3 Лабораторна робота № 3 тема: Обчислення інтегралів
3.1 Теоретичні відомості
Точне обчислення визначеного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбниця не завжди представляється можливим чи доцільним. У цих випадках, а також у випадках, коли підінтегральна функція задана табличним способом, доцільно проводити обчислювання приблизно. До найпростіших методів відносяться формула прямокутників, формула парабол (Сімпсона).
При обчисленнях за формулами прямокутників результати будуть тим точніші, чим більше число відрізків розбивки проміжку інтегрування. Найпростіша - формула лівих прямокутників:
, (3.1)
де
Для забезпечення наданої степені точності ε значення n визначається за умовою:
(3.2)
За формулою парабол маємо:
(3.3)
де
Згідно екстраполяції по Річардсону більш точне значення інтеграла можна визначити за формулою:
(3.4)
де 
,
- два наближених значення
,знайдених по формулі параболи дляn1
та
n2
(n2
> n1)
.
3.2 Індивідуальні завдання
Для кожного варіанту:
1) обчислити інтеграл по формулі прямокутників з точністю ε = 0,01 ;
2) по формулі парабол обчислити інтеграл, уточнювання провести згідно формулі Річардсона.
3.2.1
1)
;
2)
.
3.2.2
1)
;
2)
.
3.2.3
1)
;
2)
.
3.2.4
1)
;
2)
.
3.2.5
1)
;
2)
.
3.2.6
1)
;
2)
.
3.2.7
1)
;
2)
.
3.2.8
1)
;
2)
.
3.2.9
1)
;
2)
.
3.2.10
1)
;
2)
.
3.2.11
1)
;
2)
.
3.2.12
1)
;
2)
.
3.2.13
1)
;
2)
.
3.2.14
1)
;
2)
.
3.2.15
1)
;
2)
.
3.2.16
1)
;
2)
.
3.2.17
1)
;
2)
.
3.2.18
1)
;
2)
.
3.2.19
1)
;
2)
.
3.2.20
1)
2)
.
3.2.21
1)
;
2)
.
3.2.22
1)
;
2)
.
3.2.23
1)
;
2)
.
3.2.24
1)
;
2)
.
3.2.25
1)
;
2)
.
3.2.26
1)
;
2)
.
3.2.27
1)
;
2)
.
3.2.28
1)
;
2)
.
3.2.29
1)
;
2)
.
3.2.30
1)
;
2)
.
3.3 Приклади виконання лабораторної роботи
Приклад
3.3.1 Обчислити
інтеграл
за формулою прямокутників з точністюε=0,01.
Вирішимо
задачу, використовуючи середовище
Excel.
Треба обчислити функцію
на проміжку[0,7;1,3].
Кількість відрізків розбивки проміжку інтегрування визначимо з умови (3.2) :
,
,
М=2, тоді 
;
.
Розмістимо початкові значення та таблицю значень x, у у такому вигляді, як показано на рис. 3.1 .
Рисунок 3.1 – Таблиця початкових значень та значень х, у
Згідно
протоколу рішення, який показано на
рис. 3.2 , отримаємо відповідь:
0,406865
.
Рисунок 3.2 – Протокол рішення інтегралу за формулою прямокутників
Приклад
3.3.2 Обчислити
інтеграл
за формулою
парабол, уточнювання провести згідно формули Річардсона.
Для
вирішення задачі з’ясуємо початкові
дані: a
= 1,2 ; b
= 1,6
,
,
оберемоn1
= 10 , n2
= 15
, які розмістимо на листі Excel
з ім’ям „Сімпсона”
. На цьому ж листі розмістимо кнопку
Command
Button1
, як показано на рис. 3.3 та створимо
процедуру рішення.
Рисунок 3.3 – Зразок листа Excel з ім’ям „Сімпсона”
Текст процедури:
Зразок протоколу рішення наведено на рис. 3.4 .
Рисунок 3.4 – Протокол рішення інтегралу за формулою парабол
Згідно протоколу рішення маємо:
=
0б08389 .