• Вільні осі обертання

Твердження про те, що для тіла будь-якої форми і з довільним розподілом маси існують три взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас тіла, доводиться у [9,11]. Саме ці осі і можна вважати вільними осями. Їх ми також будемо називати головними осями інерції тіла.

В однорідного паралелепіпеда (Мал. 1.8.2) головними осями інерції будуть осі , і , що проходять через центри протилежних граней.

У тіл, які мають осьову симетрію (наприклад, у однорідного циліндра, тобто в такого, що густина тіла в кожному з перерізів була функцією тільки відстані від осі симетрії) однією з головних осей інерції є ось симетрії. У якості інших двох осей можна брати будь-які взаємно перпендикулярні осі, такі що лежать в площині, перпендикулярній до осі симетрії, причому вони повинні проходити через центр мас тіла (Мал. 1.8.3). Отже, в тіла з осьовою симетрією фіксованою є тільки одна з головних осей інерції.

У тіла з центральною симетрією, тобто в кулі, густина якої залежить тільки від відстані від центру, головними осями інерції є три будь-які взаємно перпендикулярні осі, що проходять через центр мас. Отже, ні одна з головних осей інерції не є фіксованою.

Моменти інерції відносно головних осей, що проходіть через центр мас, називатимемо головними моментами інерції тіла. В загальному випадку ці моменти: . Для тіла з осьовою симетрією два головних моменти інерції мають однакову величину, а третій відрізняється від них: =. У випадку тіла з центральною симетрією всі три головних моменти інерції однакові: ==. Рівні значення головних моментів інерції має не тільки однорідна куля, але також і однорідний куб.

Повернемося до співвідношення =. Ця рівність справедлива тільки для тих випадків, коли тіло обертається навколо осі симетрії, а також для тих несиметричних тіл, які обертаються навколо однієї із своїх головних осей інерції. Окрім того, для однорідного тіла, яке обертається навколо осі симетрії, момент імпульсу не залежить від положення точки на осі обертання (відносно якої визначається ).

• Умова рівноваги тіла

Уявіть собі тіло, що обертається в умовах, коли будь-яка дія ззовні відсутня. Стійким буде обертання тільки навколо тих головних осей, якім відповідають максимальне та мінімальне значення моменту інерції. Обертання навколо осі, якої відповідає проміжкове за величиною значення моменту інерції, буде нестійким.

Пояснимо це. Справа в тому, сили, які виникають при навіть дуже малому відхиленні осі обертання від головної осі інерції, діють в такому напрямку, що величина такого відхилення зростає. При відхиленні обертання від стійкої осі під дією сил, що виникають при цьому, тіло намагається розташуватися так, аби його обертання відбувалося навколо відповідної головної осі.

Спробуйте переконатися в цьому за допомогою дуже простого експерименту, здійснити який ви можете самостійно в домашніх умовах. Для цього достатньо взяти тіло, яке має форму паралелепіпеду, наприклад, коробок із сирниками. Підкиньте його так, щоб він одночасно з цим ще й обертався. Доречи, в цьому випадку дія сили тяжіння не є суттєвою, тому що вона лише обумовлює падіння тіла. Під час цього експерименту ви помітите, що коробок падаючи, може стійко обертатися навколо осей, що проходять крізь найбільші або найменші грані. Спроби підкинути його так, щоб він обертався навколо осі, що проходить крізь середні грані, будуть невдалими.

При наявності зовнішньої дії, наприклад, з боку нитки, до якої підвішене тіло, що обертається, стійким буде лише обертання навколо головної осі, якої відповідає найбільше значення моменту інерції. Так само, в домашніх умовах ви можете переконатися в справедливості цього твердження. Для цього достатньо взяти тонкий стержень, підвісити його на нитці за один з кінців (так як показано на Мал. 1.8.4). приведіть його у швидке обертання. Ви помітите, що він встановлюється так, аби його обертання відбувалося навколо перпендикулярної до нього осі, яка проходить через центр мас стержня. Аналогічним чином поводитиме себе диск, підвішений на закріпленій до його краю нитці (Мал. 1.8.5).

Але, досі ми вважали, що в тілі розподілення мас є незмінним. Уявіть собі, що тверде тіло може на деякий час втратити властивість незмінності взаємного роз положення його частин (наприклад, м’ячик в середину якого налили трохи води або насипали піску, але краще, що це було симетричне тверде тіло, таке як невеличка кулька). Причому, на протязі цього часу відбувається перерозподіл маси тіла (м’ячика), в результаті якого момент інерції зміниться від значення до значення . Якщо такий перерозподіл відбувається в умовах, коли сума зовнішніх моментів сил =0, то у відповідності до закону збереження моменту імпульсу (1.8.18):

=

(1.8.19)

де - початкове, а - кінцеве значення кутової швидкості тіла. Отже, зміна моменту інерції призводить відповідну зміну кутової швидкості. Саме цим пояснюється явище, яке спостерігається під час обертання людини на лаві Жуковського. Якщо людина розводить руки, обертання стає повільнішим, якщо притисне руки до тіла – обертання прискорюється.

Підведемо підсумки у вигляді умов рівноваги твердого тіла. Отже, тіло може залишатися в стані спокою, або рівномірного прямолінійного руху, якщо немає причин, що зумовлюють зміну цього стану або примушують тіло здійснювати обертальний рух. Тіло буде в спокої за умови, коли векторна сума зовнішніх сил дорівнюють нулю, тобто:

=0 і =0

(1.8.20)

Рівняння (1.8.20) виражають необхідні умови рівноваги твердого тіла. Однак вони не є достатніми. При виконанні умов (1.8.20) центр мас може рухатися рівномірно і прямолінійно з будь-якою швидкістю, а саме тіло може здійснювати обертальний рух зі сталим моментом імпульсу. Для того. Щоб тіло було нерухомим відносно відповідної інерціальної системи відліку, необхідно, щоб його повна енергія дорівнювала потенціальній енергії. При цьому не буде поступального і обертального рухів тіла.