Лабораторна робота № 3–1

Лабораторна робота № 3–1

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ СИЛИ ТЯЖІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

Мета роботи: визначення прискорення вільного падіння методом оборотного маятника, оцінка результатів вимірювань і розрахунок похибок.

Обладнання: лабораторна установка.

Теоретичні відомості

Коливальним називається рух, який відбувається з точним або наближеним повторенням станів системи. Найпростішими коливаннями є гармонічні коливання, тобто такі, при яких коливальна величина (кут відхилення маятника, деформація пружини, заряд на обкладках конденсатора і т.п.) змінюється в часі за законом синуса або косинуса. Рівняння гармонічного коливання:

(1)

Розв’язок такого рівняння має вигляд:

(або )

(2)

– амплітуда коливання, дорівнює максимальному абсолютному значенню (максимальне відхилення коливальної величини від стану рівноваги); – циклічна або кругова частота; – час.

Фізичний зміст циклічної частоти полягає в тому, що вона кількісно дорівнює числу повних коливань, які відбуваються за секунди, тобто ; , де – частота коливань, тобто число повних коливань, які відбуваються за одну секунду; Т – період коливань (час за який відбувається одне повне коливання); – фаза коливань. Фаза коливання – функція часу – визначає значення в даний момент часу , – початкова фаза коливання (фаза в момент початку відліку часу, тобто при ).

Фізичним маятником називається тіло закріплене на нерухомій горизонтальній осі (осі підвісу), яка не проходить через центр тяжіння і здійснює коливання відносно цієї осі під дією сили тяжіння (малюнок 1). Сила тяжіння прикладена до його центру мас . Момент цієї сили відносно осі С дорівнює , . Відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху маємо:

	(3)
	(4)

де – момент інерції маятника відносно осі . Дане рівняння є диференціальним рівнянням коливань фізичного маятника. При малих коливаннях маятника (), і рівняння руху маятника має вигляд:

(5)

Таким чином, за відсутністю тертя малі коливання фізичного маятника є гармонічними:

(6)

де – амплітуда коливань кута .

(7)

Співвідношення (7) може бути використане для визначення прискорення вільного падіння . Для цього необхідно виміряти , і , і виразити через них за допомогою формули (7). Виявляється, однак, що з високою точністю можна виміряти тільки період коливань маятника, а величини і досить точно виміряти не вдається.

Метод оборотного маятника дозволяє визначити прискорення вільного падіння g за формулою, в яку не входять і . Згідно теореми Гюйгенса–Штейнера, момент інерції маятника відносно осі гойдань

(8)

Де – момент інерції маятника відносно осі, що паралельна осі гойдань і проходить через центр мас маятника. Із (8) і (7) знаходимо

(9)

Обговоримо якісно характер залежності періоду коливань від параметра . При період

 

(10)

Для дуже великих а можна знехтувати в порівнянні з і розглядати фізичний маятник як математичний з довжиною підвісу . В цьому випадку період коливань

(11)

При період також необмежено зростає. Якісно вид залежності показано на малюнку 2.

Значенню відповідає центр мас маятника. Якщо підвішувати маятник по другий бік від центру мас, то як видно з формули (9) залежність буде точно такою ж. Тому графік має дві симетричні вітки, що відповідають положенню точки підвісу маятника зліва і справа від його центру мас.

З графіка (мал. 2) видно, що з кожної сторони від центру мас маятника є два положення точки підвісу, в яких періоди коливань маятника співпадають. Знайдемо такі два положення і точки підвісу з різних сторін від центру мас, щоб періоди коливань маятника співпадали: . Як видно з (9), для цього необхідно виконання умови

(12)

Рівність (12) виконується при . Тоді маємо:

(13)

Таким чином прискорення вільного падіння можна визначити за формулою

(14)

Як видно з (14), для знаходження g досить виміряти тільки дві величини: відстаньміж точками підвісу і період коливань маятника в положенні і в «перевернутому» положенні , такому, що . При цьому періоди коливань повинні співпадати.

Опис експериментальної установки

Оборотний маятник являє собою стальний стрижень, на якому закріплені два масивних вантажі (малюнок 3). Дві легкі опорні призми можуть переміщуватись по стрижню і фіксуватись за допомогою гвинтів у різних його точках. Маятник може коливатись у вертикальній площині, опираючись нижнім ребром однієї із призм на закріплену на масивному штативі опорну площадку.

1 – стержень, 2 – пересувний вантаж, 3 – опорна призма.

Проведення експерименту

Доцільно проводити вимірювання так. Пересувні вантажі закріплюють на стержні у несиметричних положеннях (малюнок 3): один вантаж – на кінці стержня, а другий – біля його центру. В такому випадку центр мас маятника знаходиться між пересувними вантажами і зміщений відносно середини стержня. Потім приблизно визначають положення центру мас С маятника. Опорні призми установлюють по різні боки від центру мас. Одна із опорних призм закріплюється зверху на найбільшій відстані від центру мас, тобто на кінці стержня.

Потім, , установлюють другу пересувну призму з іншого боку від центру мас поблизу точки .

Вправа № 1

1. Знайдіть приблизно положення центру мас маятника, шляхом переміщення стержня в горизонтальному положенні по опорній площадці штатива.

2. Закріпіть опорну призму зверху, приблизно так як показано на малюнку 3, на найбільшій відстані від центру мас (на кінці стержня).

3. Проведіть вимірювання періодів для різних положень (через 1 см) опорної призми. Період знаходять за часом, що відповідає 10 коливанням малої амплітуди (4 –6 ). Дані занесіть у таблицю № 1.

Вправа № 2

1. Зніміть стержень із вантажами зі штатива, переверніть систему, як показано на малюнку 4.

2. Не змінюючи положення вантажів, закріпіть опорну призму вище від центру мас на відстані від нього.

3. Проведіть вимірювання періодів для різних положень (через 1 см) опорної призми (аналогічно до пунктів 2-3 вправи 1).

4. Дані занесіть у таблицю № 1.

Обробка результатів

1. Із даних таблиці № 1 знайдіть такі і , для яких велична найменша.

2. За формулою (14) обчисліть . Період знаходять як середнє арифметичне і .

   (15)

3. Похибки знайдіть за формулами (– абсолютна похибка, – відносна похибка).

   ;

   (16)

4. Результати розрахунків занесіть у таблицю № 1.

Таблиця № 1.

№	,	,	,	,	,	,	,	,	,%

Контрольні питання

1. Які коливання називаються вільними? Привести приклад.

2. Що таке фаза коливань?

3. Що називають циклічною частотою коливань?

4. Чому амплітуда коливань маятника при вимірюванні його періоду повинна бути невеликою?

5. Як впливає тертя в системі на точність визначення ?

Література

1. Савельев И. В. Курс общей физики, т.1. – М.: Наука, 1987.

2. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.:Высшая школа, 1990.

3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Механика, т.1, – М.: Наука, 1989.

4. С.Г.Каленков, Г.И.Соломахо. Практикум по физике. Механика, – М.: Высшая школа, 1990, с. 68 – 83.

стор. 4 з 4