5 Оператори

В теорії лінійних просторів важливу роль відіграють лінійні оператори, які ще називають лінійними «перетвореннями» простору.

У векторному просторі задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному векторуставиться у відповідність деякий вектор. Векторназивають образом вектора, а– прообразом вектора.

Отже, оператор у векторному просторі – це функція, множиною визначення і множиною значень якої є простір.

Оператори позначають буквами .

Образ вектора при дії операторапозначають символом.

Оператори в просторі називають ще операторами простору, перетвореннями простору, відображенням просторув себе.

Оператор у векторному просторіназиваютьлінійним, якщо він задовольняє наступним умовам:

1. ;

2. .

Із означення лінійного оператора випливають наступні властивості:

1. Будь-який лінійний оператор в просторізалишає нерухомим нульовий векторцього простору, тобто.

2. Будь-який лінійний оператор в просторіпротилежному векторудовільного вектораставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора.

3. Лінійний оператор в просторібудь-якій лінійній комбінації довільно вибраних векторівпросторуставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими ж коефіцієнтами) образів цих векторів.

З’ясуємо, якими елементами можна задати лінійний оператор в просторі .

Задати лінійний оператор в просторі– це означає задати образи всіх векторів кожного базису цього простору.

Якщо відомі образи всіх векторів одного з базисів простору при дії оператора, то можна знайти образи всіх векторів простору при дії цього оператора.

Теорема 1. Будь-який оператор в просторіоднозначно визначається заданням образіввсіх векторів будь-якого фіксованого базисуцього простору.

Доведення: Нехай – один з базисів простору, тодіможна представити, де.

Подіємо на вектор лінійним оператором:

.

Нехай вектори – образи векторів базису при дії лінійного оператора, тоді

.

Отже, образ вектора визначається і до того ж однозначно.

Теорема 2. Якою б не була впорядкована система з векторівпросторуіснує, і до того ж тільки один, лінійний операторпросторутакий, що вектори цієї системи будуть образами векторів базисупри дії цього оператора.

Доведення: Довільний вектор в базисімає вигляд. Векторупоставимо у відповідність вектор. Оскільки векторвиражається через вектори базису однозначно, то йому у відповідність ставиться тільки один вектор.

Отже, задана таким чином відповідність є оператором в просторі , позначимо його через.

Тоді . Оператор– лінійний.

Дійсно, нехай

, ,

тоді .

Оператор відображає векториу вектори. Дійсно, оскількиа координата векторав базисідорівнює 1, а всі інші його координати дорівнюють нулю, то.

Отже, заданий оператор задовольняє вимогам теореми 2, а за теоремою 1, такий оператор існує тільки один. Теорему доведено.

Нехай – деякий лінійний оператор в,– будь-який базис цього простору. Операторвідображає вектори цього базису в деякі векторикожний з яких одночасно виражається через вектори базису.

Нехай

З коефіцієнтів складаємо матрицю

,

рядками якої є координатні рядки векторів в базисі.

Оскільки координатні рядки векторів визначаються однозначно, то і матрицявизначається операторомоднозначно.

Матрицю називаютьматрицею лінійного оператора в базисі.

Отже в базисі лінійний операторзадається матрицею.

При фіксованому базисі кожному лінійному операторупросторувідповідає певним чином визначена матрицяого порядку – матриця цього лінійного оператора.

І, навпаки, кожна матриця ого порядкує матрицею деякого лінійного оператора просторув базисі.

Дійсно, знаючи матрицю , знайдемо вектори:

За теоремою 2 визначимо лінійний оператор.

В просторі , який векторивідображає відповідно у вектори. Оператор– єдиний, його матрицею в базисіє матриця.

Отже, якщо в лінійному просторі над полемобрано базисі кожному операторупросторупоставлено у відповідність матрицюцього оператора в базисі, то цим буде встановлена взаємно-однозначна відповідність між всіма лінійними операторами просторуі всіма матрицямиого порядку над полем.

