Фізика / Лекции / Механика / 1-3Динам_ка

Херсонський національний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики

Динаміка Лекція 1.3.

	1.3. КІНЕМАТИКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ
	ВСТУП ДО ДИНАМІКИ
	ЗАКОНИ НЬЮТОНА. МАСА. ІМУЛЬС
ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА

• ВСТУП ДО ДИНАМІКИ

Кінематика описує рухи тіл, але при цьому не дає відповіді на питання, чому тіло рухається саме таким чином (наприклад, рівномірно по колу), а не інакше. Динаміка ж вивчає рух тіл у зв’язку з тими причинами (взаємодія між тілами), які обумовлюють певний характер руху. Основні задачі динаміки такі. Пряма задача: знаючи характер взаємодії, визначити кінематичні характеристики руху. Обернена задача полягає в тому, що, знаючи кінетичні характеристики, треба визначити силові взаємодії.

В основі класичної або ньютонівської механіки лежать три закони динаміки, які сформулював ще Ньютон у 1687 році в своїй праці „Математичні начала натуральної філософії”. На основі цих законів Ньютон розробив загальний метод вивчення складних механічних явищ.

Закони Ньютона, як і решта фізичних законів, є узагальненням великої кількості дослідних фактів. Правильність їх (хоча і для більш широкого, але все ж обмеженого кола явищ) підтверджується узгодженням висновків з них із дослідними даними. Майже всі фізики ХІХ століття були переконані в абсолютності ньютонівської механіки, завдяки її величезній популярності. Раніше вважали, що пояснити будь-яке фізичне явище можна за допомогою простих механічних аналогій, які підкоряються законам Ньютона. Однак, із розвитком науки виявилися нові факти, які класична механіка була не в змозі пояснити. Ці факти отримали своє пояснення в нових теоріях — спеціальній теорії відносності та квантовій механіці. В спеціальній теорії відносності, автором якої є А.Ейнштейн (1905 р.), переглянуті ньютонівські уявлення про простір та час. Таким чином виникла „механіка великих швидкостей”, або як її ще називають – релятивістська механіка. Нова механіка не привела до повного заперечення „старої” ньютонівської механіки. Рівняння релятивістської механіки в певних межах (для швидкостей, які є малими у порівняні із швидкістю світла) переходять в рівняння класичної механіки. Отже, класична механіка увійшла у релятивістську як її частковий випадок. Аналогічним чином розглядається співвідношення між класичною та квантовою механікою, яка виникла у 20-ті роки минулого століття в наслідок розвитку фізики атому. Рівняння квантової механіки також в певних межах переходить в рівняння класичної (для мас, більших у порівнянні із масою атомів). Отже, класична механіка увійшла до квантової у вигляді її граничного випадку. Саме так розвиток науки показав обмеженість застосування класичної механіки. Ось чому класична механіка, яка базується на законах Ньютона, є механікою тіл великих мас (у порівнянні із масою атомів), які рухаються із малими швидкостями (у порівнянні із швидкістю світла).

• ЗАКОНИ НЬЮТОНА. МАСА. ІМПУЛЬС

Перший закон динаміки був встановлений ще Галілеєм [1,3-7], який на основі своїх дослідних даних дійшов до висновку, що коли на тіло не діють інші тіла, то воно зберігає стан відносного спокою або прямолінійного рівномірного руху. Такі тіла називатимемо вільними, а їхній рух – вільним.

Перший закон Ньютона має наступне формулювання:

будь-яке тіло знаходиться в стані спокою або рівномірного та прямолінійного руху, до тих пір, поки дія з боку інших тіл не змінить цього стану.

Обидва стани відрізняються тим, що прискорення тіла дорівнює нулю =0. Тому формулювати перший закон Ньютона можна інакше:

швидкість будь-якого тіла лишається сталою = (або рівною нулю =0), доки дія на це тіло з боку інших тіл не змінить її.

