Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

математика 3701

.pdf

Скачиваний:

716

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

594.89 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

8. СТАТИСТИЧНЕ ОБРОБЛЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ СПОСТЕРЕЖЕНЬ

Сучасну математичну статистику визначають як науку про прийняття рішень в умовах невизначеності. Завдання математичної статистики полягає у створенні методів збирання та оброблення статистичних даних для отримання наукових і практичних висновків. Якщо потрібно вивчити, як у сукупності однорідних об'єктів розподілена деяка ознака, яка характеризує ці об'єкти, що не завжди можливо досліджувати кожен об'єкт (об'єктів може бути занадто багато, при перевірці об'єкт може бути знищений і т.п.). У цих випадках відбирають частину об'єктів і за властивостями відібраних об'єктів судять про властивості всіх об'єктів.

Генеральною сукупністю називають вихідну безліч об'єктів, з якої здійснюється вибірка.

Вибіркою або вибірковою сукупністю називають сукупність випадково відібраних об'єктів.

Обсяг сукупності (вибіркової або генеральної) – число елементів даної множини.

Нехай з генеральної сукупності витягнута вибірка і проводяться спостереження за випадковою величиною Х, причому значення x1 спостерігалося n1 раз, значення x2 – n2 раз, ..., значення хК – nк раз, n1 + n2 + ... + nк = n – обсяг вибірки. Можливі значення випадкової величини Х: х1, x2, ..., хК прийнято називати варіантами, а послідовність варіант, записану в порядку зростання, – варіаційним рядом. Різниця між максимальним і мінімальним елементами вибірки називають розмахом вибірки. Числа n1, n2, ..., nк називаються частотами, а wi = ni / n – відносними частотами, сума яких дорівнює одиниці. Зазвичай статистичний ряд записується у вигляді таблиці:

Х	x1	x2	…	xк	або	Х	x1	x2	…	xк
ni	n1	n2	…	nк		wi	w1	w2	…	wк

У тому випадку, якщо число значень випадкової величини Х велике або є підстави вважати, що випадкова величина є неперервною і може прийняти будь-яке значення з деякого проміжку, будують

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

інтервальний статистичний ряд у вигляді таблиці. Значення варіант групують за проміжкам (зазвичай однакової довжини), у першому рядку вказується проміжками, у другому – число спостережень, що потрапили в даний проміжок.

Для визначення оптимальної довжини часткового проміжку можна використовувати формулу Стерджеса. Нехай значення випадкової величини Х розташовуються на відрізку [а, b], обсяг вибірки – n.

Довжина часткового інтервалу = (b – а) / [1 + 3,32 lq(n)], число

інтервалів k = 1 + 3,32 lq(n) (береться найближче до [3,32 lq(n) ] ціле), перший інтервал починається в точці xmin = a – /2.

Для наочності часто використовують графічне зображення статистичних рядів: для дискретного ряду – полігон, для інтервального раду – гістограму.

Полігон частот (відносних частот) являє собою ламану лінію,

відрізки якої з'єднують точки (x1, n1), (x2, n2), ..., (xk, nk) або (x1, w1), (x2,

w2), ..., (xk, wk).

Гістограмою частот (відносних частот) називається сукупність прямокутників, основами яких служать часткові інтервали довжиною

xi = xi +1 – xi і висотами hi = ni / xi (hi = wi / xi). Площа всієї гістограми частот дорівнює n (обсягу вибірки), а площа всієї

гістограми відносних частот дорівнює 1. Гістограма і полігон можуть служити деяким наближенням графіка невідомої щільності розподілу f(x) випадкової величини Х. Точність наближення зростає зі зростанням обсягу вибірки та кількості часткових інтервалів.

Статистичною або емпіричною функцією розподілу випадкової величини Х за наявною вибіркою називається функція F*(x), що дорівнює відносній частоті події (Х < х), тобто F*(x) = nx / n, де nx – число варіант у вибірці, менших x; n – обсяг вибірки.

Теоретичною функцією розподілу називається функція розподілу F(x) випадкової величини Х, обчислена за генеральної сукупності, тобто ймовірність події (Х < х).

Властивості емпіричної функції розподілу аналогічні властивостям теоретичної функції розподілу дискретної випадкової величини Х (F*(x) – неспадна функція; 0 ≤ F*(x) ≤ 1; якщо x1 – найменша варіанта, а xk – найбільша, то F*(x) = 0 при х ≤ x1 і F*(x) = 1 при х > xk).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

8.1Числові характеристики статистичного розподілу вибірки

1.Вибіркове середнє – середнє арифметичне значень вибірки:

	x + x	2	+ ...+ x	n		1	k	k

xв =	1				=		åni × xi = åwi × xi
			n			n
							i=1	i=1

Використовують також позначення: x , M * (X ) , m*x .

