5.3 Погрешности представления чисел

Цифровой автомат, как мы видим, всегда приводит к появлению погрешности в расчетах, величина которых зависит от ограничений накладываемых на автомат по разрядной сетке, форме представления чисел и др.

5.3.1 Абсолютная погрешность представления чисел

Абсолютная погрешность вычислений N это разность между истинным значением числа N и его значением полученным после машинного отображения, операций и .др. т.е. N_m

Например: двоичное число +11,00111000111 при n = 16 и K_Ф=2^k, k=6, тогда N_m = 0.000011001110001 [последние два разряда 11 - потеряны]. Переведя в десятичные числа, получим

N = 11,00111000111 = 3,2221678

N_m =0.000011,001110001 = 3,2207031

N = N – N_m = 3,2221678 – 3,2207031 = 0,0014647

Правило. Максимальная погрешность N для чисел формата с фиксированной запятой не превышает единицы младшего разряда сетки.

5.3.2 Относительная погрешность представления числа

Относительная погрешность представления числа  N это отношение абсолютной погрешности N к числу N в %-ном отношении, т.е.

Обычно, N определяется математически после выполнения арифметических операций в десятичной системе.

N_m –машинное число, полученное после выполнения арифметических операций в двоичной системе.

После определения абсолютной погрешности определяем относительную погрешность в %.

Например: из предыдущего решения N = 0.0014647

6 Бинарная арифметика

6 1 Формальные правила двоичной арифметики

В арифметике любого вида участвуют всегда два или более чисел. Как результат выполнения арифметических операций появляется новое число. Формально это можно представить: ,

где  - знак любого арифметического действия .

Результат выполнения операции  цифр а_i и b_i в i-м разряде представляется двумя цифрами, цифрой C_i - результата соответствующей операции в данном разряде и цифрой П_i – переноса в старший разряд или займа в старшем разряде (при вычитании).

Результат C_i и перенос П_i формируются по следующим правилам:

Сложение:

Двоичный полусумматор - устройство, выполняющее арифметическое действие сложение без учета переносов с предыдущего разряда, т.е. на его вход подаются только числа разряда a_i и b_i

Правила сложения для полусумматора можно представить таблицей 6..1.

Таблица 6.1-Полусумматор

Однако, не учитывать переносов при суммировании многоразрядных чисел нельзя. Поэтому, при сложении пользуются устройством двоичный сумматор - устройство выполняющее арифметическое действие сложение с учетом переносов от предыдущего разряда и передачи переносов в последующий.

Его работа и структурная схема была нами рассмотрена в разделе 3. Таблица истинности цифрового автомата - двоичного сумматора представлена в таблице 6..2

Таблица  6.2- Сумматор

Здесь поразрядное сложение выполняется по формуле

a_i + b_i + П_i-1 = C_i + П_i

где а_i, b_i - разряды чисел А.,В.; C_i - сумма і-го разряда П_i-1 - перенос из предыдущего

разряда П_i - перенос в последующий разряд. При выполнении арифметической операции вычитания в двоичной системе счисления, так как и в десятичной, производится заем, равносильный вычитанию единицы из старшего разряда. Заимствование из старшего разряда эквивалентно добавлению к младшему разряду величины основания.

Кроме того, этот заем необходимо учитывать при вычитании цифр следующего старшего разряда (т.е. был ли заем в младшем разряде). Однако, такое вычитание, деление и умножение для автоматов является сложным т.к. при выполнении этих операций в вычислительных автоматах возникает проблема представления отрицательных чисел. Для машинного представления отрицательных чисел используют прямой код, обратный код и дополнительный.