§ 5. Степень определенности функций ,,и .

Предположим, что напряжения ,,в упругом телеизвестны. Эти напряжения выражаются через две аналитические вфункцииисогласно формулам (4.2) и (4.3). Возникает вопрос: являются ли указанные функции единственными для данного напряженного состояния тела?

Предположим, что кроме совокупности аналитических функций ,,,, существует другая совокупность аналитических функций,,и, которой отвечают такие же напряжения в теле, как и первой совокупности аналитических функций. Тогда

,

,

, . (5.1)

Из этих равенств видно, что аналитические функции иимеют одинаковые действительные части. Отсюда следует, что разностьесть комплексная константа вида, где– действительной число. Действительно, пусть, а. Согласно условиям Коши-Римана имеем

, .

Частные производные функций ипо переменнойодинаковы. Одинаковы и частные производные этих функций по переменой. Следовательно,и, потому,. Из последнего равенства вытекает, что первообразные функцийиотличаются на слагаемое вида, где– произвольная комплексная постоянная, то есть

.

Поскольку , то, но тогда из (5.1) следует, что в области, а.

Таким образом, заданному напряженному состоянию тела отвечает не единственный набор функций ,,и, а класс наборов, при этом два различных набора связаны соотношениями

, ,

, . (5.2)

Здесь, – действительная постоянная,и– комплексные постоянные.

Выясним теперь, как различаются наборы функций ,,, , отвечающие заданным напряжениям,,и перемещениямив теле, то есть отвечающие заданному напряженно-деформированному состоянию тела. Пусть кроме функций,,, , которым соответствуют заданные в теле напряжения и перемещения, существуют еще функции ,,,, которым отвечают те же напряжения и перемещения в теле. Тогда в областидолжны выполняться равенства (5.1) и равенства

. (5.3)

Как было установлено выше, из равенств (5.1) вытекают соотношения (5.2) между рассматриваемыми двумя наборами функций. Равенства (5.3) накладывают дополнительные ограничения на выбор постоянных ,и, а именно

.

Учитывая, что в левой части тождества находится многочлен первой степени относительно переменной , приходим к выводу:

, . (5.4)

Следовательно, два каких-либо набора функций, отвечающих одному и тому же напряженно-деформированному состоянию упругого тела связаны такими соотношениями

, ,,,

причем комплексные постоянные ине являются произвольными, а удовлетворяют условию (5.4).

произвольными постоянными, с точностью до которых определяются искомые функции ,,,, можно всегда распорядиться так, чтобы эти функции приняли наиболее простой вид.

§ 6. Структура искомых аналитических функций (случай конечной области).

По физическому смыслу напряжения и перемещения в упругом теле являются однозначными функциями независимо от того, является ли область , занятая телом, односвязной или многосвязной. Этого нельзя сказать об искомых аналитических вфункциях,,, .

Пусть областьограничена конечным числом замкнутых контуров,, …,,, не имеющих общих точек. Пусть контурохватывает все остальные. Любой контур считаем гладким или кусочно-гладким. На каждом из контуров установим положительное направление обхода области: при движении по контурув положительном направлении областьостается слева.

Рассмотрим одну из формул Колосова-Мусхелишвили:

.

По физическому смыслу напряжения иявляются однозначными функциями в области. Следовательно, действительная часть аналитической функциитакже является однозначной функцией точек области. Мнимая же частьв общем случае может оказаться многозначной функцией. Это означает, что при обходе одного или нескольких контуров,, …,значение функции может изменяться и не совпадать с исходным.

Пусть при обходе контура функцияполучает приращение, где– действительная постоянная. введем вместоболее удобную для последующего постоянную:

, .

