
- •Министерство образования и науки Украины
- •Тема 1. Формулы колосова-мусхелишвили.
- •§ 1. Основные уравнения плоской теории упругости.
- •§ 2. Функция напряжений.
- •§ 3. Комплексное представление бигармонической функции.
- •§ 4. Комплексные представления напряжений и перемещений (формулы Колосова-Мусхелишвили).
- •§ 5. Степень определенности функций ,,и .
- •§ 6. Структура искомых аналитических функций (случай конечной области).
- •§ 7. Структура искомых аналитических функций в бесконечной многосвязной области.
- •§ 8. Основные граничные задачи плоской теории упругости.
- •§ 9. Приведение основных граничных задач теории упругости к задачам теории функции комплексного переменного.
- •Тема 2. Решение граничных задач при помощи степенных рядов.
- •§ 1. О рядах Фурье в комплексной форме.
- •§ 2. Решение первой граничной задачи для круга.
- •§ 3. Решение первой граничной задачи для плоскости с круглым отверстием.
§ 2. Функция напряжений.
Пусть в области
переменных
и
заданы дифференцируемые функции
и
.
В курсе математического анализа показано,
что условие
для любых
является необходимым и достаточным для
того, чтобы в области
существовала дважды дифференцируемая
функция
такая, что
,
.
Запишем уравнение равновесия (1.3) тела при плоской деформации по иному:
,
,
.
Из первого уравнения
следует, что в области
,
соответствующей упругому телу, существует
такая функция
,
что
,
.
Из второго уравнения
равновесия вытекает, что существует
функция
такая, что
,
.
Сопоставляя
полученные выражения для напряжений
,
приходим к выводу, что
для всех точек
упругого тела. Но тогда по сказанному
в начале параграфа существует такая
четырежды дифференцируемая в
функция
,
что
,
.
Подставим полученные
выражения для функций
и
в формулы для напряжений, получим
,
,
.
(2.1)
Функция
называетсяфункцией
напряжений
или функцией
Эри (1826 г.).
Формулы (2.1) означают, что любое решение
уравнений равновесия плоской теории
упругости может быть выражено через
четырежды дифференцируемую функцию
.
Следовательно, решение любой граничной
задачи плоской теории упругости сводится
к определению соответствующей функции
напряжений.
Покажем, что реальным напряжениям, возникающим в упругом теле при его деформировании, соответствует функция напряжений, удовлетворяющая бигармоническому уравнению
или
.
(2.2)
Здесь
– оператор Лапласа:
.
Действительно,
реальным напряжениям отвечают деформации
,
,
(см. (1.2)), удовлетворяющие условию
совместности деформаций (1.4):
.
Умножив обе части
этого уравнения на
,
получим:
.
Воспользуемся теперь формулами (1.2) закона Гука, будем иметь
.
Заменив напряжения в этом равенстве на их выражения (2.1) через функцию напряжений, придем к уравнению, которому удовлетворяет функция напряжений:
.
После приведения
подобных членов и сокращения на множитель
(в теории упругости доказывается, что
)
получим бигармоническое уравнение
(2.2).
Любому решению
бигармонического уравнения отвечают
реальные напряжения в упругом теле,
которые можно определить при помощи
формул (2.1). Покажем, как найти перемещения
и
точек упругого тела по известной функции
напряжений
.
Заменим в соотношениях
(1.2) закона Гука деформации
,
их выражениями (1.1) через перемещения
и
,
а напряжения
,
,
согласно формулам (2.1), придем к трем
равенствам:
,
,
.
(2.3)
Положим
.
Функция
является гармонической в области
,
занятой телом, так как
.
Поэтому можно написать:
,
.
Преобразуем теперь равенства (2.3) при помощи последних формул, получим:
,
,
.
(2.4)
Пусть
– гармоническая функция, сопряженная
гармонической функции
,
то есть
,
.
Сопряженные
гармонические функции
и
определяют
в области
,
занятой упругим телом, аналитическую
функцию
комплексной переменной
.
Введем в области
новую аналитическую функцию
,
которая связана с функцией
следующим образом:
.
Из этого равенства с учетом того, что
,
вытекают два равенства
,
.
Функции
и
как действительная мнимая части
аналитической функции
удовлетворяют в области
условиям Коши-Римана:
,
.
(2.5)
Следователь, можно написать
,
.
В первой и второй
формулах (2.4) заменим функцию
соответственно равными ей функциями
и
,
получим тогда
,
,
.
Отсюда после
интегрирования первого равенства по
,
а второго по переменной
,
будем иметь:
,
,
.
Здесь
и
произвольные функции.
Подставим полученные
выражения для перемещений
и
в третье соотношение, получим
.
Отсюда, учитывая
согласно (2.5)
,
приходим к следующему равенству
.
Это означает, что
и
являются противоположными константами,
то есть
,
,
где
– произвольная постоянная. Очевидно,
,
,
где
,
– произвольные постоянные. Таким
образом, оказывается, что
,
.
Последним слагаемым
в формулах для
и
отвечают нулевые значения деформаций
,
,
.
Это означает, что последние слагаемые
соответствуют перемещениям тела без
деформаций, то есть перемещениям его
как твердого тела (поворот, сдвиг). Если
их отбросить, тогда по известной функции
напряжений
перемещения
и
упругого тела можно определить при
помощи следующих формул:
,
.
(2.6)
Опишем порядок
определения перемещений
и
упругого тела по известной функции
напряжений
.
1. Вычисляем
производные
,
,
,
.
2. Строим вспомогательную гармоническую функцию
.
3. Определяем
гармоническую функцию
,
сопряженную функции
,
используя соотношения
,
.
4. Определяем
гармонические функции
и
из соотношений
,
,
,
.
5. Подставляем
найденные
,
,
и
в формулы (2.6) и определяем искомые
перемещения
и
.
Пример.
Определить перемещения в упругом теле
,
если
.
Решение. Вычисляем производные
,
,
,
.
Находим вспомогательную
функцию
:
.
Определяем
вспомогательную гармоническую функцию
,
используя условия
,
,
тогда
.
Так как требуется
лишь одна функция
,
сопряженная
,
то полагаем
.
Находим функции
и
,
удовлетворяющие условиям
,
,
,
.
Считаем
,
.
Вычисляем по формуле (2.6) перемещения в упругом теле
,
.
Определим по формулам (2.1) также напряжения в теле
,
,
.