З’ясуємо, як знаючи матрицю лінійного оператора і координати векторав базисі, знайти координати векторав цьому ж базисі.

Нехай – матриця операторав базисіі вектор. Тоді.

Але . Тому

Позначаючи координатний стовпець вектора через, а координатний стовпець вектора– символом, одержуємо

,

тобто .

Отже, справедливе твердження:

Координатний стовпець вектора в базисідорівнює добутку матиці лінійного оператора та координатного стовпця векторав цьому базисі.

Матриці є тим аналітичним апаратом, за допомогою якого вивчаються лінійні оператори в скінченновимірних просторах.

Кожний лінійний оператор простору задається в обраному базисі певною матрицею. При зміні базису матриця лінійного оператору також буде змінюватися. Як же пов’язані матриці, які задають один і той же оператор, в різних базисах?

Лема: Нехай і,– матриці над полем. Якщо для будь-якого стовпцяз елементами з поля, то.

Теорема. Якщо лінійний оператор просторузадається в базисіматрицею, то в базисівін задається матрицею, де– матриця переходу від базисудо базису.

Доведення: Нехай і– деякі базиси простору,– матриця переходу від базисудо базисуі– матриці операторав базисахівідповідно. Позначимо символамиікоординатні стовпці довільного векторапросторув базисахі, асимволами і– координатні стовпці векторав цих базисах.

Тоді

, .

Але ,.

Одержуємо

.

;

.

З’ясуємо, що являє собою матриця переходу від базису до базису з точки зору теорії лінійних операторів.

Існує тільки один лінійний оператор , який переводить вектори базисуу відповідні вектори базисутакий, що

Рядками матриці оператору в базисіє координатні рядки векторівв цьому базисі. Але координатні рядки векторівв базисіє рядками і матриці переходувід базисудо базису.

Отже, матриця переходу є матрицею оператора, який переводить базисв базис, обчислена в базисі. Але матриця переходує матрицею операторав базисі.

Дійсно, матрицею оператора в базисіє матриця; матрицею переходу від базисудо базисує також матриця. Тому матрицею операторав базисіє матриця

.

Нехай і– матриціого порядку над полем.

Означення. Матриця називається подібною до матриці, якщо існує така невироджена матрицяого порядкунад полем, що

.

Теорема. На множині всіх матрицього порядку над полемподібність матриць є відношенням еквівалентності.

Доведення: Кожна матриця подібна собі, оскільки(рефлексивність).

Якщо матриця подібна матриці, то матрицяподібна матриці:

,

тобто (симетричність).

Якщо матриця подібна матриці, а матрицяподібна матриці, то матрицяподібна матриці:

.

Оскільки подібність матриць є відношенням еквівалентності, то множина всіх матриць ого порядку над полемрозбивається на класи подібних матриць.

Отже, всі матриці, які задають даний лінійний оператор просторув різних базисах цього простору, подібні між собою.

Якщо матриця задає лінійний операторв базисі, то і будь-яка матрицяподібна матриці:

також задає оператор в деякому базисі, а саме в базисі, пов’язаному з базисомматрицею переходу.

Отже, всі матриці класа подібних матриць і тільки вони задають в різних базисах простору один і той же лінійний оператор цього простору.

Властивості подібних матриць:

1. Подібні матриці мають рівні визначники.

2. Подібні матриці іабо одночасно вироджені, або одночасно невироджені.

Нехай і– деякі лінійні оператори простору.

Означення.

1. Оператор , який кожному векторуставить у відповідність вектор, називається сумою операторіві, позначається. Отже,означає, що.

2. Добутком лінійних операторів іназивається оператор, який визначається за формулою:, позначається.

3. Добутком лінійного оператора на числоназивається оператор, який визначається за формулою:, позначають.

Властивості операцій над лінійними операторами:

1. Сума лінійних операторів іє лінійним оператором.

