• Момент інерції. Теорема гюйгенса-штейнера

З формули (1.8.13) випливає, що момент інерції = є величиною адитивною. Це означає, що момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції його частинок.

Розподіл маси в тіла можна характеризувати за допомогою величини, відомої вам з шкільного курсу фізики, і яку називають густиною. Якщо тіло однорідне, тобто властивості його у всіх точках однакові, то густиною ми називатимемо величину, яка визначається:

=

(1.8.21)

де - маса тіла, а - його об’єм. Отже, у випадку однорідного тіла густина являє собою масу одиниці об’єму тіла.

Для тіла з нерівномірним розподілом маси за виразом (1.8.21) можна визначити лише середню густину. Густину в деякій точці в цьому випадку можна визначити так:

==

(1.8.22)

де - маса в об’ємі , які в граничному переході стягується до точки, в якій визначається густина [4,с.141]. Граничний перехід в (1.8.22), тобто зменшення відбувається до тих пір, доки не буде отримано фізично безкінечно малий об’єм.

Під фізично малим об’ємом ми розумітиме такий об’єм, який:

• достатньо малий для того, що макроскопічні (тобто властиві великої кількості атомів) в межах цього об’єму можна було вважати однаковими,

• достатньо великий для того, щоб не проявилася дискретність речовини.

У відповідності до (1.8.22) елементарні маса дорівнює добутку густини тіла в даній точці на відповідний елементарний об’єм :

=

(1.8.23)

Момент інерції в такому випадку визначатиметься так:

=.

(1.8.24)

Якщо густина тіла постійна, її можна винести за знак суми:

=

(1.8.25)

Співвідношення (1.8.24) та (1.8.25) є наближеними, причому їх точність тим більша, чим менші елементарні об’єми і відповідні їм елементарні маси . Отже, задачу знаходження моментів інерції можна звести до інтегрування:

==

(1.8.26)

Інтеграли в (1.8.26) беруться по всьому об’єму тіла. Величини і в цих інтегралах є функціями точки, тобто, наприклад, декартових координат .

Момент інерції характеризує інерційні властивості твердого тіла при його обертальному русі і залежить від розташування осі, відносно якої його визначають. Найменші значення моментів інерції тіло матиме тоді, коли вісь обертання проходитиме через його центр мас. Головні моменти інерції однорідних тіл (нагадаємо, що однорідним вважається тіло з однаковою по всьому його об’єму густиною) правильної геометричної форми можна визначити за допомогою інтегрального числення. Розглянемо такі приклади.

Момент інерції однорідного тонкого стержня [7,с.56]. Нехай стержень масою і довжиною є однорідним і тонким. Визначимо момент інерції цього стержня відносно осі, яка перпендикулярна до стержня і проходить через його середину (рис. 1.6.6). Поділимо подумки стержень на елементарні частини у вигляді пластинок, паралельних осі обертання, товщиною . Маса такої пластинки визначатиметься:

=

(1.8.27)

Момент інерції пластинки, що знаходиться від осі обертання на відстані :

==

(1.8.28)

З властивості адитивності моменту інерції випливає, що момент інерції стержня можна знайти інтегруванням:

=	(1.8.29)
=	(1.8.30)

Момент інерції однорідного диска, циліндра, кулі [4,с.142]. Тепер знайдемо момент інерції однорідного диска відносно осі, перпендикулярної до площі диска і такої, що проходить через його центр (Мал.1.8.7). Подумки розіб’ємо диск на колові шари товщиною . Всі точки одного шару будуть знаходитися на одноковій відстані від осі - . Об’єм такого шару дорівнюватиме:

=

(1.8.31)

де - товщина диску. Оскільки диск однорідний, густина його у всіх точках однакова і - густину – можна винести за знак інтегралу:

==

(1.8.)

де - радіус диска. Винесемо за знак інтегралу постійний множник :

==

(1.8.33)

Врахувавши, що маса диску =, отримаємо:

=

(1.8.34)

Наведемо ще деякі формули моментів інерції тіл. Момент інерції однорідного циліндру (Мал. 1.8.8) визначається так само як і момент інерції однорідного диску – за формулою (1.8.34).

М омент інерції тонкого однорідного диску відносно осі , що лежить в площині самого диску і проходить через його центр мас (Мал. 1.8.9) визначається за формулою:

=

(1.8.35)

Момент інерції кулі відносно осі, що співпадає з одним із її діаметрів (Мал. 1.8.10):

=

(1.8.36)

де - радіус кулі. Знаходження моменту інерції у цих прикладах значно простіше, саме завдяки тому, що тіло вважалося однорідним і симетричним, а момент інерції ми знаходили відносно осі симетрії.

Якщо ми б захотіли знайти момент інерції тіла відносно деякої осі, що не проходить через центр мас, тобто так як показано на мал. 1.8.7 – вісь (але момент інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас відомий), то момент інерції цього тіла відносно будь-якої осі, паралельній першій, визначається за теоремою Гюйгенса-Штейнера. Відповідно до неї момент інерції відносно будь-якої осі дорівнює сумі моменту інерції відносно осі, що паралельна даній і проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями:

=+

(1.8.37)

Доведення теореми Штейнера є у підручниках [4;7,с.56]. Теорема Гюйгенса-Штейнера, по суті, зводить обчислення моменту інерції відносно довільної осі до обчислення моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла.