7. Числовые характеристики системы двух случайных величин.

Мы назвали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям. Укажем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема 5.1. Для того чтобы случайные величины ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системыбыла равна произведению функций распределения составляющих:

.

Теорема 5.2. Для того чтобы непрерывные случайные величины ибыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность вероятности системыбыла равна произведению плотностей вероятностей составляющих:

.

Для описания системы двух случайных величин, кроме математических ожиданий и дисперсий составляющих, пользуются и другими характеристиками, к числу которых относятся корреляционный момент и коэффициент корреляции.

Корреляционным моментом случайных величининазывают математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

.

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин пользуются формулой

,

а для непрерывных величин

.

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами и.

Теорема 5.3. Корреляционный момент двух независимых случайных величин иравен нулю.

Из теоремы 5.3 следует, что если корреляционный момент двух случайных величин ине равен нулю, тои- зависимые случайные величины.

Коэффициентом корреляции случайных величининазывают отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

.

Очевидно, коэффициент корреляции двух независимых случайных величин равен нулю (т. к. ).

8. Коррелированность и зависимость случайных величин.

Две случайные величины иназываюткоррелированными, если их корреляционный момент (или что то же - коэффициент корреляции) отличен от нуля; иназываютнекоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен от нулю.

Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное предложение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

ЗАДАЧИ

1. Двумерная случайная величина имеет плотность вероятности. Найти: а) величину; б) функцию распределения; в) вероятность попадания случайной точкив квадрат, ограниченный прямыми,,,.

Ответ: а) ; б);

в) .

2. Определить плотность вероятности системы двух положительных случайных величин ипо заданной функции распределения.

Ответ: .

3. Двумерная случайная величина подчинена закону распределения с плотностьюв областиивне этой области. Область- треугольник, ограниченный прямыми,,. Найти: а) величину; б)и; в)и; г); д).

Ответ: а) ; б); в);

г) ; д).