2. Операція додавання лінійних операторів асоціативна і комутативна.

3. Множина всіх лінійних операторів просторуз визначеною на ній операцією додавання є адитивною абелевою групою.

4. Добуток лінійних операторів іє лінійним оператором.

5. Операція множення операторів асоціативна і пов’язана з операцією додавання дистрибутивними законами.

6. Множина всіх лінійних операторів просторуз визначеними на ній операціями додавання і множення є кільцем.

7. Добуток лінійного оператора на числоє лінійним оператором.

8. Множина всіх лінійних операторів просторує лінійним простором над полем.

Множина з визначеними на ній операціями є прикладом алгебраїчної системи, яка називаєтьсялінійною алгеброю або просто алгеброю. Лінійна алгебра, так само як група, кільце і поле, належить до основних типів алгебраїчних систем.

Означення. Лінійною алгеброю над полем називається множина, на якій визначені операції додавання і множення і операція множення елементів зна елементи з поля, причомувідносно додавання і множення елементів зє кільце, а відносно додавання та множення на елементи з– лінійний простір і, зокрема, множення елементів зі множення на елементи зпов’язані співвідношеннями

Лінійні алгебри інад полемназиваються ізоморфними, якщо між їх елементами можна встановити взаємно однозначну відповідність так, що якщо елементаміалгебривідповідають елементиіалгебри, то сумівідповідає сума, добутку– добутокі добуткувідповідає добуток.

Теорема. Алгебра лінійних операторіввимірного векторного просторунад полемізоморфна алгебріматрицього порядку над полем.

Нехай – деяка підмножинавимірного лінійного просторуі- довільний лінійний оператор цього простору. Операторпереводить кожний векторв деякий вектор, який є образом вектора.

Означення. Сукупність образів всіх векторів множини називається образом множинивідносно оператора, позначають.

Теорема 1. Образ будь-якого лінійного підпростору просторувідносно будь-якого лінійного операторатакож є підпростором простору.

Означення. Сукупність образів усіх векторів просторуназивається областю значень лінійного оператора.

Іноді область значень лінійного оператора називають образом оператораі позначають символом. З теореми 1 випливає, що образ лінійного операторає лінійним підпростором простору.

Означення. Розмірність області значень називають рангом оператораі позначають.

Теорема 2. Ранг будь-якого лінійного оператора простору дорівнює рангу матриці цього оператора у довільно обраному базисі.

Але розмірність підпростору , тобто ранг оператора, дорівнює максимальній кількості лінійно незалежних векторів системи (*), отже – рангу матриці.

Наслідок. Всі подібні між собою матриці мають однакові ранги.

Означення. Ядром лінійного оператора просторуназивається сукупність всіх векторів цього простору, які операторомвідображаються в нульовий вектор.

Ядро лінійного оператора позначається символом .

Розмірність ядра оператора називаєтьсядефектом цього оператора.

Ядро лінійного оператора є підпростором простору .

Теорема 3. Сума рангу і дефекту лінійного оператора просторудорівнює розмірностіцього простору

.

Нехай – лінійний оператор, що діє ввимірному просторі.

Означення. Лінійний оператор просторуназивається не виродженим, якщо його ранг дорівнює; операторназивається виродженим, якщо його ранг менше.

Отже, лінійний оператор не вироджений якщо:

1. область значень оператораспівпадає з простором;

2. дефект оператора дорівнює нулю;

3. ядро оператора складається тільки з нульового вектора.

Теорема 4. Лінійний оператор просторуне вироджений тоді і тільки тоді, коли його матрицяв довільно вибраному базисіпросторуневироджена.

Теорема 5. Не вироджений лінійний оператор просторувзаємно однозначно відображає простірна весь.

Теорема 6. Не вироджений лінійний оператор просторубудь-яку лінійно незалежну систему векторів цього простору переводить в лінійно незалежну систему.

