Тест для самоконтролю

Нерівність Коші – Буняковського
А.	Б.	В.	Г.
Знайдіть координати вектора у базисі
А.	Б.	В.	Г.
Скалярний добуток двох векторів визначається за формулою:
А.	Б.	В.	Г.
Знайдіть скалярний добуток векторів і
А. 5	Б. 8	В. 9	Г. 7
Обчисліть скалярний добуток векторів ,за формулою
А.	Б.	В.	Г.
Кут між двома векторами визначається за формулою:
А.	Б.	В.	Г.
Знайдіть кут між векторами і
А.	Б.	В.	Г.
Вектор називається нормованим, якщо його довжина дорівнює:
А. 3	Б. 1	В. 2	Г.
Знайдіть нормований вектор ортогональний до векторів ,,
А.	Б.	В.	Г.
Нормувати можна:
А. будь-який вектор	Б. лише нульовий вектор	В. будь-який ненульовий вектор	Г. вектор взагалі не можна нормувати
Знайдіть ортогональну нормовану фундаментальну систему розв’язків системи рівнянь
А.	Б.	В.	Г.
Знайдіть , де, якщо.
А.	Б.	В.	Г.
Визначте косинус внутрішнього кута трикутника, заданого координатами вершин:,,.
А.	Б.	В.	Г.
Ортогональною проекцією вектору евклідового простору, натягнутого на систему векторів,,буде:
А.	Б.	В.	Г.
Всякий евклідовий простір можна вважати нормованим, якщо кожному вектору простору поставити у відповідність число:
А.	Б.	В.	Г.

Відповіді: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 11. 12. 13. 14. 15.

Завдання для самостійного розв’язування

1. З'ясуйте, чи є дійсними лінійними просторами наступні множини зі звичайними операціями додавання та множення:

1. – множина всіх натуральних чисел;

2. – множина всіх цілих чисел;

3. – множина всіх раціональних чисел;

4. – множина всіх дійсних чисел;

5. – множина всіх комплексних чисел;

6. – множина всіх додатних дійсних чисел.

2. З'ясуйте, чи є дійсними лінійними просторами наступні множини вільних векторів зі звичайними операціями додавання та множення на число векторів (за правилами векторної алгебри):

1. – множина всіх векторів, паралельних заданій прямій;

2. – множина всіх векторів, паралельних заданій площині;

3. – множина всіх векторів простору;

4. множина всіх векторів, не паралельних даній прямій.

3. З'ясуйте, чи є дійсними лінійними просторами над полем множини матриць зі звичайними операціями додавання та множення на елемент поля(у випадку позитивної відповіді вкажіть який-небудь базис):

1. – множина всіх прямокутних- матриць з дійсними елементами;

2. – множина всіх- матриць з дійсними елементами;

3. – множина всіх матриць другого порядку з комплексними елементами;

4. ; 5.; 6..

4. З'ясуйте, чи є дійсними лінійними просторами наступні множини:

1. множина всіх многочленів степеня, не вище;

2. множина всіх многочленів степеня ;

3. множина всіх многочленів, що задовольняють умовам:

а) ; б); в); г).

4. множина всіх неперервних нафункцій;

5. множина всіх розривних на функцій;

6. множина всіх функцій, інтегрованих на функцій.

5. Доведіть, що система векторів, що вміщує нульовий вектор, лінійно залежна.

6. Доведіть, що система векторів, два вектори якої розрізняються лише скалярним множником, лінійно залежна.

7. Доведіть, що довільна підсистема лінійно залежної системи, лінійно залежна.

8. Чи вірно, що якщо – лінійно залежні вектори, то ця властивість притаманна векторам?

9. Якій умові повинно відповідати число , щоб вектори,,були лінійно залежні?

10. Якій умові повинні відповідати числа , щоб вектори,,просторубули лінійно залежні?

11. Доведіть, що системи векторів дійсного простору лінійно залежні, знайдіть їх нетривіальну нульову лінійну комбінацію, якщо:

1. ,,;

2. ,,;

3. ,,;

4. ,,;

5. ,,,,.

12. З’ясуйте, чи є дані вектори (функції) лінійно залежними. У випадку позитивної відповіді знайдіть їх нетривіальну нульову лінійну комбінацію:

    1. ;	4. ;	7. ;
    2. ;	5. ;	8. ;
    3. ;	6. ;	9. .

13. В базисі дійсного лінійного просторузнайдіть координати вектора.

14. В базисі ,,дійсного лінійного просторузнайдіть координати векторів,.

15. Перевірте, що в просторі многочленів надстепеня не вище 4 дана система утворює базис та знайдіть координати векторав кожному з цих базисів:

1. ; 2.;

3. .

16. Перевірте, чи утворює кожна з наступних систем рядків базис у просторі . У випадку позитивної відповіді знайдіть координати рядкав кожному з базисів:

1. ;

2. ;

3. .

17. Запишіть матрицю переходу від базису до базисута знайдіть координати векторівтав цих базисах:

1. ;;

2. ;;

3. ,,,,,

, ,,,;

4. ;;

5. ;

.

18. Матриця є матрицею переходу від першого базисуу- вимірному лінійному просторі до другого базису, а матриця– матриця переходу від другого базису до третього. Знайдіть матрицю переходу: 1. від першого базису до третього; 2. від другого базису до першого.

19. З’ясуйте, чи є наступні системи векторів лінійно залежними:

1. ; 2.;

3. ;

4. ;

5. .

20. Знайдіть всі значення , при яких векторлінійно виражається через:

1. ;

2. .

21. Знайдіть ранг та який-небудь базис системи векторів (відповідного лінійного простору):

1. ;

2. ;

3. ;

4.

;

5. ,,;

6. .

22. Доведіть, що вектори утворюють базис у комплексному- вимірному арифметичному просторі та знайдіть координати векторау цьому базисі:

1. ;

2.

.

23. Доведіть, що кожна з двох систем векторів тає базисом у комплексному- вимірному арифметичному просторі та знайдіть матрицю переходу від першого базису до другого, якщо:

1. ;

2.

.

24. Доповніть до базису відповідного простору систему векторів:

1. ; 2.;

3. ; 4.;

5. ;

6. .

25. Укажіть, які з даних множин є підпросторами лінійній дійсних просторів. Знайдіть один з базисів та розмірність кожного з підпросторів:

1. множина всіх вільних векторів, ортогональних даній площині;

2. множина всіх вільних векторів, паралельних даній площині;

3. множина всіх вільних векторів, ортогональних даній прямій;

4. множина всіх векторів - вимірного векторного простору, координати яких – цілі числа;

5. ; 6.;

7. множина дійсних симетричних матриць порядку ;

8. множина всіх дійсних кососиметричний матриць порядку .

26. Доведіть, що наступні системи векторів утворюють лінійні підпростори, знайдіть їх базис та розмірність:

1. всі - вимірні вектори, у яких перша та остання координати рівні між собою;

2. всі - вимірні вектори, у яких координати з парними номерами дорівнюють нулю;

3. всі - вимірні вектори, у яких координати з парними номерами рівні між собою.

27. Знайдіть базис та розмірність лінійної оболонки наступних систем векторів (відповідного лінійного простору):

1. ;

2.

;

3. ;

4. .

28. Визначте розмірність та базис суми та перетину підпросторів та, якщо:

1. ;

2. ;

3.;

4.

;

5. ,

.

29. Визначте розмірність та базис суми та перетину лінійних підпросторів такомплексного- вимірного арифметичного простору, якщо:

1.

;

2. ,

.

30. Нехай – довільні вектори- вимірного евклідового простору. Чи можна визначити їх скалярний добуток формулою?

31. Нехай – довільні вектори двовимірного евклідового простору. Чи можна визначити їх скалярний добуток формулою?

32. Нехай – довільні вектори евклідового простору. Визначте, чи можуть наступні функції задавати скалярний добуток у цьому просторі. Якщо ні, то укажіть, які властивості не виконуються.

1. ; 2.;

3. ; 4., а), б);

5. ;

6. ;

7. ;

8. .

33. Нехай – довільні вектори унітарного простору. Визначте, чи можуть наступні функції задавати скалярний добуток у цьому просторі. Якщо ні, то укажіть, які властивості не виконуються.

1. ; 2.,;

3. ; 4.;

5. ; 6.;

7. ;

8. .

