = 2 . в) k = 4, m = −6, r = 5 . в) k = 1, m = −9, r = 4 . в) k = −1, m = 7, r = 2 . в) k = 3, m = −5, r = 5 . в) k = −1, m = 2, r = 3 . в) k = 4, m = −2, r = 3 . в) k = −2, m = 7, r = 4 . в) k = 2, m = −5, r = 6 . в) k = 5, m = −4, r = 2 . в) k = −4; m = 9, r = 4 . в) k = 7, m = −6, r = 5 . в) k = −1, m = 4, r = 6 . в) k = −5, m = 3, r = 4 .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

2.1 Довідковий матеріал.

Комплексними числами називаються числа виду z = x + iy , де

x і y – дійсні числа, i – уявна одиниця, i2 = -1. Числа x та y називаються, відповідно, дійсною та уявною частинами комплексного

числа z і позначаються: x = Re z, y = Im z .	z = x + iy -			алгебраїчна
форма комплексного числа. Комплексне число			= x − iy	називається
		z
спряженим до комплексного числа z = x + iy .
Для комплексних чисел z1 = x1 + iy1 та	z2 = x2 + iy2			вводиться

поняття рівності і арифметичні операції за наступними правилами: а) z1 = z2 , якщо x1 = x2 і y1 = y2 ;

б) z1 ± z2 = (x1 ± x2 )+ i(y1 ± y2 );

в) z1 × z2 = (x1 + iy1)× (x2 + iy2 ) = (x1 × x2 - y1y2 )+ i(x1y2 + x2 y1);

г)

x1 + iy1

x2 - iy2

x1x2 + y1y2

+ i

x2 y1 - x1y2

+ iy

x - iy

+ y2

M(x,y) y

0 x

Рисунок 2.1

Для комплексних чисел не існують поняття “більше”, “менше”. Кожному числу z = x + iy ставлять у відповідність точку M (x , y)


на декартовій площині XOY	або її радіус-вектор OM . В полярній
системі координат з початком в точці		O та полярною віссю вздовж
OX комплексному числу ставлять у		відповідність	точку M (r ,ϕ )
( 0 £ r £ ¥ , - ¥ <ϕ < ¥ ). Число	r називають модулем		комплексного

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

числа і позначають r = z , а ϕ - аргументом комплексного числа і позначають ϕ = Argz.

Модуль комплексного числа однозначно визначається формулою

r = z = x2 + y2 .

Аргумент ϕ , як кут повороту, визначається з точністю до сталого доданку вигляду 2pk , k = 0,±1,± 2,...Єдине значення ϕ , що

задовольняє умову - p < j £ p , називається головним значенням аргументу і позначається arg z. Отже, Arg z = arg z + 2πk, k = 0, ±1, ± 2,...

Головне значення аргументу визначається за формулою:

ì	arctg			y	, при x > 0;
ï
ï				x
ï		y		x
ï
ïarctg			+π , при x < 0, y ³ 0;
ïarctg		x	+π , при x < 0, y ³ 0;
ï		x
ï		y	-π , при x < 0, y < 0;
arg z = íarctg
arg z = íarctg		x
ï	π	x
ï	π
ï	2 , якщо x = 0, y > 0;
ï	2 , якщо x = 0, y > 0;
ï	π
ï	- 2 , якщо x = 0, y < 0.
î	- 2 , якщо x = 0, y < 0.

Комплексне число z = x + iy може бути записано у наступних формах:

1) z = r(cosϕ + i sin ϕ) - тригонометрична форма;

2) z = reiϕ - показникова форма; де eiϕ = cosϕ + i sinϕ - формула

Ейлера.

Комплексне число підносять до натурального степеня за формулою Муавра: zn = rn (cos nϕ + i sin nϕ) або zn = rneinϕ ,

					(cosϕ + isinϕ)n = cos nϕ + isin nϕ .
Корінь п-го					степеня (п –		ціле)	з комплексного числа має n
різних значень, які					отримують за формулою:
n		n		æ	ϕ + 2kπ		ϕ + 2kπ ö
	z =					+ isin
			r çcos		n		n	÷, де k = 0,1, 2,..., ( n −1 ).
			è					ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Лінії та множини точок на комплексній площині. Інколи

рівняння	F ( z )= 0	визначає лінію	на комплексній площині, а
нерівність	F ( z )£ 0	або F ( z )³ 0	визначає частину комплексної

площини, точки якої задовольняють цій нерівності. Враховуючи, що

z = x + iy,

Re z = x, Im z = y, z 2 = x2 - y 2 + 2 x y i,

= x 2 + y 2 ,

z ×

= x2 + y2

z - z0

(x - x0)2 + ( y - y0)2

та

підставляючи

їх

рівняння

F ( z )= 0 , отримаємо рівняння шуканої лінії через x

і y , а

підставляючи в нерівність

F ( z )£ 0 або

F ( z )³ 0 - область,

яка

складається з множин точок (x , y).

Непорожня множина D комплексної площини називається областю, якщо виконуються такі умови: а) вона відкрита, тобто разом з кожною своєю точкою містить деякий окіл цієї точки; б) вона зв’язна, тобто будь-які дві її точки можна сполучити деякою ламаною L , всі точки якої належать цій множині D .