Означення. Лінійний оператор просторуназивається оберненим до лінійного простору, якщо, де– одиничний оператор. Обернений оператор позначають.

Обернений оператор переводить кожний вектор у вектор.

Теорема 7. Для того щоб існував оператор , обернений до оператора, необхідно і достатньо, щоб операторбув невиродженим.

Доведення: Взаємно обернені оператори ізадаються в будь-якому фіксованому базисіпросторувзаємно оберненими матрицямиіі, навпаки, взаємно обернені матриціізадають в цьому базисі взаємно обернені операториі.

Достатність умови. Припустимо, що оператор – невироджений. Тоді в деякому базисі просторувін задається невиродженою матрицею, для якої існує обернена матриця. Ця обернена матриця задає в базисіоператор, обернений до оператора.

Необхідність умови. Нехай для оператора існує обернений оператор. Тоді для матриціоператорав базисііснує обернена матриця. Тому матриця– невироджена та оператор– невироджений.

З теореми випливає ще одне означення невиродженого оператора, а саме: невиродженим лінійним оператором називається лінійний оператор, для якого існує обернений оператор.

Ненульовий вектор називаєтьсявласним вектором оператора, якщо . В цьому випадкуназиваєтьсявласним числом (значенням) оператора .

Запишемо характеристичний многочлен оператора:

.

Теорема. Число буде власним числом операторатоді і тільки тоді, коли.

Алгебраїчною кратністю власного значення називається таке число, при якому характеристичний многочленділиться наі не ділиться на. Іншими словами, це кратність числаяк кореня характеристичного многочлена.Геометрична кратність – це розмірність інваріантного підпростору, тобто кількість лінійно незалежних власних векторів, що відповідають власному значенню.

Нехай лінійний оператор вимірного векторного просторумаєлінійно незалежних власних векторів, тобто в просторііснує базис, який складається з власних векторів оператораз власними значеннями. ТодіВ цьому базисі операторзадається діагональною матрицею:

.

Навпаки, якщо в деякому базисі матрицяоператорадіагональна

,

то , тобто всі вектори цього базису – власні вектори оператора.

Отже, справедлива теорема.

Теорема. Якщо вектори базису є власними векторами лінійного оператора, то в базисіоператорзадається діагональною матрицею. Навпаки, якщо в деякому базисі матриця оператора– діагональна, то всі вектори цього базису є власними векторами оператора.

Виникає питання: чи можна оператор задати в деякому базисі діагональною матрицею, і як, знаючи матрицю операторав деякому базисі, встановити, чи має цей оператор власні вектори, які утворюють базис простору?

Означення. Лінійний оператор ввимірному просторінад полеммає простий спектр, якщо в полііснуєрізних характеристичних коренів цього оператора.

Теорема. Якщо лінійний оператор має простий спектр, то існує базис простору, в якому цей оператор задається діагональною матрицею.

Доведення. За умовою теореми оператор має в полірізних характеристичних коренів, які є власними значеннями оператора, а тому існують власні векторитакі, що. Оскільки власні значення– різні, то вектори– лінійно незалежні, отже утворюють базис простору. В цьому базисі операторзадається діагональною матрицею:

.

Теорему доведено.

Нехай матрицяого порядку над полем. Вважають, що матрицязводиться до діагонального виду, якщо існує діагональна матриця, подібна до матриці.

Теорема. Кожна матриця ого порядку над полем, яка має в цьому полірізних характеристичних коренів, подібна деякій діагональній матриці, тобто зводиться до діагонального виду.

Доведення. Нехай – матрицяого порядку над полем,– її характеристичні корені, всі вони різні і належать полю.

Знайдемо матрицю подібну матриці.

Для цього в вимірному просторінад полемвиберемо базис, в якому лінійний операторзадається матрицею. Оскільки всі характеристичні корені матрицірізні і належать полю, то оператормає простий спектр. Тому існує базиспростору, в якому операторзадається діагональною матрицею

.