2.Вибіркова мода M o* – найбільш ймовірне значення у вибірці (варіанта з найбільшою частотою).

3.Вибіркова медіана М е* – значення випадкової величини, що припадає на середину варіаційного ряду. Якщо обсяг вибірки парний,

n = 2m, то М е* = (хm + xm+1 ) / 2 , якщо непарний, n = 2m +1, то М е* =

= х m +1.

4. Вибіркова дисперсія – середнє значення квадрата

відхилення хi

в :

Dв =

åni × (xi -

в )2

åni × xi2

- (

в )2 = x2 - (

i=1

5.Вибіркове середнє квадратичне відхилення – σ в = Dв

6.Виправлена вибіркова дисперсія – s2 = n n-1 Dв

7.Виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення –

s= s2 .

8.Початковий вибірковий момент порядку k:

	1	n
νk*[X ]= xk =	1	å(xi )k .
νk*[X ]= xk =	n	å(xi )k .
	n	i=1
		i=1

9. Центральний вибірковий момент порядку k:

μk* [X ]=				=	1	ån	(xi -		)k .
	(x -		)k
		x						x
					n
						i=1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

Приклад 42. Нехай 50 випадково обраних стрільців беруть участь у змаганні. Кожен з них робить по 100 пострілів. У таблиці наведено кількість очок для кожного стрільця:

75	54	67	62	87	55	65	46	68	73
62	46	64	55	68	72	58	73	87	62
58	73	54	62	65	68	55	62	77	79
55	83	64	53	72	68	79	46	64	73
62	46	54	72	55	62	65	79	72	87

ВВ Х – кількість вибитих очок. а) записати статистичний та інтервальний статистичний ряди; б) побудувати полігон частот і гістограму частот для статистичного та інтервального статистичного рядів; в) записати статистичну (емпіричну) функцію розподілу та побудувати її графік; г) знайти вибіркове середнє і вибіркове середнє квадратичне відхилення.

Розв’язування. а) значення кількості очок у вибірці змінюється від 46 до87, тобто приймає 42 значення. Обсяг вибірки - 50 чоловік. Упорядкуємо дані вибірки за зростанням (ранжируємо вибірку).

46	46	46	46	53	54	54	54	55	55
55	55	55	58	58	62	62	62	62	62
62	62	64	64	64	65	65	65	67	68
68	68	68	72	72	72	72	73	73	73
73	75	77	79	79	79	83	87	87	87

Запишемо статистичний ряд:

Х	46	53	54	55	58	62	64	65	67
ni	4	1	3	5	2	7	3	3	1
Х	68	72	73	75	77	79	83	87
ni	4	4	4	1	1	3	1	3

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com


Побудуємо інтервальний статистичний ряд.
D =		87 - 46		»	41		» 6,17 » 6,		k » 6,644 » 7,		xmin = 46 - 3 = 43.
D =	1	+ 3,32 × lg 50		»	6,64		» 6,17 » 6,		k » 6,644 » 7,		xmin = 46 - 3 = 43.
	1	+ 3,32 × lg 50			6,64

X		[43,49)	[49,55)			[55,61)		[61,67)	[67,73)	[73,79)	[79,87]
ni		4	4			7		13	9	6	7
wi		0,08	0,08			0,14		0,26	0,18	0,12	0,14

б) графік полігону частот має вигляд:

0	46		50			54	58	62	66	70		74		78	82	86	90	х
							Рисунок 8.1
Графік гістограми частот має вигляд:
		ni						13
13
13
11									9
11									9
9							7					7
9
7											6
7											6
5			4		4


3
3
1																x
1

0	42		46	50		54	58 62	66	70	74	78	82	86	90

Рисунок 8.2

в) запишемо емпіричну функцію розподілу:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

ì0,	x < 43
ï	43 £ x < 49
ï0,08,	43 £ x < 49
ï0,16,	49 £ x < 55
ï	55 £ x < 61
ï0,3,	55 £ x < 61
ï	61£ x < 67
F*(x) = í0,56,	61£ x < 67
ï0,74,	67 £ x < 73
ï	73 £ x < 79
ï0,86,	73 £ x < 79
ï	79 £ x < 87
ï1,	79 £ x < 87
ï1,	x ³ 87
î

Графік емпіричної функції розподілу має вигляд:

F (x)

