§ 7. Структура искомых аналитических функций в бесконечной многосвязной области.

Под бесконечной многосвязной областью подразумевается плоскость, из которой удалены конечные части, ограниченные простыми замкнутыми контурами, то есть плоскость с отверстиями. Граница такой области состоит из замкнутых контуров ,, …,, которые считаются по-прежнему кусочно-гладкими без точек самопересечения.

Формулы (6.7), определяющие структуру функций ив многосвязной области остаются справедливыми для любой конечной части рассматриваемой бесконечной многосвязной области. Изучим поведение функцийив окрестности бесконечно удаленной точки. Для этого опишем из точки, как из центра, окружностьнастолько большого радиуса, чтобы все контуры,, …,оказались внутри окружности. Для любой точкивне окружности,, где– фиксированная точка внутри контура. Поэтому в окрестности точки

,

где – однозначная функция вне. Внесем полученное выражение дляв формулы (6.7), придем к следующим представлениям функцийив окрестности точки:

,

. (7.1)

Здесь

,

– координаты главного вектора всех внешних нагрузок, приложенных к границе (граничным контурам ,, …,) области, аи– аналитические однозначные функции в окрестности бесконечно удаленной точки, кроме, быть может, точки

Во многих конкретных задачах предполагается, что в окрестности точки напряжения,,ограничены. Выясним, какими должны быть функциии, чтобы это предположение имело место.

Согласно теореме Лорана функции и, аналитические в окрестности бесконечно удаленной точки, можно представить рядами

, . (7.2)

Воспользуемся теперь формулами Колосова-Мусхелишвили:

,

, (7.3)

считая точку лежащей в той окрестности, в которой имеют место разложения (7.2) функцийи. На основании формул (7.1), (7.2) и (7.3) получаем, что в рассматриваемой окрестности точки

.

Члены в правой части равенства, которые неограниченно возрастают по модулю при , происходят от ряда

.

Следовательно, для того, чтобы сумма осталась ограниченной придолжно быть,

Легко убедиться подобным же образом на основании формулы (7.2) и второй формулы (7.3), что для ограниченности выражения в окрестности точкинеобходимо, чтобыпри. Верно и обратное утверждение: если дляи, то напряжения,,будут ограниченными в окрестности точки.

Из сказанного выше вытекает, что в окрестности точки функциииимеют структуру

,

, (7.4)

где ,– комплексные постоянные, а,– некоторые аналитические внефункции, включая и точку, то есть имеющие в окрестности этой точки разложения вида:

, .

Выясним физический смысл постоянных ив формулах (7.4). для этого перейдем к пределу в формулах (7.3) при, будем иметь

,

.

Из этих формул вытекает, что напряжения ,,стремятся к определенным пределам,,:

, ,. (7.5)

Отсюда следует, что в окрестности бесконечно удаленной точки, то есть вне , распределение напряжений близко к равномерному. Из формул (7.5) получаем следующие выражения для действительных и мнимых частей постоянныхи:

, ,.

Постоянная остается неопределенной. Известно, что напряженное состояние тела на изменится, если функциюзаменить на, где– произвольная действительная постоянная, а– произвольная комплексная постоянная. На основании сказанного, не изменяя напряженного состояния тела, можно положить. Выбором константыможно распорядиться так, чтобы оказалось.

Выясним поведение перемещений ипри, считая по-прежнему напряжения,,ограниченными вне. Для этого воспользуемся формулой Колосова-Мусхелишвили

.

Подставим в правую часть равенства выражение функций ииз (7.4), получим при

.

Учитывая, что , упростим полученную формулу

.

Отсюда видно, что предположение об ограниченности напряжений на бесконечности не означает, что перемещения ибудут ограниченными на бесконечности. Чтобы они оставались ограниченными, должны быть соблюдены следующие условия:

, .

Первая группа условий требует, чтобы главный вектор всех внешних нагрузок, приложенных к границе области, равнялся нулю. Вторая группа условий требует, чтобы на бесконечности напряжения ,,равнялись нулю и, кроме того, чтобы при

.

Тело, занимающее бесконечную область, является математической идеализацией достаточно большого тела конечных размеров. Поэтому нельзя считать парадоксальным то, что в общем случае перемещения не остаются ограниченными на бесконечности в бесконечной области. На практике формулами для бесконечной области можно пользоваться только в той части тела, в которой перемещения достаточно малы.