4 Лабораторна робота №4 тема: Наближення (інтерполяція) функцій
4.1 Теоретичні відомості
Задача наближення функції виникає, коли для функції, даної при дискретних значеннях аргументу у вигляді таблиці (ці значення називаються вузлами інтерполяції) необхідно знайти значення функції в проміжних крапках. Накладаючи вимогу, щоб наближена функція у вузлах співпадала з табличними значеннями (рис. 4.1), одержуємо задачу інтерполяції.
Рисунок 4.1 – Графік наближеної функції
Нехай в результаті спостережень за ходом деякого процесу побудована таблиця:
|
x |
x0 |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
f(x) |
f(x0) |
f(x1) |
f(x2) |
… |
f(xn) |
Тобто, функція f(x) задана таблицею значень для кінцевої безлічі значень х .
Якщо необхідно знайти значення f(x) для проміжного значення аргументу, то будують функцію φ(x) , просту для обчислень і таку, що для заданих x0 , x1 , x2 , ... , xn приймає значення f(x0) , f(x1) , f(x2) , ... , f(xn) .
В інших точках відрізка [x0, xn] вважаємо, що φ(x) приблизно визначає функцію f(x) з тим чи іншим ступенем точності.
Найчастіше, функцію φ(x) представляють у вигляді алгебраїчного багаточлена деякого ступеня.
Найпростіша інтерполяція – це лінійна, тобто, коли невідому аналітичну залежність f(x) замінюють відрізками прямих, які проходять через відповідні вузли інтерполяції. В цьому випадку потрібно визначити якому відрізку належить надане х* і за формулою лінійної інтерполяції знаходять f(x*) . Якщо xi <= x* <= xi+1 , то відповідна пряма проходить через вузли (xi , f(xі)) , (xi+1 , f(xі+1)) :
(4.1)
Точність підрахунків в цьому випадку незначна, тому що враховується вплив тільки 2-ох вузлів інтерполяції. Частіше будують багаточлен Pn(x) ступеня n , що в (n+1) даних точках x0 , x1 , x2 , ... , xn . приймає дані значення y0 = f(x0) , y1 = f(x1) , … , yn = f(xn) , тобто
f(xі) = Pn(xі) , (і = 0, 1, 2, ... , n) .
Відзначимо, що двох різних інтерполяційних багаточленів одного і того же ступеня n існувати не може. Цим умовам задовольняє інтерполяційний багаточлен Лагранжа:
(4.2)
Тоді 
4.2 Індивідуальні завдання
Для кожного варіанту обчислити наближене значення функції, яка задана таблицею, для наданого х* , використовуючи лінійну інтерполяцію по Лагранжу.
4.2.1 х* = 1,50
|
x |
1,21 |
1,29 |
1,45 |
1,61 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
4,78 |
4,33 |
4,01 |
3,66 |
4.2.2 х* = 0,45
|
x |
0,24 |
0,39 |
0,65 |
0,88 |
0,94 |
1,12 |
|
y |
2,18 |
1,98 |
1,73 |
1,13 |
1,01 |
1,34 |
4.2.3 х* = 0,66
|
x |
0,28 |
0,42 |
0,56 |
0,63 |
0,84 |
0,98 |
|
y |
5,26 |
6,21 |
6,66 |
6,93 |
7,25 |
5,99 |
4.2.4 х* = 3,2
|
x |
2,10 |
2,19 |
2,35 |
2,51 |
2,82 |
3,33 |
|
y |
8,54 |
8,11 |
7,78 |
7,03 |
6,77 |
7,86 |
4.2.5 х* = 3,50
|
x |
3,12 |
3,28 |
3,54 |
3,72 |
3,88 |
4,12 |
|
y |
7,04 |
6,50 |
6,11 |
5,23 |
4,81 |
6,12 |
4.2.6 х* = 0,85
|
x |
0,25 |
0,54 |
0,65 |
0,80 |
0,94 |
1,12 |
|
y |
0,54 |
0,91 |
1,78 |
2,33 |
2,81 |
3,66 |
