• Момент інерції. Момент імпульсу. Момент сили основне рівняння динаміки обертального руху

Тепер ми з вами докладніше спинимося на питаннях динаміки обертального руху твердого тіла. В загальному випадку тверде тіло може обертатися навколо нерухомої точки. При цьому його рух можна уявити як результат накладання трьох обертальних рухів відносно взаємно перпендикулярних осей, що проходять через нерухому точку.

Спинимося спочатку на обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі. В цьому випадку траєкторії руху всіх частинок тіла будуть концентричними колами, центри яких знаходяться на осі обертання. Уявляючи тверде тіло як систему матеріальних точок, можна стверджувати, що всі його точки при обертальному русі здійснюють плоскі рухи з однаковими кутовими швидкостями. Дія зовнішніх сил на тверді тіла, які можуть обертатися навколо нерухомої осі, в загальному випадку приводить до зміни стану його руху, тобто зумовлює кутове прискорення.

На основі уявлень про тверде тіло як систему матеріальних точок розглянемо рух однієї з них (масою ), що знаходиться на відстані від осі обертання і перебуває під дією сили (Мал. 1.8.1). У загальному випадку напрям сили може бути довільним. Розкладемо її на складові і так, щоб сила лежала у площині перпендикулярній до осі обертання, а сила була паралельна осі обертання. Оскільки сила паралельна осі обертання, то вона не зумовлює обертального руху тіла навколо цієї осі. Ця сила зумовлює тиск в опорах підшипників, в яких знаходиться вісь .

Дія сили зумовлює тангенціальне прискорення матеріальної точки. За другим законом Ньютона:

=.

(1.8.7)

Оскільки кутове і тангенціальне прискорення пов’язані між собою (лекція 1.2) виразом =, то (1.8.7) набуває наступного вигляду:

=.

(1.8.8)

Помножимо зліва обидві частини рівності (1.8.8) векторно на :

=.

(1.8.9)

Ліва частина рівняння (1.8.9) є відомий вам момент сил відносно нерухомої осі:

=

(1.8.10)

Нагадаємо, що момент сили визначається за правилом правого гвинта і вважатиметься додатним, якщо складова сили змушує обертатися тіло за стрілкою годинника, а від’ємним – при обертанні тіла в протилежному напрямі.

Вираз (1.8.10) у скалярній формі має наступний вигляд:

=

(1.8.11)

Величина = - вже вам відома як плече сили відносно осі обертання.

Зверніть увагу права частина (1.8.9) у скалярні формі матиме наступний вигляд:

=

(1.8.12)

Величину називають моментом інерції матеріальної точки відносно осі обертання. Для кожної матеріальної точки тіла можна записати співвідношення (1.8.12). Сума по всіх матеріальних точках твердого тіла рівнянь (1.8.12):

=

(1.8.13)

Алгебраїчну суму називатимемо моментом сил відносно осі обертання. Величину:

=,

(1.8.14)

що дорівнює сумі добутків мас матеріальних точок на квадрати їхніх відстаней від осі обертання, називатимемо моментом інерції тіла відносно цієї самої осі. Тоді і вираз (1.8.13) набуває вигляду:

=.

(1.8.15)

Рівняння (1.8.15) є основним рівнянням динаміки обертального руху. За формою воно подібне до рівняння динаміки поступального руху. Між ними можна провести аналогію: при обертальному русі роль сили відігріє момент сили, роль маси – момент інерції, а роль лінійного прискорення – кутове прискорення. У векторній формі основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла має вигляд:

=

(1.8.16)

У динаміці матеріальної точки рівняння другого закону Ньютона було узагальнене за допомогою введення поняття механічного імпульсу. Отже, ІІ закон динаміки для обертального руху твердого тіла має вигляд:

==	(1.8.17а)
=	(1.8.17б)

де - момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання, окрім того, величина векторна. Вираз (1.8.17б) є іншим видом основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла. Для нерухомої осі обертання напрям вектора збігається з напрямом вектора кутової швидкості . З рівняння (1.8.17б) також випливає, що результуючий момент сил дорівнює швидкості зміни моменту імпульсу , аналогічно тому, як результуюча сила, що діє на матеріальну точку, дорівнює швидкості зміни її імпульсу.

Якщо момент зовнішніх сил дорівнює нулю (=0), то:

==

(1.8.18)

Рівняння (1.8.18) фактично виражає закон збереження моменту імпульсу для обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі.

Обертання тіла навколо нерухомої осі при =0, тобто обертання із сталим моментом імпульсу, аналогічне руху матеріальної точки за „інерцією”, коли =. Проте, існують деякі відмінності між цими випадками, а саме: рух матеріальної точки за інерцією є рух із сталою швидкістю, коли маса матеріальної точки залишається сталою; рух твердого тіла із сталим моментом імпульсу – це не завжди рух із сталою кутовою швидкістю, оскільки момент інерції тіла може змінитися під час обертального руху внаслідок переміщення маси всередині тіла. Прикладом може бути зміна моменту інерції Землі [7,с.54].

Прояви закону збереження моменту інерції можна показати на багатьох дослідах і прикладах. Різні прояви цього закону досить переконливо демонструються за допомогою лави Жуковського [7,с.55]. Закон збереження моменту імпульсу як векторної величини проявляється у збереженні напряму вектора. Збереження напряму осі при обертанні тіла широко застосовується у техніці.