Точка zo називається межовою точкою області D , якщо в

кожному її околі містяться точки, що належать і що не належать цій області. Множина всіх межових точок області D називається межею цієї області. Множина точок, що складається з області D та її межі, називається замкненою областю. Якщо межу o6лacті утворює одна лінія, що не має самоперетину, то область називається однозв'язною.

Однозв’язна область D – це область, в якій довільну замкнену криву, що їй належить, можна неперервною деформацією стягнути в точку, залишаючись в цій області D . Однозв’язна область не містить «дірок», а багато зв’язна область – це область з «дірками».

Функції комплексної змінної. Якщо кожному комплексному числу z = x + iy , що належить області D , за певним правилом

поставлено	у відповідність одне або кілька комплексних чисел
w = u + iv	області	E , то кажуть, що на множині D визначена
функція		w = f (z)= u + iv = u(x, y)+ iv(x, y),
		w = f (z)= u + iv = u(x, y)+ iv(x, y),
де Re f (z) = u(x, y),		Im f (z) = v(x, y) . Точку або точки w області E , що

відповідають заданій точці z з області D , називають образом точки z , а функцію w = f (z) відображенням.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

До основних елементарних функцій комплексної змінної належать:

а) лінійна функція w = az + b , де a , b – комплексні числа;

б) степенева функція w = zn , n Î N ;

в) показникова функція w = ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y) , ez = ex , Arg ez = y .

Функція ez є періодичною з чисто уявним періодом 2πi:

ez + 2π i k = ez × e2π i k = ez .

г) логарифмічна функція w = Ln z визначається як функція обернена до показникової. Ця функція є багатозначною.

w = Ln z = ln

+ i Arg z = ln

+ i(arg z + 2kπ ), k = 0,±1,±2,...

Головним значенням

Ln z називається значення,

яке отримане

при к=0 і позначається

+ i arg z .

ln z = ln

д) загальна степенева функція

w = z a = ea Ln z , де

a = α + iβ – будь-яке комплексне число.

Ця функція багатозначна. Головне її значення:

za = ea ln z

е) загальна

показникова

функція:

w = a z = ez Ln a , a ¹ 0 -

будь-яке

комплексне число. Головне значення цієї багатозначної функції

є) тригонометричні функції

az = ez ln a .

eiz - e−iz

eiz

+ e−iz

tgz =

sin z

ctgz

cos z

sin z =

; cos z =

;

cos z

sin z

Модулі функцій sin z

і cos z

можуть бути більше одиниці. Для

тригонометричних функцій комплексного аргументу справедливі всі тригонометричні формули для дійсного аргументу.

ж) гіперболічні функції

shz =	ez - e−z	; chz =	ez + e−z	;	thz =	shz	cthz =	chz	.
	2		2			chz		shz

Справедливі наступні співвідношення між тригонометричними та гіперболічними функціями:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			30
sin z = −i shiz				shz = −i sin iz
cos z = chiz				chz = cos iz
tgz = −i th iz				thz = −i tg iz
ctgz = i cth iz				ctgz = i ctg iz
з) обернені тригонометричні функції
æ			ö
æ	1- z	2	ö	; Arc cos z = −iLn(z +	z	2	−1)	;
Arc sin z = -iLnçiz +	1- z		÷	; Arc cos z = −iLn(z +	z		−1)	;
è			ø

Arctg z = -

1+ iz

;

Arcctgz = -

z + i

1- iz

z - i

Всі ці функції багатозначні.

Диференціювання функцій комплексної змінної. Аналітичні

функції. Нехай функція

w = f (z) визначена

в деякій

області

комплексної змінної z і точки z

та z +

належить

області

D .

Функція w = f (z) називається диференційованою в точці

z D , якщо

існує скінчена границя

lim

Df (z)

= lim

f (z + Dz) - f (z)

Ця границя

z→0

називається похідною функції

f (z)

в точці z

і позначається w′ =

f ′(z)

або

w = f (z) = u(x, y)+ iv(x, y), то в кожній

Якщо z = x + iy,

точці

диференційованості функції

f (z) виконуються співвідношення

¶u

¶v

¶u

= -

¶v

¶x

¶y

¶x

які називаються умовами Коші - Рімана.

Зворотне твердження теж вірно.

Функція w = f (z)

називається аналітичною в даній точці z D,

якщо вона диференційована як в самій точці

z , так і в деякому її

околі.

Функція f (z) називається аналітичною в області D , якщо вона диференційована в кожній точці цієї області.

Для того, щоб функція f (z) = u(x, y)+ iv(x, y) була аналітичною в області D , необхідно і достатньо існування в цій області

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2025405.45 Кб0макроеконом.docx
#
20.11.201993.7 Кб10Макросы в Word.doc
#
25.09.20192.19 Mб15Мартемьянов В.С. Хозяйственное право. Том 1.doc
#
07.02.2016171.52 Кб7Маршрутная карта.doc
#
18.07.2019125.44 Кб4Массовые репрессии и политические процессы 20-х....doc
#
07.02.2016588.27 Кб13матанчик 4 идз.pdf
#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб7математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf