§ 9. Приведение основных граничных задач теории упругости к задачам теории функции комплексного переменного.

Пусть – область в плоскости комплексного переменного. Условимся граничные точки этой области обозначать буквой, а внутренние по-прежнему буквой. Записьозначает, чтоикоординаты рассматриваемой точки границыобласти. Положение точкина каждом из контуров, составляющих, однозначно определяется дуговой координатой, которая отсчитывается в положительном направлении по данному контуру от некоторой фиксированной его точки. Поэтому любая функция, заданная на, на каждом из контуров представляет собой функцию действительной переменной. Условимся сложную функциюобозначать символом. Интегралы вида

,

взятые по некоторой дуге контура , от точкидо точки, будем обозначать так же через

.

Предположим вначале, что область является конечной и односвязной. Ее граница состоит из одного замкнутого контура, который считаем гладким. Начало декартовой системы координатрасположим во внутренней точке.

Во второй граничной задача плоской теории упругости на заданы перемещения,. Функцииипо физическому смыслу задачи являются непрерывными функциями точкиконтура областиили соответствующей дуговой координаты. Для внутренних точек области

.

Поскольку перемещения иявляются непрерывными функциями точек замкнутой области, то приполучим

на . (9.1)

Под левой частью этого равенства подразумевается предельное значение выражения , когда, оставаясь внутри области, стремится к точкеконтура. Это граничное значение существует, так как функцияточек областинепрерывна.

Во второй граничной задаче требуется найти аналитические функции ив, если известно, что на границеобластивыполняется условие (9.1).

Рассмотрим теперь первую граничную задачу. По физическому смыслу напряжения в являются непрерывными функциями. Будем рассматривать только те граничные задачи, в которых напряжения непрерывны в замкнутой области. Отсюда следует, что задаваемые напряжения необходимо непрерывны на границе области. В предположении, что граница областиявляется гладкой и что напряжения и перемещения непрерывны вдоказана единственность решения граничных задач плоской теории упругости [].

Для вывода граничного условия , которому должны удовлетворять искомые функции и, воспользуемся формулой (4.4), согласно которой

. (9.2)

Здесь интегрирование производится вдоль произвольной гладкой дуги вс начальной точкойи конечной,и– координаты вектора напряженийв точке дуги с дуговой координатой(начало отсчета дуг находится в точке).

В силу непрерывности напряжений в замкнутой области формула (9.2) оказывается справедливой и для дуги, принадлежащей границе области, то есть

, (9.3)

где

. (9.4)

Выражение в левой части формулы (9.3) нужно принимать как граничное значение выражения при стремлениик точкеконтура. Это граничное значение существует вследствие предположения о непрерывности напряжений в

Таким образом, граничное условие, которому удовлетворяют искомые аналитические в функциии, в случае первой граничной задачи плоской теории упругости выражается формулой (9.2). при этом функциииявляются известными действительными функциями точек контура, определяемыми формулой (9.3) (положительное направление обхода контуравыбирается таким, чтобы областьоставалась слева при движении вдоль).

Заметим, что постоянной, фигурирующей в правой части граничного условия (9.2), можно придать любое значение. Действительно, мы знаем, что напряженное состояние тела не изменится, если функции изаменить наи, где– действительная постоянная, аи– комплексные постоянные. При этомзаменится на. Отсюда следует, что путем подходящего выбора одной из постоянныхиможно придать любое значение постоянной, фигурирующей в условии (9.2). Выбором оставшихся постоянных можно распорядится так, чтобы оказалось, например,

или и. (9.5)

Эти дополнительные условия вполне фиксируют искомые функции ипри условии, что зафиксирована постоянная в правой части формулы (9.2).

В случае второй граничной задачи плоской теории упругости граничные условия (9.1) однозначно определяют перемещения всех точек упругого тела, а также напряжения. Но тогда по сказанному в § 5 надлежащим выбором констант и(напомним, что,) можно добиться того, чтобы

или .

Эти дополнительные условия фиксируют искомые функции ипри решении второй граничной задачи.

Рассмотрим теперь случай бесконечной области , ограниченной одним замкнутым гладким контуром(бесконечная плоскость с отверстием). Граничные условия второй и первой задачи сохраняют прежний вид (см. (9.1) и (9.2)). В формуле (9.2) функцияопределяется формулой (9.3) при прежнем условии относительно выбора положительного направления обхода контура(областьпри обходе должна оставаться слева).

Искомые аналитические функции ив случае бесконечной областине являются, вообще говоря, однозначными. На основании результатов § 7 в предположении, что начало координат находится внутри контура, эти функции имеют структуру:

,

.

Здесь ,– однозначные ваналитические функции, включая бесконечно удаленную точку;,– координаты главного вектора внешних усилий, приложенных к границеобласти;и– комплексные постоянные, определяющие распределение напряжений на бесконечности и значение

.

Величины ,должны считаться заданными по условию во второй граничной задаче (в случае первой граничной задачи они могут быть вычислены по заданным нанапряжениям). По условию считаются заданными во второй задаче постоянныеи, а в случае первой задачи – постоянныеи(мнимая часть постояннойне влияет на распределение напряжений).

Рассмотрим в заключение случай многосвязной конечной области , граница которой состоит из нескольких контуров:,, …,,. Искомые функции,, вообще говоря, многозначны в:

,

.

Здесь ,– однозначные аналитические вфункции,– произвольно взятые фиксированные точки внутри контуров,;,– координаты главного вектора внешних нагрузок, приложенных к контуру

В случае первой граничной задачи величины ,известны (их можно вычислить по заданным внешним напряжениям на контурах границы области). В случае второй граничной задачи эти величины заранее не известны и подлежат определению вместе с функциями,.

Граничное условие второй задачи дается формулой (9.1), в которой под нужно понимать совокупность контуров,, …,,границы области. Граничное условие первой задачи на каждом из контуровможно записать так

на ,,

где – некоторые постоянные, а

на .

Здесь – произвольно взятая фиксированная точка на. Положительное направление отсчета дуг насчитается то, которое оставляет областьслева.

Постоянные не известны заранее. Одну из них, например, можно произвольно зафиксировать (выражениеопределяется при заданных напряжениях с точностью до произвольного постоянного слагаемого). остальные постоянные,, …,являются неизвестными и подлежат определению вместе с функциями,.

Искомые функции ,могут быть зафиксированы при помощи дополнительных условий. Считая, что начало координат расположено в области, в случае второй граничной задачи можно положить

или ,

А в случае первой задачи, считая постоянную зафиксированной, можно считать

или ,.

Если внимательно проследить за выводом граничных условий (9.1) и (9.2), то несложно заметить. Что для постановки граничных задач требуется непрерывность вплоть до границы , то есть, выражений

, (9.6)

Без обязательного требования непрерывности напряжений в . Поэтому естественно заменить требование непрерывности напряжений,,вменее ограничительными требованиями непрерывности вплоть до границывторого выражения (9.6). Однако в целях значительного упрощения рассуждений при изложении методов решения граничных задач плоской теории упругости наложим на искомые аналитические вфункцииинесколько более ограничительные условия: функцииидолжны быть непрерывны в замкнутой области. Решение граничной задачи, обладающее этим свойством, будем называтьрегулярным.

Если решение регулярно, то выражения (9.6) непрерывно продолжимы на , так как функцииинепрерывны в. Обратное же, вообще говоря, несправедливо.

В дальнейшем, будем рассматривать лишь регулярные решения. В монографии [] доказаны теоремы единственности для первой и второй граничных задач в предположении, что рассматриваемые решения регулярны.