Перший закон Ньютона виконується не у всіх системах відліку. Характер руху залежить від вибору системи відліку. Розглянемо дві системи відліку, які рухаються одна відносно одної з деяким прискоренням. Якщо відносно однієї з них тіло знаходиться в стані спокою, то відносно іншої воно буде рухатися з прискоренням. Отже, перший закон Ньютона не може виконуватися одночасно в обох системах відліку.

Системи відліку, в яких виконується перший закон Ньютона мають назву інерціальних, а сам закон іноді називають законом інерції. Системи відліку, в яких перший закон Ньютона не виконується називатимемо неінерціальними. Кількість інерціальних систем відліку встановити неважко – їх безліч. Будь-яка система відліку, яка рухається відносно деякої інерціальної системи відліку прямолінійно і рівномірно (зі сталою швидкістю) також буде інерціальною. Класична механіка таким чином постулює існування систем відліку, в яких вільні тіла рухаються прямолінійно і рівномірно. Дослідним шляхом було встановлено, що система відліку, центр якої сполучений із Сонцем, а осі напрямлені на відповідним чином обрані зірки, є з дуже високим ступенем точності інерціальною. Вона має назву – геліоцентричної системи відліку [1,3-7]. Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно і прямолінійно відносно геліоцентричної системи, є інерціальною.

Земля рухається відносно Сонця та зірок по криволінійній траєкторії, яка має форму еліпсу. Криволінійний рух завжди відбувається із певним прискоренням. Окрім того, Земля обертається навколо власної осі. За цих причин система відліку, пов’язана із земною поверхнею, рухається з прискоренням відносно геліоцентричної системи відліку і не є інерціальною. Однак, прискорення такої системи настільки мале, що у більшості випадків її можна вважати практично інерціальною. Але іноді неінерціальність системи відліку, пов’язана із Землею, суттєво впливає на характер механічних явищ, що розглядаються.

Для кількісної оцінки дії одного тіла на інше в класичній механіці введено поняття сили. Під силою в механіці ми розумітимемо фізичну причину, яка виникає внаслідок взаємодії двох тіл і зумовлює стан їхнього руху. Взаємодія тіл може проявлятися не тільки в наданні їм прискорення (зміни їхньої швидкості), а й у зміні форми або об’єму тіл, тобто в їх деформації. Таким чином, силами називатимемо взаємодії тіл, в результаті яких вони набувають прискорення або деформуються, чи одночасно має відбуватися одне й друге. Отже, про наявність і дію сили можна робити висновок за її динамічним проявом, тобто за тими прискореннями (змінами швидкостей), яких сила надає тілам, що взаємодіють, а також за статичним проявом сили, тобто за результатом, який виникає в цих тілах. Сила, що діє на тіло, визначається числовим значенням, напрямом дії і точкою прикладання. Отже, сила – векторна величина. Пряму, вздовж якої напрямлена сила, називатимемо лінією дії сили.

Дія на тіло з боку інших тіл змінює його швидкість, тобто надає даному тілу прискорення. Досліди показують, що однакова дія надає різним тілам різні за величиною прискорення [3,5,6]. Будь-яке тіло „протидіє” зовнішнім змінам, які намагаються змінити стан руху тіла. Ця властивість тіл має назву інертності. В якості кількісної характеристики інертності використовується величина, яка має назву маси тіла. Для визначення маси деякого тіла необхідно порівняти її з масою тіла, яке є еталонним. Також можна порівняти масу даного тіла з вже відомою масою деякого тіла.

Порівняти маси та двох матеріальних точок (частинок) можна наступним чином. Нехай частинки знаходяться в таких умовах, що їх взаємодією з іншими тілами ми можемо знехтувати. Систему тіл, які взаємодіють тільки поміж собою і не взаємодіють з іншими тілами називатимемо замкненою. Отже, ми розглядатиме замкнену систему двох частинок. Якщо ми спричинимо взаємодію цих частинок (наприклад, їх зіткнення), їх швидкості отримають зростання і . Дослідами встановлено, що ці зростання завжди протилежні за напрямом, отже, відрізняються знаком. Відношення модулів зростань швидкостей не залежить від способу і інтенсивності взаємодії даних двох тіл (але це справедливо тільки при умові, що швидкості цих тіл малі у порівнянні із швидкістю світла ). Це відношення приймається рівним оберненому відношенню мас тіл, що розглядаються:

=,

(1.3.1)

швидкість більш інертного тіла, тобто тіло з більшою масою, менше змінюється. Якщо ми врахуємо напрям векторів і , співвідношення (1.3.1) отримає наступний вигляд:

=-.

(1.3.2)

В ньютонівській механіці маса тіла вважається постійною величиною, такою що не залежить від швидкості тіла. При швидкостях менших за швидкість світла (при ) це припущення виконується практично повністю. Отже, якщо вважати, що маса тіла не змінюється, то рівність (1.3.2) можна переписати у наступному вигляді:

()=-().

(1.3.3)

Добуток маси тіла на його швидкість отримав назву імпульсу тіла:

=.

(1.3.4)

Визначення (1.3.4) є справедливим як для матеріальних точок так и для протяжний тіл, які рухаються поступально. У випадку протяжного тіла, що рухається не поступально, необхідно представити тіло як сукупність матеріальних точок з масами , визначити імпульси цих точок, та додати ці імпульси за правилами векторного додавання:

=.

(1.3.5)

При поступальному русі тіла всі однакові і формула (1.3.5) переходить у (1.3.4).

Маса – величина адитивна, тобто маса системи тіл дорівнює сумі їхніх мас [3-5]:

==++...+.

(1.3.6)

Про відмінність гравітаційної та інертної маси а також про принцип еквівалентності дізнайтеся самостійно з [3,5].

З першого закону Ньютона випливає, що при дії на тіло незрівноваженої сили його рух не буде рівномірним і прямолінійним. На запитання, яким буде рух тіла під дією сили, дає відповідь другий закон динаміки. Другий закон Ньютона стверджує, що:

швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює діючій на тіло силі :

=.

(1.3.7)

Рівняння (1.3.7) має назву основного рівняння динаміки матеріальної точки. Якщо ми виконуємо таке просте перетворення: =, то отримаємо величину (), яку ще називають імпульсом сили. Замінимо добутком () з урахуванням, що масу тіла вважаємо постійною:

=, де =.

(1.3.8)

Зверніть увагу вектори і колінеарні. Переформулюємо другий закон Ньютона: добуток маси тіла на його прискорення дорівнює діючій на тіло силі

Рівняння (1.3.8) дає можливість обрати одиницю сили. Оскільки одиниці довжини, часу і маси встановлено, то з рівняння (1.3.8) випливає, що за одиницю сили слід взяти таку силу, яка одиниці маси надає прискорення, що дорівнює одиниці. В СІ за одиницю маси взяли ньютон (Н):

==.

(1.3.9)

Якщо на тіло (точку) масою одночасно діє сил, то сумарна їх дія еквівалентна дії однієї – так званої рівнодійної силі , яка є геометричною сумою всіх діючих сил [4,с.23;5,с.27] (наприклад, так як показано для трьох сил на мал. 1.3.1):

=

(1.3.10)

Перепишемо рівняння (1.3.8) з вигляді:

==,

(1.3.11)

яке в скалярній формі має наступний вигляд:

===.	(1.3.12)
===	(1.3.13)
===.	(1.3.14)

Система рівнянь (1.3.12-14) має назву рівнянь руху матеріальної точки (системи).

Зверніть увагу ще раз на те, що другий закон Ньютона (також як і перший і третій) є експериментально встановленими законами. Він виник за рахунок узагальнення дослідних даних та спостережень.

У частинному випадку, коли =0 (тобто під дією інших тіл), прискорення, як це випливає з (1.3.8) також дорівнює нулю (=0). Цей висновок співпадає з твердженням першого закону Ньютона. Проте, вираз (1.3.7), який виражає другий закон Ньютона, справджується лише в інерціальних системах відліку. Існування таких систем відліку стверджує саме перший закон Ньютона. Отже, по суті, перший закон Ньютона не можна розглядати, як окремий випадок другого закону. Зв’язок між ними більш глибокий.

Досі ми з вами вважали, що маса тіл лишається постійною. Але в реальності досить часто приходиться стикатися із випадками, коли тіло, яке рухається ще й втрачає масу. Дослідження цих випадків виконали І.В.Мещерський та К.Е.Ціолковський [5,7].

У перших двох законах Ньютона йдеться тільки про силу, що діє на тіло (матеріальну точку), але нічого не сказано про інші тіла, з боку яких ця сила діє. Сила характеризує взаємодію щонайменше двох тіл. Роль другого тіла в динамічних явищах відображена в третьому законі Ньютона.

Будь-яка дія тіл одне на одне носить характер взаємодії: якщо тіло 1 діє на тіло 2 з силою , то і тіло 2 діє на тіло 1 із силою . Отже, третій закон Ньютона стверджує, що

сили, з якими діють одне на одне взаємодіючі тіла рівні за величиною та протилежні за напрямом:

=-.

(1.3.15)

З третього закону випливає, що сили діють парами: будь-якій силі, яка діє на деяке тіло, можна співставити рівну їй за величиною та протилежну за напрямом силу, яка діє на друге тіло, взаємодіюче з першим. Отже, третій закон нічого не говорить про величину сил, а тільки про те, що вони дорівнюють одна одній. Зауважимо, що у даному законі мова йде про сили, прикладені до різних тіл, тому їх не можна розглядати як сили, що зрівноважують одна одну.

ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ РУХИ ПЛАНЕТ. ЗАКОНИ КЕПЛЕРА

Аналізуючи результати багаторічних спостережень Тихо Браге за рухом планет (понад 36 років спостережень), Йогану Кеплеру вдалося встановити основні закони руху планет (приблизно так, як показано на Мал. 1.3.3 на прикладі супутника, який обертається навколо Землі).

Ці закони названо його ім’ям і формулюються вони так.

1. Кожна з планет рухається по еліпсу, в одному з фокусів якого знаходиться Сонце.

2. Радіус-вектор планети за однакові проміжки часу описує рівні площі (закон постійності секторної швидкості).

3. Квадрати періодів обертань планет навколо Сонця відносяться як куби великих півосей їхніх еліптичних орбіт.

При обертанні планет навколо Сонця їхня відстань до Сонця змінюється. Точку П орбіти, що знаходиться найближче до Сонця, називають перигелієм, а діаметрально протилежну їй точку А називають афелієм (Мал. 1.3.4) [5]. Із закону рівності площ випливає, що швидкість руху планет біля перигелію найбільша, а біля афелію – найменша. Зауважимо, що еліптичність орбіт різних планет Сонячної системи різна. Кількісно еліптичність орбіти характеризують ексцентриситетом, під яким розуміють відношення фокусної відстані до великої півосі (Мал. 1.3.4). Переважна більшість планет має ексцентриситет орбіт, менший ніж 0,1. так для Венери ексцентриситет 0,006, для Нептуна – 0,008, а для Землі – 0,016. це вказує на те, що орбіти планет Сонячної системи майже колові.

Я кщо періоди обертання планет навколо Сонця відповідно дорівнюють і , а великі півосі їхніх орбіт - і , то третій закон Кеплера математично записується у такому вигляді:

=

(1.3.16)

Знайдені емпірично закони Кеплера, дали можливість Ньютону встановити закон всесвітнього тяжіння. Оскільки планети рухаються майже по колових орбітах, їхні доцентрові прискорення:

==

(1.3.17)

де - період обертання, - радіус колової орбіти планети. Відношення прискорень для будь-яких двох планет:

=

(1.3.18)

На основі закону (1.3.16) маємо:

=.	(1.3.19)
:=, або =:	(1.3.20)

Звідси випливає, що сила, яка діє з боку Сонця на планету, прямо пропорційна масі планети і обернено пропорційна квадрату її відстані до Сонця, тобто:

=

(1.3.21)