26

Министерство образования и науки Украины

Запорожский национальный университет

А.К. Приварников

Методическое пособие по курсу

«ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ УПРУГОСТИ»

Для студентов-магистров специальности «математика» математического факультетов

ЗАПОРОЖЬЕ

ЗНУ 2008

§ 0. Основные определения и положения теории упругости.

Тело называется упругим, если после снятия приложенных к нему нагрузок оно восстанавливает свою первоначальную форму.

Пусть – упругое тело. Введем в пространстве правую декартовую систему координат с осями,,. Пусть– некоторая точка тела. После деформации тела точказаймет положение. Векторназывается вектором перемещения точки, а его координатыназываются перемещениями точкив направлении осей,,. Перемещения,,являются функциями переменных,,, эти функции определены в области.

Пусть точка– точка деформированного тела. Отложим из этой точки единичный вектори проведем через точкусечение, перпендикулярное вектору. Отбросив ту часть тела, внутрь которой направлен вектор. действие отброшенной части тела на оставшуюся заменим соответствующими силами.

Выделим малую окрестность , содержащую точку. Ее площадь обозначим через. Пусть– главный вектор сил, приложенных к окрестности. Векторназываетсясредним напряжением в окрестности , аназываетсянапряжением в точке тела по сечению с вектором нормали .

Проекция вектора напряжения на вектор нормали называетсянормальным напряжением в точке по сечению с нормалью . Проекция векторана секущую плоскость называется касательным напряжением.

Проведем через точкусечение перпендикулярно вектору(направляющий вектор оси). Вектор напряжения в точкебудем обозначать.

Проекции вектора на оси,,обозначаются , , соответственно и называются нормальными напряжениями () и касательными напряжениями (,). Так как координаты вектора равны проекциям этого вектора на оси ,,, то.

Поведем теперь через точку сечение, перпендикулярное оси, и спроектируем вектор на оси y, ,, получим– нормальное напряжение,и– касательные напряжения. Ясно, что.

Если провести через точку сечение перпендикулярно осии спроектировать векторна оси,,, получим, где,– касательные напряжения,– нормальное напряжение.

Матрица

называется тензором напряжений в точке .

В теории упругости (ТУ) доказано, что координаты вектора можно вычислить по известным координатам вектора при помощи следующих формул:

,

,

.

Пример. Тензор напряжений в точке . Вычислить длину вектора напряжения в точкепо сечению, которое перпендикулярно биссектрисе координатного угла.

Решение. Очевидно, что ,,. Координаты вектора найдем по формуле:

.

Тогда

.

Найдем длину вектора :(Н/м²).

Предположим, что известны перемещения ,,во всех точках тела. Тогда можно вычислить следующие величины:

, ,,,

, . (0.1)

Эти величины называются деформациями, а матрица называетсятензором деформаций. Тензор деформаций является симметричной матрицей. Симметричной матрицей является и тензор напряжений.

Если считать известными деформации в теле и пытаться определить соответствующие им перемещения, то для решения этой задачи нужно решить шесть уравнений (0.1) относительно трех неизвестных ,,. Это будет возможным, если система уравнений окажется совместной.Условия совместноcти деформаций, то есть условия совместности системы (0.1) имеют вид:

, ,

, ,

, . (0.2)

Если к упругому телу приложить нагрузку, то оно деформируется: в нем возникнут напряжения, деформации и перемещения. Это означает, что должнасуществовать связь между деформациями и напряжениями. Для однородного, изотропного, упругого тела эта связь определяется законом Гука:

, ,

, ,

, , (0.3)

где – модуль Юнга,– коэффициент Пуассона,– модуль сдвига.

Коэффициент Пуассона не превосходит 0,5 и является положительным. Для резины , для стали, меди, алюминия, для пробки. Приведем значение модуля Юнга для некоторых материалов. Для стали № 3кг/см²Н/м², для меди кг/см²Н/м², для алюминия кг/см²Н/м².

Для уяснения сути понятия «модуль Юнга» приведем следующую формулу:

–удлинение стержня при деформации.

Здесь – площадь поперечного сечения стержня;– удлинение стержня при деформации;– первоначальная длина стержня;– модуль Юнга материала стержня.

В задачах ТУ искомыми величинами считаются шесть компонент тензора напряжений , шесть компонент тензора деформаций , три компоненты вектора смещения в каждой точке. Всего неизвестных величин 15. для их определения используютполную систему уравнений ТУ, которая состоит из следующих систем уравнений:

1. Уравнения равновесия:

,

,

.

2. Закон Гука (0.3).

3. Соотношения Коши (0.1).

4. Условия совместности деформаций (0.2).

Любая задача теории упругости заключается в отыскании такого частного решения полной системы уравнений ТУ, которая удовлетворяет граничным условиям на поверхности тела. Например, если в каждой точке поверхности тела известны величины ,,, то задача об определении напряжений, перемещений и деформаций в теле называетсявторой граничной задачей ТУ. Если во всех точках поверхности тела известны нормальные и касательные напряжения и требуется найти 15 указанных неизвестных величин, то такая задача ТУ считается первой граничной задачей ТУ. Если на части поверхности тела известны напряжения, а на оставшейся части – перемещения, то граничную задачу ТУ называют смешанной граничной задачей ТУ.