§ 2. Функция напряжений.

Пусть в области переменных изаданы дифференцируемые функциии. В курсе математического анализа показано, что условиедля любыхявляется необходимым и достаточным для того, чтобы в области существовала дважды дифференцируемая функция такая, что

, .

Запишем уравнение равновесия (1.3) тела при плоской деформации по иному:

, ,.

Из первого уравнения следует, что в области , соответствующей упругому телу, существует такая функция , что

, .

Из второго уравнения равновесия вытекает, что существует функция такая, что

, .

Сопоставляя полученные выражения для напряжений , приходим к выводу, что

для всех точек упругого тела. Но тогда по сказанному в начале параграфа существует такая четырежды дифференцируемая в функция , что

, .

Подставим полученные выражения для функций ив формулы для напряжений, получим

, ,. (2.1)

Функция называетсяфункцией напряжений или функцией Эри (1826 г.). Формулы (2.1) означают, что любое решение уравнений равновесия плоской теории упругости может быть выражено через четырежды дифференцируемую функцию . Следовательно, решение любой граничной задачи плоской теории упругости сводится к определению соответствующей функции напряжений.

Покажем, что реальным напряжениям, возникающим в упругом теле при его деформировании, соответствует функция напряжений, удовлетворяющая бигармоническому уравнению

или . (2.2)

Здесь – оператор Лапласа:

.

Действительно, реальным напряжениям отвечают деформации ,, (см. (1.2)), удовлетворяющие условию совместности деформаций (1.4):

.

Умножив обе части этого уравнения на , получим:

.

Воспользуемся теперь формулами (1.2) закона Гука, будем иметь

.

Заменив напряжения в этом равенстве на их выражения (2.1) через функцию напряжений, придем к уравнению, которому удовлетворяет функция напряжений:

.

После приведения подобных членов и сокращения на множитель (в теории упругости доказывается, что) получим бигармоническое уравнение (2.2).

Любому решению бигармонического уравнения отвечают реальные напряжения в упругом теле, которые можно определить при помощи формул (2.1). Покажем, как найти перемещения иточек упругого тела по известной функции напряжений.

Заменим в соотношениях (1.2) закона Гука деформации , их выражениями (1.1) через перемещения и, а напряжения , , согласно формулам (2.1), придем к трем равенствам:

, ,

. (2.3)

Положим . Функцияявляется гармонической в области, занятой телом, так как. Поэтому можно написать:

, .

Преобразуем теперь равенства (2.3) при помощи последних формул, получим:

, ,

. (2.4)

Пусть – гармоническая функция, сопряженная гармонической функции, то есть

, .

Сопряженные гармонические функции иопределяют в области, занятой упругим телом, аналитическую функциюкомплексной переменной. Введем в областиновую аналитическую функцию, которая связана с функциейследующим образом:. Из этого равенства с учетом того, что

,

вытекают два равенства

, .

Функции икак действительная мнимая части аналитической функцииудовлетворяют в областиусловиям Коши-Римана:

, . (2.5)

Следователь, можно написать

, .

В первой и второй формулах (2.4) заменим функцию соответственно равными ей функциямии, получим тогда

, ,

.

Отсюда после интегрирования первого равенства по , а второго по переменной, будем иметь:

,

,

.

Здесь ипроизвольные функции.

Подставим полученные выражения для перемещений ив третье соотношение, получим

.

Отсюда, учитывая согласно (2.5) , приходим к следующему равенству. Это означает, чтои являются противоположными константами, то есть ,, где – произвольная постоянная. Очевидно,

, ,

где ,– произвольные постоянные. Таким образом, оказывается, что

,

.

Последним слагаемым в формулах для иотвечают нулевые значения деформаций,, . Это означает, что последние слагаемые соответствуют перемещениям тела без деформаций, то есть перемещениям его как твердого тела (поворот, сдвиг). Если их отбросить, тогда по известной функции напряжений перемещенияиупругого тела можно определить при помощи следующих формул:

,

. (2.6)

Опишем порядок определения перемещений иупругого тела по известной функции напряжений.

1. Вычисляем производные ,,,.

2. Строим вспомогательную гармоническую функцию

.

3. Определяем гармоническую функцию , сопряженную функции, используя соотношения

, .

4. Определяем гармонические функции ииз соотношений

, ,,.

5. Подставляем найденные ,,ив формулы (2.6) и определяем искомые перемещенияи.

Пример. Определить перемещения в упругом теле , если.

Решение. Вычисляем производные

, ,,.

Находим вспомогательную функцию :

.

Определяем вспомогательную гармоническую функцию , используя условия

, , тогда.

Так как требуется лишь одна функция , сопряженная, то полагаем.

Находим функции и, удовлетворяющие условиям

, ,,.

Считаем ,.

Вычисляем по формуле (2.6) перемещения в упругом теле

, .

Определим по формулам (2.1) также напряжения в теле

, ,.