Матриці іподібні, оскільки вони задають один і той же оператор. Теорему доведено.

Знаходження матриці, подібної матриці , називається зведенням матрицідо діагонального виду.

Розглянемо спосіб знаходження діагональної матриці , подібної матриці.

Вище було доведено, що матриця лінійного операторавекторного просторунад полему деякому базисі є діагональною тоді і тільки тоді, коли цей базис складається з власних векторів даного оператора.

1. Достатньою умовою для зведення матриці лінійного оператора векторного простору розмірності є наявність у даного операторарізних власних значень, причому діагональними елементами будуть саме ці власні значення.

2. Якщо лінійний оператор має менш як власних значень, причому враховується їх кратність як коренів характеристичного рівняння оператора, то матриця такого оператора не зводиться до діагонального виду.

3. Якщо лінійний оператор має менш як різних власних значень, причому враховуються кратності кожного як коренів характеристичного рівняння оператора (їх рівно), то треба дослідити ще, яке числолінійно незалежних власних векторів визначає кожен корінькратності. Оскільки число лінійно незалежних власних векторів довільного лінійного оператора, які належать одному власному значенню, не перевищує, то

   1. матриця не зводиться до діагонального виду, коли хоча б для одного виконується нерівність(тоді не набереться стільки власних векторів, скільки їх повинно бути в базисі);

   2. матриця зводиться до діагонального виду, коли для всіх виконується рівність, причому діагональними елементами є власні значення оператора, що повторюються стільки разів, яка їх кратність.

Серед лінійних операторів, які діють в евклідовому просторі, важливу роль відіграють ортогональні та симетричні оператори. Розглянемо питання щодо ортогональних операторів.

Означення. Лінійний оператор в дійсному евклідовому просторіназивається ортогональним, якщо.

Ортогональний оператор зберігає скалярний добуток, отже, він зберігає довжини векторів і кути між ними.

Властивості ортогональних векторів:

1. Тотожній оператор є ортогональним, оскільки, отже,.

2. Добуток ортогональних операторів є ортогональним, оскільки оператори іортогональні, то.

3. Оператор, обернений до ортогонального оператору, є ортогональним.

4. Якщо – ортогональний оператор, то добутокбуде ортогональним тоді і тільки тоді, коли. Це випливає з рівності.

Ортогональний оператор переводить будь-який ортонормований базис в ортонормований. Покажемо, що вірне і обернене твердження: лінійний оператор , який переводить хоч би один ортонормований базис в ортонормований є ортогональним.

Дійсно, нехай ортонормований базис операторомпереводиться в ортонормований базис. Тоді, якщо

, ,

то

,

і

.

Нехай – матриця ортогонального оператора в ортогональному базисі. Оскільки під дією ортогонального оператора ортонормований базис переходить в ортонормований, то образи базисних векторів самі утворюють ортонормований базис. Отже, приіпри всіх, тобто

при ,

при всіх . (1)

Звідси випливає, що стовпці матриці , які розглядаються як вектори, самі утворюють ортонормовану систему. Це ж вірно і для рядків, тобто

при ,

при всіх . (2)

Означення. Матриця , для якої транспонована матрицяспівпадає з оберненою матрицеюназивається ортогональною матрицею.

Отже, якщо для матриці має місце співвідношення, то матриця– ортогональна і для неї виконуються рівності (1) і (2).

Матриця ортогонального оператора в будь-якому базисі є ортогональною, і, навпаки, якщо в деякому ортонормованому базисі матриця оператору є ортогональною, то і оператор– ортогональний.

Теорема 1. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Доведення. Із рівності випливає, що. Але, оскільки, тоі. Теорему доведено.

З теореми випливає, що будь-який ортогональний оператор є невиродженим. Обернене твердження невірне, оскільки не будь-яка матриця з визначником, що дорівнює , буде ортогональною.

