§ 8. Основные граничные задачи плоской теории упругости.

В недеформированном упругом теле напряжения ,,и деформации,,равны нулю. Если же тело деформировано заданными нагрузками, которые считаем приложенными к его границе, то ясно, что в упругом теле будут отличными от нуля напряжения, деформации и перемещения,. Задачу об определении величин,,,,,,,во всех точках упругого тела при заданных напряжениях на его границе будем называтьпервой граничной задачей. Во второй граничной задаче на всей границе тела считаются заданными перемещения ,; искомыми величинами по-прежнему являются напряжения, перемещения и деформации в упругом теле. Всмешанной граничной задаче на части границы тела заданы напряжения, а на оставшейся части перемещения.

Если область , соответствующая упругому телу, конечна, то решение трех сформулированных задач единственно [] (в предположении, что все граничные контуры гладкие и что напряжения и перемещения непрерывны в замкнутой области, занятой упругим телом). Если же областьбесконечна, то для единственности решения первой граничной задачи нужно дополнительно задать значения напряжений,,на бесконечности []. Перемещения,точек тела в первой граничной задаче определяются с точностью до слагаемых вида

, ,

которые соответствуют жесткому перемещению тела в плоскости . На основании сказанного в §7 задание напряжений на бесконечности эквивалентно заданию постоянныхив формулах (7.4). Так как постояннаяне влияет на распределение напряжений в теле, то будем полагать. В случае второй граничной задачи и смешанной задачи для бесконечного тела требование единственности решения будет выполнено, если дополнительно задать значения напряжений на бесконечности, главный вектор всех усилий и

.

Задание этих величин эквивалентно заданию постоянных []

, ,,

в формулах (7.4).

Пример. Записать граничные условия в задаче о растяжении плоскости с круглым отверстием усилиями на бесконечности интенсивности (кг/см). Радиус отверстия(см). на границу отверстия действует равномерно распределенная нормальная нагрузка интенсивности(кг/см).

Решение. Вычисли вектор напряжения в точкеграницы тела. Здесь– единичный вектор внешней нормали. Пусть точкахарактеризуется дуговой координатой(см. рис.). На малый участок границы с центром в точкедлинойдействует нагрузка, главный векторкоторой направлен к центру окружности, то есть. Величина главного вектора. Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше(). По определению

.

Как видно из рисунка, для любых значений дуговой координаты

, .

Следовательно, координаты вектора равны

, .

Во всех точках границы рассматриваемого тела известны нормальные нормальное и касательноенапряжения

, =0.

Поэтому сформулированная задача теории упругости для бесконечной плоскости является первой.

Определим напряжения ,,. Введем вспомогательную систему координат с осями,. Осьнаправим параллельно линям действия усилий, которые растягивают тело на бесконечности (см. рис.). В точкетела, лежащей в окрестности бесконечно удаленной точки, имеем

.

Следовательно, ,.

Проведем через точку сечение, перпендикулярное осии отбросим ту часть тела, внутри которой направлен вектор. По смыслу задачи на малую окрестность точкисо стороны отброшенной части нагрузка не действует, поэтому. Следовательно,,.

Вычислим теперь напряжения ,,, используя найденные значения напряжений,,. Для этого воспользуемся известными формулами связи между напряжениями в одной и той же точке тела, вычисленными в различных двух правых декартовых системах координат [ ; гл. 4]:

,

,

.

Здесь – угол между осьюи осью(положительное направление отсчета углапротив хода часовой стрелки). В рассматриваемом случае,,,. Следовательно,

, ,. (8.2)

Условия (8.1) и (8.2) обеспечивают единственность решения рассматриваемой задачи теории упругости.