§ 3. Решение первой граничной задачи для плоскости с круглым отверстием.

Начало декартовой системы координат поместим в центр отверстия. Будем считать известными радиус отверстия , модули упругостии материала упругой плоскости, предельные значения напряжений при , а также координаты вектора напряжений в произвольной точке отверстия(есть величина угла между осьюи лучом, проведенным из начала координат через точку). Искомыми величинами считаем напряженияв упругом теле.

В § 7 предыдущей темы было установлено, что искомые функции в любой окрестности точки и, в частности, в рассматриваемой плоскости с отверстием имеют такую структуру

,

. (3.1)

где – проекции на осииглавного вектора нагрузки, приложенной к контуру отверстия,

, ; (3.2)

и– комплексные постоянные:

,

–произвольная константа; ,– однозначные аналитические функции в комплексной плоскости с отверстием, включая и точку, то есть имеющие разложения в ряды Лорана в окрестности этой точки вида

.

Известно, что замена функций ина функцииисоответственно не влияет на напряженное состояние упругого тела. Поэтому для фиксации функций,можно распорядиться выбором действительной постояннойи комплексных постоянныхи, так, чтобы обеспечить надлежащее поведение этих функций в окрестности точки.

Функции ина контуреотверстия должны удовлетворять граничным условиям (9.3), т.е.

,

где – произвольная постоянная, – произвольная точка контура,– радиус отверстия,

.

Функцию считаем известной, так как в первой граничной задаче на границе отверстия заданы координатыивектора напряжения. Распорядимся выбором постоянных,,так, чтобы оказалось

.

В этом случае ряды Лорана для функций ив формулах (3.1) будут иметь вид:

, . (3.4)

Преобразуем граничное условие задачи в граничное условие для функций и. На основании формул (3.1) на границе упругого тела имеем

, ,

.

Подставим эти выражения для функцийв граничное условие задачи для функцийи

. (3.5)

Предполагая, что ряды Лорана (3.4) для функций ,и производные от них сходятся как во внутренних точках рассматриваемой бесконечной области, так и в точках границы и что функцияможет быть представлена комплексным рядом Фурье

,

приходим после подстановки рядов (3.4) в граничное условие (3.5) к равенству для определения коэффициентов ирядов Лорана для функцийи

.

После определения функций ипри помощи формул (3.4), а затем и функцийипри помощи формул (3.1), найдём напряженияв упругом теле, руководствуясь формулами Колосова- Мусхелишвили.

Опишем основные этапы решения первой граничной задачи плоской теории упругости для плоскости с круглым отверстием:

1. Определяем в каждой точке граничной окружности координатывектора напряженияпо заданной нагрузке.

2. Определяем напряжения по условиям нагружения плоскости с отверстием вдали от отверстия.

3. Определяем координаты иглавного вектора нагрузки, приложенного к контуруотверстия по формулам (3.2).

4. Вычисляем значения постоянных ипо формулам (3.3), которые с учетом того, что, принимают вид:

, . (3.7)

5. Определяем функцию в правой части граничного условия (3.5):

. (3.8)

6. Раскладываем функцию в комплексный ряд Фурье

,.

7. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в граничном условии (3.6), получаем уравнения для определения коэффициентовирядов Лорана (3.4) для функцийи.

8. По найденным функциям истроим функциии, руководствуясь формулами (3.1).