1,0																							0,86		1,0
1,0

0,5							0,08			0,16					0,3				0,56		0,74





0,1








0		42					46			50			54			58			62	66	70		74	78	82	86	90	x
															Рисунок 8.3
г) знайдемо вибіркове середнє:
				x			+ x	2	+ ... + x				n		1			k			1
				x			+ x		+ ... + x						1			k			1
	xв =				1									=			åni × xi =					(4	× 46 +1× 53		+ 3 × 54 + 5 × 55 +
	xв =								n					=	n		åni × xi =				50	(4	× 46 +1× 53		+ 3 × 54 + 5 × 55 +
									n						n		i=1				50
																	i=1
		+ 2 × 58 + 7 × 62 + 3 × 64 + 3 × 65 +1× 67 + 4 × 68 + 4 × 72 + 4 × 73 +1× 75 +
					+1× 77 + 3× 79 +1×83 + 3 ×87) = 3263/ 50 = 65,26
Вибіркова дисперсія:
		1				k										1
Dв =					åni × xi2					- (		в )2 =							(4 × 462 +1×532 + 3 ×542 + 5 ×552 + 2 × 582 +
											x
			n								x
			n		i=1										50
					i=1

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

+ 7 × 622 + 3 × 642 + 3× 652 +1× 672 + 4 × 682 + 4 × 722 + 4 × 732 +1× 75 +

+1× 772 + 3 × 792 +1×832 + 3×872 ) - (65,26)2 = 218655 / 50 - 4258,8676 = = 4373,1 − 4258,8676 = 114,2324

Вибіркове середнє квадратичне відхилення:

	σ в =			Dв	=			114,2324	»10,69
Виправлена вибіркова дисперсія:
s2 =		n	D =			50	×114,2324 » 116,5637
s2 =		n -1	D =		40		×114,2324 » 116,5637
		n -1		в	40

Виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення: s = s2 = 116,5637 »10,796 .

8.2 Інтервальні оцінки параметрів. Довірчі інтервали

Існують два види оцінок параметрів розподілу (числових характеристик) досліджуваної ознаки генеральної сукупності за даними вибірки – точкові та інтервальні.

Точкова оцінка невідомого параметра Θ – випадкова функція Θ *(х1, х2, ..., хn), значення якої для будь-якої реалізації вибірки приймають за наближене значення параметра Θ ,

Θ = Θ *(х1, х2, ..., хn).

Інтервальна оцінка невідомого параметра Θ – випадкова функція Θ *(х1,х2, …, хn) така, що інтервал (α , α ) включає в себе

(покриває) невідомий параметр Θ з імовірністю γ. Сам інтервал носить назву довірчого інтервалу. Число γ = 1 – α , 0 < γ <1

називається довірчою ймовірністю оцінки (надійністю, коефіцієнтом довіри) , а α – рівнем значущості. Чим ближче γ до одиниці, тим

надійніше оцінка (зазвичай вибирають γ = 0,9; 0,95 або 0,99). Величини α та α називаються довірчими межами. Вони є

функціями вибіркових значень α = α (х1, х2, ..., хn), α = α (х1, х2, ..., хn) і,

отже, є випадковими величинами. Приклади довірчих інтервалів.

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

1. Довірчий інтервал для математичного сподівання a нормальної випадкової величини при відомій дисперсії σ2 має вигляд

в − tγ

< α <

в + tγ

тут

tγ

= δ

– точність оцінки; n – обсяг вибірки;

tγ

–

значення

Ф( tγ ), при якому

Ф( tγ )

γ /2, tγ

аргументу

функції Лапласа

визначається

по

заданій

довірчій імовірності

за

допомогою

таблиці 10.2.

2. Довірчий інтервал для математичного сподівання a нормальної

випадкової величини за невідомої дисперсії σ2 має вигляд:

для n < 30

в − tγ

< α <

в + tγ

де величина tγ

визначається за таблицею 10.3: tγ

= t( γ ,n) ( γ – задана

довірча ймовірність, n – обсяг вибірки);

для n ³ 30

в − u

< α <

в + u

α / 2

де величина uα / 2

– значення аргументу функції Лапласа Ф(uα / 2 ),

при

якому Ф( uα / 2 ) = γ /2,

визначається

за

заданою

довірчою

ймовірністю за допомогою таблиці 10.2.

Оцінка s обчислюється за формулою:

s =

ån (xi −

xв

n − 1

i=1

3. Довірчий інтервал для дисперсії σ2 нормальної випадкової

величини має вигляд:

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

для n <50

якщо математичне сподівання а відоме, то s02 =

å(xi − a)2

i=1

(n −1)s2

< σ 2

(n −1)s

;

χ 2

α / 2;n

1−α / 2;n

якщо

математичне

сподівання

невідоме,

то

s2 =

ån (xi −

в )2 і

n −1

i=1

(n −1)s2

< σ

(n −1)s

χ 2

α / 2;n−1

1−α / 2;n−1

де n – обсяг вибірки; s – виправлене вибіркове середнє квадратичне

відхилення, χ 2	= χ 2	і χ 2	= χ 2	/ 2;n−1	визначаються при
1	1−α / 2;n−1	2	α	/ 2;n−1

ступенях свободи k = n – 1 з рівності: P(χ 2 > χ12 ) = 1− α / 2 = (1+ γ ) / 2 і P(χ 2 > χ22 ) = α / 2 = (1 − γ )/ 2 за допомогою таблиці 10.6. Для

знаходження довірчого інтервалу для середнього квадратичного відхилення σ можна користуватися формулою:

(n −1)

< σ < s

(n −1)

χ 2

α / 2;n−1

1−α / 2; n−1

Позначимо через

(n −1)

i γ

(n −1)

. Тоді за

χ 2

α / 2;n−1

1−α / 2; n−1

таблицею 10.7 можна знайти γ1 та γ 2 . для n ³ 50

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

	s		< σ <		s		,
1+	uα / 2		< σ <	1−	uα / 2		,
	uα / 2				uα / 2

		2n				2n

де uα / 2 – квантіль стандартного нормального розподілу, відповідний

довірчий ймовірності 1 – α .

4. Нехай n – число незалежних випробувань, m – число настання події А, p – ймовірність настання події А в кожному окремому випробуванні. Розглянемо випадок, коли n досить велике, а значення p не дуже близько до нуля або до одиниці так, що можна скористатися асимптотикою Муавра–Лапласа. При цьому довірчий інтервал для p

має вигляд:
	m	< p <	m + (uγ )2
	n + (uγ )2	< p <	n + (uγ )2

uγ визначається за заданою довірчою ймовірністю γ за допомогою

таблиці 10.8.

Розглянемо окремо випадок m = 0. При цьому нижня довірча межа дорівнює нулю, верхня 1 – n1− γ . Аналогічно, при m = n нижня і

верхня довірчі межі рівні відповідно n1− γ і одиниці.

Приклад 43. Випадкова величина ξ розподілена нормально з невідомим математичним сподіванням a і відомою дисперсією σ2 = 25. За вибіркою (х1, х2, ..., х100) обсягу 100 обчислено вибіркове середнє

1 100

xв = 100 åi=1 xi = 142,3. Визначити довірчий інтервал для a з довірчою

ймовірністю γ = 0,95.

Розв’язування. За умовою прикладу дисперсія σ2 відома, тому


скористаємося формулою п.1, в			яку підставимо наші дані: σ = 25 = 5
і n = 100, також tγ		= t0,95 = 1,96, отримане з таблиці 10.2. Матимемо
142,3 −1,96	5	< α <142,3	+ 1,96	5	, тобто 141,32 <a <143,28.

100			100

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.20161.16 Mб9математика 1227.pdf
#
07.02.2016459.93 Кб7математика 1229.pdf
#
07.02.2016530.12 Кб6математика 1874.pdf
#
07.02.2016476.22 Кб8МАТЕМАТИКА 2Ч.pdf
#
07.02.2016309.25 Кб16математика 3700.pdf
#
07.02.2016594.89 Кб716математика 3701.pdf
#
07.02.20163.15 Mб15Математика задания(30 вариантов).doc
#
07.02.20165.01 Mб98Матеріалознавство.pdf
#
07.02.20163.31 Mб21материаловедение.pdf
#
18.11.20193.33 Mб2Мацько.doc
#
21.08.20191.94 Mб1МВ ДП РТТ и ТК.doc

75	54	67	62	87	55	65	46	68	73
62	46	64	55	68	72	58	73	87	62
58	73	54	62	65	68	55	62	77	79
55	83	64	53	72	68	79	46	64	73
62	46	54	72	55	62	65	79	72	87

46	46	46	46	53	54	54	54	55	55
55	55	55	58	58	62	62	62	62	62
62	62	64	64	64	65	65	65	67	68
68	68	68	72	72	72	72	73	73	73
73	75	77	79	79	79	83	87	87	87

75	54	67	62	87	55	65	46	68	73
62	46	64	55	68	72	58	73	87	62
58	73	54	62	65	68	55	62	77	79
55	83	64	53	72	68	79	46	64	73
62	46	54	72	55	62	65	79	72	87

46	46	46	46	53	54	54	54	55	55
55	55	55	58	58	62	62	62	62	62
62	62	64	64	64	65	65	65	67	68
68	68	68	72	72	72	72	73	73	73
73	75	77	79	79	79	83	87	87	87

75	54	67	62	87	55	65	46	68	73
62	46	64	55	68	72	58	73	87	62
58	73	54	62	65	68	55	62	77	79
55	83	64	53	72	68	79	46	64	73
62	46	54	72	55	62	65	79	72	87

46	46	46	46	53	54	54	54	55	55
55	55	55	58	58	62	62	62	62	62
62	62	64	64	64	65	65	65	67	68
68	68	68	72	72	72	72	73	73	73
73	75	77	79	79	79	83	87	87	87