4.2.7 х* = 1,74
|
x |
1,26 |
1,39 |
1,55 |
1,71 |
2,08 |
2,20 |
|
y |
1,58 |
4,06 |
3,98 |
3,46 |
3,12 |
2,42 |
4.2.8 х* = 4,51
|
x |
4,02 |
4,38 |
4,44 |
4,58 |
4,74 |
4,98 |
|
y |
10,54 |
4,82 |
4,93 |
5,14 |
5,92 |
7,12 |
4.2.9 х* = 1,90
|
x |
1,22 |
1,69 |
1,85 |
2,22 |
2,46 |
2,72 |
|
y |
0,52 |
0,98 |
1,78 |
2,33 |
2,01 |
1,66 |
4.2.10 х* = 3,82
|
x |
3,41 |
3,59 |
3,75 |
3,89 |
4,00 |
4,18 |
|
y |
4,50 |
4,19 |
3,81 |
4,33 |
3,66 |
2,84 |
4.2.11 х* = 2,22
|
x |
2,12 |
2,42 |
2,65 |
2,71 |
2,99 |
3,12 |
|
y |
1,50 |
1,92 |
2,78 |
2,03 |
3,16 |
2,88 |
4.2.12 х* = 5,32
|
x |
5,13 |
5,29 |
5,45 |
5,61 |
5,84 |
6,22 |
|
y |
1,54 |
1,11 |
1,78 |
1,33 |
1,01 |
2,66 |
4.2.13 х* = 1,35
|
x |
1,21 |
1,29 |
1,45 |
1,61 |
1,92 |
1,22 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
4,78 |
4,33 |
4,01 |
3,66 |
4.2.14 х* = 0,80
|
x |
0,22 |
0,42 |
0,63 |
0,78 |
0,82 |
0,99 |
|
y |
6,52 |
6,88 |
7,55 |
6,15 |
7,92 |
8,02 |
4.2.15 х* = 2,85
|
x |
2,22 |
2,39 |
2,55 |
2,72 |
2,84 |
3,02 |
|
y |
2,54 |
2,11 |
2,78 |
3,33 |
2,01 |
4,66 |
4.2.16 х* = 0,60
|
x |
0,28 |
0,49 |
0,65 |
0,71 |
0,96 |
1,22 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
4,78 |
4,33 |
4,01 |
3,66 |
4.2.17 х* = 1,52
|
x |
1,12 |
1,29 |
1,45 |
1,61 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
3,08 |
4,33 |
4,01 |
6,06 |
4.2.18 х* = 3,50
|
x |
3,12 |
3,29 |
3,45 |
3,66 |
3,84 |
4,02 |
|
y |
3,54 |
2,11 |
1,78 |
1,33 |
2,01 |
0,54 |
4.2.19 х* = 1,44
|
x |
1,18 |
1,39 |
1,55 |
1,71 |
2,94 |
3,32 |
|
y |
6,54 |
4,11 |
3,78 |
6,33 |
3,51 |
3,04 |
4.2.20 х* = 0,56
|
x |
0,12 |
0,31 |
0,45 |
0,61 |
0,98 |
1,32 |
|
y |
2,54 |
3,22 |
3,58 |
3,13 |
4,01 |
4,26 |
4.2.21 х* = 1,82
|
x |
1,22 |
1,29 |
1,55 |
1,71 |
2,04 |
2,32 |
|
y |
3,04 |
2,77 |
2,44 |
2,08 |
2,84 |
1,86 |
4.2.22 х* = 2,50
|
x |
2,32 |
2,49 |
2,65 |
2,81 |
3,04 |
3,18 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
4,78 |
4,33 |
4,01 |
5,66 |
4.2.23 х* = 3,35
|
x |
3,12 |
3,29 |
3,45 |
3,61 |
3,94 |
3,22 |
|
y |
4,54 |
5,11 |
5,78 |
5,33 |
6,02 |
6,66 |
4.2.24 х* = 1,50
|
x |
1,32 |
1,29 |
1,44 |
1,66 |
1,98 |
2,26 |
|
y |
3,54 |
3,11 |
2,78 |
2,33 |
4,01 |
2,16 |
4.2.25 х* = 1,56
|
x |
1,28 |
1,39 |
1,49 |
1,61 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
0,56 |
0,88 |
1,78 |
2,33 |
2,01 |
2,66 |
4.2.26 х* = 1,08
|
x |
0,07 |
1,29 |
1,45 |
1,61 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
3,54 |
4,11 |
4,78 |
4,33 |
4,22 |
3,66 |
4.2.27 х* = 3,33
|
x |
3,12 |
3,39 |
3,48 |
3,61 |
3,94 |
3,22 |
|
y |
3,54 |
3,11 |
2,78 |
2,33 |
4,01 |
2,16 |
4.2.28 х* = 1,44
|
x |
0,88 |
1,26 |
1,35 |
1,58 |
1,74 |
1,98 |
|
y |
2,46 |
2,71 |
2,98 |
3,33 |
3,00 |
3,37 |
4.2.29 х* = 1,50
|
x |
1,42 |
1,59 |
1,65 |
1,71 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
5,12 |
4,12 |
3,76 |
3,50 |
4,01 |
2,83 |
4.2.30 х* = 1,74
|
x |
1,12 |
1,29 |
1,45 |
1,61 |
1,94 |
2,22 |
|
y |
2,54 |
2,11 |
2,78 |
2,33 |
2,01 |
2,66 |