Рассмотрим вспомогательную функцию в

, (6.1)

где ,, …,– некоторые фиксированные точки комплексной плоскости, выбранные внутри контуров,, …,. Учитывая формулу

,

заключаем, что при однократном обходе контура против часовой стрелки по любой замкнутой кривой функцияполучит приращение. Остальные члены под знаком суммы в формуле (6.1) приращения не получат. Это означает, что функцияоказывается я однозначной в области. Таким образом, искомая функцияимеет такую структуру:

, (6.2)

где – однозначная ваналитическая функция.

Рассмотрим функцию . Известно, что эта функция связана с функциейтаким соотношением

,

где – произвольная точка области, а– некоторая фиксированная точка той же области. Принимая во внимание формулу (6.2), получаем:

.

Но интеграл

представляет собой функцию комплексного переменного в многосвязной области, которая при обходе вокруг одно из контуровможет получить приращение, где– в общем случае комплексная постоянная (например,). Поэтому, аналогично предыдущему можно написать

,

где – однозначная вфункция. Внесем полученное выражение для интеграла в последнюю формулу для. после очевидных преобразований приведем выражение для функциик виду:

. (6.3)

Установим теперь характер многозначности функции и. Для этого воспользуемся следующей формулой Колосова-Мусхелишвили

.

Слева в этом равенстве стоит однозначная функция точек области , следовательно, функциятакже однозначна в. Из формулы (6.2) вытекает однозначность функции. Функцияоднозначна вкак произведение двух однозначных функций. Следовательно, функцияявляется однозначной в многосвязной области. Функция

может оказаться многозначной, так при обходе вокруг контура интеграл может получить в общем случае ненулевое приращение. Таким образом, в общем случае функцияимеет такую структуру в:

, (6.4)

где – однозначная вфункция.

Учтем теперь то обстоятельство, что перемещения ипо физическому смыслу являются однозначными функциями точек области. Но тогда однозначна ви функция. Воспользуемся третьей формулой Колосова-Мусхелишвили:

.

Отправляясь от формул (6.2)-(6.4), выразим приращение правой части последнего равенства через постоянные ,ипри однократном обходе контура(приращение левой части равно нулю)

.

Это равенство выполняется для произвольно взятого , поэтому коэффициенты многочлена первой степени относительно переменной(в правой части равенства) должны быть равны нулю, то есть

, .

Отсюда вытекает, что

, . (6.5)

В § 4 указывалось, что координаты иглавного вектора нагрузки, которая приложена к дугесо стороны отброшенной части тела, можно вычислить при помощи формулы:

.

Возьмем в качестве дуги какой-либо контур, охватывающий контури не охватывающий других граничных контуров области. При обходе этого контура по ходу часовой стрелки (по ходу часовой стрелки совершается обход и контурав положительном направлении) получим

. (6.6)

Правая часть этого равенства является постоянной величиной и, поэтому, не зависит от выбора контура , который можно взять как угодно близким к граничному контуру. Это дает основание считатьикоординатами главного вектора внешней нагрузки, приложенного к контуру.

На равенства (6.5) и (6.6) можно смотреть как на систему уравнений относительно неизвестных постоянных ,и. Из этой системы находим

, ,.

Подставим полученные значения постоянных ,,в формулы (6.3) и (6.4), получим окончательное выражение для функцийи:

,

. (6.7)

Здесь ,, … ,– произвольно выбранные точки, расположенные внутри контуров,, … ,;,– однозначные аналитические в многосвязной областифункции;,– координаты главного вектора внешней нагрузки, приложенной к контуру.

Таким образом, из однозначности напряжений и перемещений в многосвязной области не следует однозначность всех искомых функций,,, . Функциииявляются однозначными лишь в том случае, когда все главные векторы внешних нагрузок, приложенных к внутренним контурам областиравны нулю.

Заметим в заключение, что в соответствии с установленным в предыдущем параграфе фактом, напряжения в упругом теле не изменяются, если заменить функцию на функцию, ана, где– действительная постоянная, аи– комплексные. Чтобы остались неизменными при этом и перемещения в теле, постоянныеидолжны быть связаны соотношением.