Лабораторна робота № 3–2

Лабораторна робота № 3–2

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАНЬ ЗВ’ЯЗАНИХ СИСТЕМ

Мета роботи: вивчення властивостей і основних характеристик вільних і вимушених коливань системи з двома ступенями свободи на прикладі двох зв’язаних математичних маятників.

Обладнання: лабораторна установка,лінійка.

Теоретичні відомості

Осцилятором називається простіша фізична система, яка здатна здійснювати коливальні рухи (тобто осцилювати).

Прикладами осциляторів є: в механіці – математичний і фізичний маятники, тіло на пружині, в електриці – коливальний контур. Незважаючи на відмінність фізичних процесів у цих системах, всі вони підпорядковуються однаковим математичним закономірностям – змінюються за гармонічним (або майже гармонічним) законом. Це дозволяє об’єднати їх загальним терміном – осцилятор.

Зв’язаною коливальною системою називається сукупність двох, або більше осциляторів, зв’язаних між собою якимось чином.

Числом ступенів свободи системи називають число незалежних змінних (параметрів), які необхідно вказати, щоб повністю описати стан системи.

У даній роботі вивчаються коливання в системі двох математичних маятників масами m і довжиною L, зв’язаних невагомою пружиною пружністю k. Пружина знаходиться на відстані d від точки підвісу маятників і в стані рівноваги не розтягнута (рис. 1).

При русі маятників у одній вертикальній площині стан такої системи повністю описується двома кутами ₁ і ₂, тобто система має дві ступені свободи.

(1)

Одержимо рівняння руху для кожного маятника, виходячи з основного рівняння динаміки обертального руху навколо нерухомої осі.

Враховуючи, що для кожного маятника JmL² – момент інерції точкової маси m, момент сили тяжіння Mmgsin, величина пружної сили F_yk(x₂x₁)kd(sin₂₁), а її плече d, одержимо для малих коливань (₁, ₂<<6), коли :

(2)

Дана система рівнянь одержана при нехтуванні силами тертя, коли затухання коливань можна не враховувати.

Видно, що на рух кожного з маятників впливає інший (у кожному з рівнянь «замішані» кути відхилення обох маятників). Зв’язок маятників тим сильніший, чим більше пружність k і плече d. При k0, або d0 маятники коливаються незалежно.

Система рівнянь (2) шляхом почленного додавання і віднімання, і заміни змінних ___і ___ перетворюється до вигляду:

(3)

Таким чином система (2) розпалась на два незалежні рівняння (3), кожне з яких є рівняння коливань гармонічного осцилятора з частотами:

g/L; g/L;

(4)

Загальні рішення рівнянь (3) добре відомі:

12Аcos(1t1); 22Вcos(2t2);

(5)

де заради зручності амплітуди позначені через 2А і 2В відповідно.

Змінні , які змінюються за гармонічним законом (5), називають власними або нормальними змінними зв’язаної системи, а частоти (4) – власними або нормальними частотами цієї системи.

Значення власних частот визначається тільки властивостями самої системи (параметрами маятників g, L і силою зв’язку – k, d) і не залежить від початкових умов виникнення коливань. Початкові ж умови визначають амплітуди 2А, 2В і фази нормальних (власних) коливань.

Від рівнянь (5) не важко перейти до кутів відхилень маятників :

(6)

Таким чином, у загальному випадку коливання кожного маятника складаються з 2-х незалежних коливань з власними (нормальними) частотами , що визначаються виразами (4).

Биття

У випадку слабкого зв’язку частоти ₁ і ₂ близькі: , і як відомо з теорії коливань 2, 3, результуючий рух кожного маятника буде являти собою майже гармонічне коливання з частотою , амплітуда якого, однак, періодично зростає і падає з частотою (див. рис.2).

Це явище носить назву – биття, – частота биття, Т_б – період. Биття легко спостерігається експериментально.

Як видно з(6) легко підібрати такі умови збудження коливань (тобто початкові умови), коли обидва маятника коливаються з однаковою частотою (В0, або А0) і биття відсутні. Оскільки початкові відхилення ₀₁, ₀₂ і кутові швидкості маятників у загальному випадку мають вигляд:

,

то випадок В0 означає, що в початковий момент обидва маятники були відхилені на один і той же кут , мали однакові кутові швидкості , (зокрема, рівні 0 при ₁0 , тоді досить просто відхилити маятники на рівні кути і відпустити без поштовху).

Цей випадок відповідає синфазним коливанням – обидва маятники коливаються однаково (у фазі) з частотою ₁ (див. мал.3а).

Випадок А0 означає, що маятники були відхилені на протилежні кути і мали протилежні кутові швидкості . При такому способі збудження (досить просто відхилити на протилежні кути без поштовху ₂0) обидва маятника здійснюють протифазні коливання з частотою ₂ (див. мал.3б).

Тепер для опису коливань зв’язаних систем часто застосовують термін власна мода, або просто мода коливань. Цей термін являється синонімом поняття власного (нормального) коливання системи. В більш стислому значенні під модою розуміють просторову конфігурацію частин системи, яка реалізується для даного власного коливання. Так, можна сказати, що на мал.3а зображені синфазні і протифазні (мал.3б) моди коливань двох зв’язаних маятників.

Опис експериментальної установки

Лабораторна установка складається з двох маятників: зовнішнього і внутрішнього. Маятники можуть бути з’єднані один з одним за допомогою двох пружин. По кутовій шкалі визначається амплітуда коливань маятників. Для автоматичного підрахунку числа періодів коливань (висвічується на індикаторі ) застосована електронна схема з фотоелектричним датчиком, світловий потік якого перетинається внутрішнім маятником, що коливається.

Проведення експерименту

Вправа 1. Визначення періодів власних (нормальних) коливань

1. Виміряти довжину маятника L і плече пружини зв’язку d.

2. Відхилити обидва маятника на однаковий кут (не більше 6) і відпустити. Переконавшись у синфазності збуджених коливань, виміряти час 10 коливань (t_k). Вимірювання провести не менше 3-х разів. За даними вимірювань знайти періоди, результати занести в таблицю 1.

3. Аналогічні вимірювання провести для протифазної моди коливань. Дані занести в таблицю 1.

Вправа 2. Спостереження биття і визначення його періодів

1. Відхилити один маятник на кут не менше 6°, відпустити його і добитись виникнення биття.

2. Під час чергового «завмирання» коливань зовнішнього маятника ввімкнути електронний секундомір і відрахувати 10 наступних «завмирань» маятника (10 биттів). Дані занести в таблицю 1. Вимірювання повторити не менше 3-х разів.

Обробка результатів

1. Розрахувати середні значення, середньоквадратичні і відносні похибки експериментальних періодів власних коливань за формулами

;

(7)

де n_k – кількість виміряних періодів коливань (звичайно n_k=10); N – кількість серій вимірювань періодів (N3).

2. За формулами (8) розрахувати теоретичні значення періодів власних коливань синфазної (Т₁)і протифазної (Т₂) мод коливань з вправи 1 (табл. 1).

(8)

Порівняти одержані значення з експериментом.

2. Розрахувати теоретичне значення періоду биття за формулою

Тб;  Тб;  Тб.

(9)

Де Т₁ – експериментальне значення періоду синфазної і Т₂ – протифазної мод коливань. Порівняти одержані значення з експериментом.

Таблиця № 1

Довжина маятника L, м	Пружність пружини k, Н/м	Маса маятника m, кг	Плече d, м

Таблиця № 2

	Синфазна мода					Протифазна мода
№ вимірювання	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
Період, Тk , с
Середній період, , с
Похибка, , с
Відносна похибка, , %
Період (теорія), Т, с

Таблиця № 3

	Б и т т я
№ вимірювання	1	2	3	4	5
Період, Тk , с
Середній період, , с
Похибка, , с
Відносна похибка, , %
Період (теорія), Т, с

Контрольні питання

1. Що таке осцилятор, зв’язана коливальна система, ступінь свободи системи?

2. Диференціальні рівняння гармонічних коливань і їх розв’язок. Чим визначається частота коливань? Їх амплітуда? Фаза?

3. Як впливає пружність пружини k, маса маятника m, точка кріплення пружини d на міру зв’язку системи маятників?

4. Що таке биття? Коли вони виникають і чим визначаються їх частоти?

5. Що таке мода коливань?

Література

1. 1. Лабораторний практикум по физике (под ред. А. С. Ахматова), – М.: Высшая школа, 1980, с. 181.

2. Берклеевский курс физики, т.3, Волны, Ф. Крауфорд, – М.: Наука, 1976, с.31-49.

3. Савельев И. В. Курс общей физики, т.1. – М.: Наука, 1987, с.199.

стор. 5 з 5