34. Доведіть, що зі властивостей скалярного добутку випливають наступні властивості:

1. евклідового або унітарного простору;

2. евклідового простору,;

3. унітарного простору,;

4. евклідового або унітарного простору;

5. евклідового або унітарного простору;

35. Нехай – довільні вектори арифметичного простору. Доведіть, що скалярний добуток у ньому можна визначити так:

1. ;

2. .

36. Доведіть, що якщо в евклідовому просторі вектор ортогональний векторам , то він ортогональний і довільній їх лінійній комбінації,.

37. В лінійному просторі дійсних квадратних матриць порядку задано функцію. Визначте, чи притаманні функції всі властивості операції евклідового скалярного добутку, якщо:

1. ; 2.; 3.;

4. .

38. Знайдіть скалярний добуток векторів ів ортонормованому базисі:

1. ; 2..

39. Визначте кут між векторами ів ортонормованому базисі:

1. ; 2.;

3. .

40. Нехай . Знайдіть довжини цих векторів та скалярні добутки:.

41. Нормуйте вектор .

42. Чи можна задати скалярний добуток формулою . У випадку позитивної відповіді знайдіть довжини векторівта , якщо, ,.

43. Чи можна задати скалярний добуток формулою . У випадку позитивної відповіді знайдіть довжини векторівта , якщо , ,.

44. Визначте косинуси кутів між прямою та осями координат- вимірного евклідового простору.

45. Визначте косинуси внутрішніх кутів трикутника АВС, заданого координатами вершин: .

46. Знайдіть довжини діагоналей n-вимірного куба зі стороною .

47. Знайдіть число діагоналей n-вимірного куба, ортогональних до даної діагоналі.

48. У дійсному або комплексному арифметичному просторі скалярний добуток задано як функцію компонент тавекторівта. Обчисліть матриці Грама стандартного базису і базису, складеного з даних векторів. Знайдіть вираз скалярного добутку векторівтачерез їх компоненти в базисі.

1. ,;

2. ;;

3. ,

;

4. ,

.

49. В евклідовому просторі многочленів степеня, не вище , зі скалярним добуткомобчисліть матрицю Грама базисута випишіть вираз скалярного добуткучерез координати векторіву цьому базисі, якщо: 1.; 2..

50. Знайдіть нормований вектор, ортогональний до векторів ,,.

51. Побудуйте ортонормований базис простору, узявши за два вектори цього базису вектори і.

52. Переконайтеся, що вектори ортогональні та доповніть системудо ортогонального базису, якщо:

1. ; 2.;

3. .

53. Використовуючи процес ортогоналізації, знайдіть ортогональний базис простору (евклідового або унітарного), породженого векторами:

1. ,,;

2. ,,;

3. ,,;

4. ;

5. .

54. Виходячи зі системи векторів арифметичного простору з заданим скалярним добутком, за допомогою процесу ортогоналізації побудуйте ортонормований базис, якщо:

1. , скалярний добуток:

а) ;

б) ;

2. , скалярний добуток

.

55. Нехай – арифметичний простір, у якому скалярний добуток визначений формулою:, де– довільні вектори з. Застосовуючи процес ортогоналізації, знайдіть ортонормований базис простору, узявши за вихідний базис:

1. ,,,;

2. ,,,.

56. Застосовуючи процес ортогоналізації, знайдіть ортонормований базис простору:

1. многочленів надне вище другого степеня, узявши за вихідний базис, якщо скалярний добуток задано формулою:

а) ; б), де;

2. , узявши за вихідний базис, якщо скалярний добуток задано формулою;

3. , узявши за вихідний базис, якщо скалярний добуток задано формулою.

57. Знайдіть ортогональний базис ортогонального доповнення , якщо=і:

1. ,,;

2. ,,.

58. Дано матрицю

.

Побудуйте ще два її рядки, ортогональні між собою та з першими трьома рядками.

59. Знайдіть ортогональну й нормовану фундаментальну систему розв’язків для системи рівнянь

60. Розкладіть вектор на суму двох векторів, один з яких лежить у просторі, натягнутому на вектори, а другий ортогональний до цього простору (ортогональна проекція і ортогональна складова вектора), якщо:

1. ;

2. .

61. Знайдіть ортогональну проекцію і ортогональну складовувекторана лінійний простір,.

62. Знайдіть найменший кут між векторами простору Р, натягнутого на вектори , і вектором, якщо:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .