Лабораторна робота № 3–4

Лабораторна робота № 3–4

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ СТРУНИ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСУ

Мета роботи: визначення власних частот поперечних коливань струни у залежності від її натягу.

Обладнання: закріплена на штативі стальна струна з підставкою для вантажів, набір вантажів, генератор електричних коливань, магніт, мікрометр, масштабна лінійка.

Теоретичні відомості

Об`єктом дослідження є стальна струна, натягнута між двома точками її закріплення. Складемо рівняння коливань струни. Будемо розглядати такі малі коливання струни, що її довжину можна вважати сталою. Візьмемо малий елемент струни, якому відповідає відрізок х на рис. 1. Миттєвий профіль струни задано функцією (x,t), яка визначає відхилення її елементів від положення рівноваги, знайдемо вертикальну складову сили , що діє на виділений елемент з боку решти струни. Очевидно, що:

F=Tsin(x+x)Tsin(x)

(1)

де Т - натяг струни.

(2)

Тут ми скористалися тригонометричним співвідношенням: , замінили tg на (x,t), а також наближено врахували, що: 1[(x,t)]² 1.

Оскільки коливання малі. Граничний перехід від скінченого х до нескінченно малого dx дає:

FT [(x+dx,t)(x,t)]T (x,t)dx (3)

Таким чином, згідно з другим законом Ньютона маємо:

(x,t)dxT (x,t)dx; де mV 

(4)

де L, d,  - довжина, діаметр та густина струни, відповідно. Останнє рівняння запишемо так:

(x,t)а2(x,t)0 де a

(5)

Рівняння (5) є рівняння коливань струни. Покажемо, що рівняння (5) описує стоячі коливання струни. Розв`язок рівняння будемо шукати у вигляді:

A(x)sin(t)

(6)

Підставимо (6) у (5) і отримаємо рівняння для (х):

(7)

його розв`язок має вигляд:

(x)Acos

(8)

де A і B – сталі, які визначаються з граничних умов (оскільки струна в точках x0, xL закріплена).

(0)0, (L)0

(9)

Із першої умови (9) випливає, що A0, друга приводить до співвідношення:

sin

(10)

яке має розв’язок при , де n1, 2, 3,... або

(11)

Таким чином, при збудженні поперечних коливань струни на ній формуються стоячі хвилі

(12)

де А_n – амплітуда коливань струни в центрі пучностей, – поперечне відхилення точки струни з абсцисою х у момент часу t. Для частоти _n маємо:

(13)

Найнижча власна частота (або найнижчий тон, що дає струна):

(14)

називається основною частотою, або основним тоном. Більш високі частоти, кратні ₁, називаються обертонами або гармоніками. Основна частота називається першою гармонікою, подвійна основна частота або перший обертон – другою гармонікою і т.п.

На рис. 2 зображені три струни зі сталими стоячими хвилями, частоти яких відповідають основному тону (n1), першому (n2) і другому (n3) обертонам. Профіль стоячої хвилі у будь-яку мить часу є синусоїда. Частоти коливань усіх точок струни однакові і визначаються за формулою (13). Таким чином, струна, що закріплена у двох кінцевих точках, не може знаходитись у простому гармонічному коливанні з будь-якою частотою; доступні лише ті частоти, які визначаються за формулою (13). У загальному випадку в струні можуть установитися одночасно коливання самих різних частот, але кратних основній частоті, оскільки струна є системою нескінченого числа матеріальних точок.

У цій роботі визначаються власні частоти, проводяться спостереження форми власних коливань струни при фіксованому її натягу, та досліджується залежність швидкості розповсюдження поперечних коливань у струні від її натягу. Оскільки точки закріплення струни є також вузлами стоячих хвиль, то у струні збуджуються коливання лише таких частот, при яких на довжині струни L укладається ціле число півхвиль.

або

(15)

Враховуючи зв`язок швидкості розповсюдження коливання з частотою та довжиною хвилі , одержуємо:

(16)

У роботі власні коливання струни досліджуються методом резонансу. Явище резонансу полягає в тому, що коли частота примусової сили, періодичної по часу і прикладеної до малої ділянки струни, стає рівною одній з власних частот струни, то в ній установлюються стоячі хвилі з максимальною амплітудою коливань. При цьому необхідно, щоб ділянка до якої прикладена примусова сила, співпадала з однією із пучностей відповідної стоячої хвилі.

Опис експериментальної установки

У схемі установки, показаній на рис. 3 струна натягується на деякій висоті між стойками підставки. Один її кинець закріплений нерухомо, а до другого кінця, перекинутого через блок, прикріплена чашка з вантажем, за допомогою якого в струні утворюється натяг. Від генератора електричних коливань на струну подається змінна напруга. Уздовж струни по підставці, на якій вона закріплена, може вільно переміщуватися магніт. Ділянка струни із змінним струмом, що тече по ній попадає в поле постійного магніту, в якому виникає періодична сила, прикладена до струни. Частота зміни цієї сили дорівнює частоті змінного струму. Якщо частота генератора співпадає з однією із власних частот струни, а положення полюсів магніту – з пучністю стоячої хвилі, що відповідає даній частоті, то спостерігається явище резонансу: на струні встановлюється стояча хвиля.

Проведення експерименту

1. Включити генератор звукових частот.

2. Розмістити на чашку для вантажу який-небудь різноважок, і створити натяг у струні.

3. Виміряти діаметр робочої струни у різних ділянках, а також її довжину.

4. Поставити магніт посередині струни, плавно змінюючи частоту обертання лімба генератора, добитися стійких коливань основного тону. Потім, переміщуючи магніт, одержати стійкі коливання наступних обертонів. Якщо амплітуди коливань дуже малі, треба збільшити вихідну напругу на генераторі.

5. Записати дані в таблицю по мірі зростання значень частоти звукового генератора, для яких на струні встановлюються стоячі хвилі.

6. Змінити початковий натяг струни. Як наслідок цього змінюється швидкість розповсюдження поперечних коливань і набір власних частот. Провести вимірювання згідно пп. 4 і 5 для других натягів струни. Рекомендується натяг струни змінювати в межах від 50 до 300 г.

Обробка результатів

1. За формулою (13) розрахувати значення власних частот коливань струни для різних її натягів. Розраховані, таким чином, значення частот занести в таблицю № 1 і порівняти їх із значеннями, які одержані дослідним шляхом. Пояснити розходження.

2. За експериментальними даними і за теоретичною формулою (див. формули (16)) розрахувати швидкості розповсюдження поперечних коливань для кожного навантаження струни.

3. Усі розрахунки занести в таблицю № 1. Співставити теоретичні розрахунки з даними вимірювань.

Таблиця № 1

Натяг струни Тmg, (Н)	Номер власного коливання струни n	Власна частота		Швидкість розповсюдження поперечних коливань
		експеримент , (Гц)	теорія , (Гц)	експери- мент  (м/с)	теорія  (м/с)
	1.
	2.
	3.
	1.
	2.
	3.
	1.
	2.
	3.

Контрольні питання

1. Які основні розбіжності між біжучою та стоячою хвилею?

2. Яка залежність зміщення точок поля стоячої хвилі від часу?

3. Знайти координати вузлів та пучностей стоячої хвилі.

Література

1. Лабораторный практикум по физике (под ред. К.А. Барсукова и Ю.И. Уханова.). – М.: Высшая школа, 1988, с. 61-65.

2. И.В. Савельев, Курс общей физики, Т. 2, – М: Наука, 1989, с. 289-293.

3. Ф. Крауфорд, Волны (Берклеевский курс физики, Т. 3), – М.: Наука, 1976, с. 57-67.

стор. 5 з 5