Теорема 2. Матриця переходу від ортонормованого базису евклідового простору до іншого його ортонормованого базису є ортогональною.

Доведення. Нехай в евклідовому просторі задані два ортонормованих базиси: і з матрицею переходу, тобто.

Оскільки базис ортонормований, то скалярний добуток будь-яких двох векторів, зокрема будь-яких векторів з базису, дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів в базисі.

За умовою і базис ортонормований, тому скалярний квадрат кожного вектора здорівнює одиниці, а скалярний добуток будь-яких двох різних векторів здорівнює нулю. Звідси для рядків координат базисув базисі, тобто для рядків матриці, випливають твердження, справедливі для ортогональної матриці. Отже, матриця– ортогональна матриця. Теорему доведено.

Теорема 3. Власні значення ортогонального оператору дорівнюють .

Доведення. Нехай – власний вектор і– відповідне до нього власне значення ортогонального оператора. Тоді,

звідки одержуємо (оскільки )і. Теорему доведено.

З’ясуємо, що собою являє довільний ортогональний оператор, який діє в дійсному вимірному евклідовому просторі. Нехай– ортогональне перетворення прямоїі. Тоді, і, отже,, де, тобто, і– або тотожнє перетворення, або центральна симетрія.

Нехай тепер – ортогональне перетворення площиниі

– його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді

; ;.

В силу перших двох рівностей знайдуться такі і, що,і,. Тоді третя рівність дає

.

Звідси випливає, що або. В першому випадку,, і одержуємо

,

тобто перетворення – це поворот на кутнавколо початку координат. (зокрема при, це тотожнє перетворення, а при– симетрія відносно початку координат).

У другому випадку ,і

.

Ця матриця симетрична і ортогональна, і в деякому ортонормованому базисі зводиться до діагонального виду. Власні значення знаходяться безпосередньо з рівняння

,

тобто , і матриця перетвореннязводиться до виду

.

Довільний вектор , що дорівнює в новому базисі, перетворюється в. Це симетрія відносно прямої, що визначається вектором– першим базисним вектором нового базису (рис. 1).

Отже, ортогональне перетворення площини – це або його поворот навколо початку координат на деякий кут(зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія; визначник такого перетворення дорівнює +1), або – осьова симетрія (з визначником, що дорівнює ‑1).

Із доведеного випливають дві теореми елементарної геометрії:

1. Добуток двох осьових симетрій є поворотом навколо точки перетину осей симетрії (оскільки це ортогональне перетворення з визначником, що дорівнює +1).

2. Добуток поворота і симетрії, вісь якої проходить через центр поворота, є симетрією відносно деякої нової осі, яка проходить через ту ж точку (оскільки це ортогональне перетворення з визначником, що дорівнює ‑1).

Означення. Лінійний оператор вимірного евклідового простору називається симетричним (самоспряженим), якщо для будь-яких векторівцього простору виконується рівність:

.

Тотожній оператор та нульовий операторє симетричними операторами.

Більш загальним прикладом симетричного оператора є оператор, при якому будь-який вектор помножується на фіксоване число ,

.

Дійсно, .

Теорема 1. Симетричний оператор евклідового простору в будь-якому ортонормованому базисі задається симетричною матрицею. Навпаки, якщо лінійний оператор евклідового простору хоч би в одному ортонормоваму базисі задається симетричною матрицею, то цей оператор симетричний.

Доведення. Нехай симетричний оператор задається в ортонормованому базисіматрицею.

В ортонормованому базисі скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів, отже,

,

.

Оскільки – симетричний оператор, тодля всіх, тобто матриця– симетрична.

Навпаки, нехай лінійний оператор ортонормованому базисізадається симетричною матрицею,для всіх.

Якщо ,– будь-які вектори простору, то

;

.

Оскільки базис ортонормований, то

;

,

але , тому, тобто.

Отже, оператор – симетричний. Теорему доведено.

Властивості симетричних операторів:

1. Сума симетричних операторів є симетричний оператор.

2. Добуток симетричного оператора на число є симетричний оператор.

3. Оператор, обернений до невиродженого симетричного оператора, є симетричним.

4. Для того, щоб добуток симетричних операторів ібув симетричним, необхідно і достатньо, щоб ці оператори були переставними, тобто щоб виконувалась рівність.

Теорема 2. Всі характеристичні корені симетричного оператора дійсні.

Доведення. Оскільки характеристичні корені будь-якого лінійного оператора співпадають з характеристичними коренями матриці цього оператора в будь-якому базисі, а симетричний оператор задається в ортонормованих базисах симетричними матрицями, то достатньо довести наступне твердження. Всі характеристичні корені симетричної матриці – дійсні числа.

Нехай – характеристичний корінь симетричної матриці,. Тоді система лінійних однорідних рівнянь з комплексними коефіцієнтами

має нульовий визначник, отже має ненульовий розв’язок , взагалі кажучи, комплексний.

Отже, . Помножимо обидві частини кожноїої рівності на, одержимо

.

Додамо ліві і праві частини всіх одержаних рівностей, одержимо

. (*)

Коефіцієнт при – відмінне від нуля дійсне число, оскільки воно є сумою невід’ємних дійсних чисел, хоча б одне з яких строго додатнє. Дійсністьбуде доведена, якщо доведемо дійсність лівої частини рівності (*). Для цього покажемо, що це комплексне число співпадає зі своїм спряженим.

Використаємо симетричність матриці .

.

Теорему доведено.

Теорема 3. Власні вектори симетричного оператора , яким відповідають різні власні значення оператора, ортогональні.

Доведення. Нехай – два власних значення симетричного оператора, а– відповідні до них власні вектори. Тоді мають місце співвідношення

; .

Тому

; . (1)

Оскільки оператор – симетричний, то скалярні добуткиідорівнюють між собою, тому з рівностей (1) маємо

.

Оскільки , то звідси випливає, що, тобто векториіортогональні. Теорему доведено.

Теорема 4. Нехай – симетричний оператор в,– його власний вектор. Сукупністьвекторів, ортогональних до вектора, ємірний підпростір, інваріантний відносно оператора.

Доведення. Сукупність векторів, ортогональних до, утворюєвимірний підпростір. Покажемо, що сукупністьінваріантний підпростір відносно оператора. Нехай. Це означає, що. Тоді, тобто.

Дійсно, , де– власне значення оператора, що відповідає власному вектору. Теорему доведено.

Теорема 5. Для симетричного оператора існує ортогональний базис, в якому матриця операторадіагональна і дійсна.

Доведення. За базис візьмемо попарно ортогональні власні векториоператора. Тоді, тобто в цьому базисі матрицяоператорамає вигляд

,

де – дійсні числа.

Навпаки, нехай матриця оператора в ортогональному базисі має діагональний вид. Для симетричного оператора відповідна матриця одержується з матрицітранспонуванням. Оскільки транспонування не порушує діагональності матриці, то одержуємо в результаті симетричну матрицю, яка відповідає симетричному оператору. Теорему доведено.

Теорема 6. Для будь-якої симетричної матриці можна знайти таку ортогональну матрицю, яка зводить матрицюдо діагонального виду, тобто матриця, одержана трансформуванням матриціматрицею, буде діагональною.

Доведення. Нехай – симетрична матрицяого порядку,– деякий ортонормований базис простору. Тоді матрицязадає в цьому базисі деякий симетричний оператор. Віснує ортонормований базис, складений із власних векторів оператора. В цьому базисізадається діагональною матрицею. Тоді

,

де – матриця переходу від базисудо,

.

Ця матриця, як матриця переходу від одного ортонормованого базису до іншого такого ж базису, буде ортогональною. Теорему доведено.

Оскільки для ортогональної матриці її обернена матриця дорівнює транспонованій, то рівністьможна записати так.