051301 Хімічна технологія (Х)

051601 Технологія та дизайн текстильних матеріалів (ЕТВ)

051602 Технологія виробів легкої промисловості (СТ)

Практичне заняття № 15

Тема:		Диференціальне числення функції кількох змінних, область визначення, область значень функції; границя функції кількох змінних. Диференціювання функції кількох змінних. Застосування повного диференціала до наближених обчислень.
Мета заняття:		Навчитись визначати та графічно зображувати область визначення функції кількох (двох) змінних,навчитись обчислювати границю функції кількох змінних, обчислювати частинні похідні, застосовувати повний диференціала до наближених обчислень
Зміст:		Область визначення, область значень; границя функції кількох змінних. Частинні похідні та повний диференціал.
Структура заняття:	1. Актуалізація опорних знань із теми заняття. 2. Розв’язання типових прикладів. 3. Самостійне виконання завдань. 4. Обговорення результатів практичного заняття

1. Область визначення (існування) функції – це множинавсіх таких точокплощини, для яких виразмає зміст і дає дійсні значення.

Геометрично область визначення функції може представляти собою:

1) частину площини Оху, обмежену деякою кривою, при чому точки цієї кривої можуть як належати області визначення, так і ні;

2) всю площину Оху;

3) сукупність декількох частин площини Оху.

Область визначення функції трьох незалежних змінних може представляти собою:

1) частину простору , обмежену деякою поверхнею,причому сама поверхня може як належати області визначення, так і ні;

2) весь простір ;

3) сукупність декількох частин простору .

Означення. Число А називається границею функції при , якщо для довільногоіснує таке, що для всіх точокM, відстань від яких до точки М₀ менша σ виконується нерівність i позначається символом

Нехай. Тоді:

Означення. Якщо існує скінченна границя (що не дорівнює нескінченності), яка не залежить від способу прямування, тоді ця границя називаєтьсячастинною похідною (першого порядку) функції по незалежній зміннійх і позначається: або, або, або.

Частинні похідні функції по зміннійх є звичайною похідною від функції однієї змінної х при фіксованому значенні змінної у, а похідна по у () є похідною від функції однієї змінноїу при фіксованому значенні змінної х. Обчислення частинних похідних функції кількох змінних здійснюється як для функції однієї незалежної змінної, причому вважають всі незалежні змінні, крім тої по якій диференціюють, постійними величинами.

Формула для наближених обчислень, за допомогою повного диференціала:

.

Розв’язання типових прикладів.

Приклад 1. Знайти область визначення функції

Розв’язання. Область визначення функції є множина усіх точок площини, для яких . Геометрично це означає, що область визначення складається із всіх точок площини, що не лежать на бісектрисах першого й третього та другого та четвертого координатних кутів.

Приклад 2. Укажіть множину точок простору, на якій визначена функція

Розв’язання. Функція u визначена на множині тих точок простору, координати яких одночасно задовольняють умові:

Приклад 3. Обчислити границю функції _.

Розв’язання. За умовою Отже,

Приклад 4. Обчислити границю функції _.

Розв’язання. Візьмемо , тоді з. Отже,

Приклад 5. Обчислити границю функції _.

Розв’язання. Маємо невивченість виду . Порівняння нескінченно малих функцій двох змінних проводиться аналогічно порівнянню нескінченно малих функцій однієї змінної.

Приклад 6. Знайти частинні похідні першого порядку функції .

Розв’язання. – похідна степенової функції від х (при у - const);

–похідна показникової функції від у (при х - const).

Приклад 7. Знайти частинні похідні другого порядку функції у точці М(2;3).

Розв’язання.

Приклад 8. Обчислити наближено в точціх=1,97, у=1,02.

Розв’язання. Розглянемо функцію , застосовуючи формулу наближеного обчислення, отримаємо

1. Аудиторні завдання

Тест контроль

2. Якщо функція , то на площиніхОу її область визначення має вигляд..

A	B	C	D

3. Якщо функція , то на площиніхОу її область визначення має вигляд..

   A	B	C	D

4. Якщо функція , то на площиніхОу її область визначення має вигляд..

   A	B	C	D

5. Для заданої функції , знайти частинну похідну першого порядку.

   A	B	C	D

6. Для заданої функції , знайти частинну похідну першого порядку.

   A	B	C	D

7. Для заданої функції , знайти мішану частинну похідну.

   A	B	C	D

8. Обчислити повний диференціал функції в точціх=2, у=2 при ∆х=0.1, ∆у=0.1.

   A	B	C	D
   -0.1	0.1	0	0.2

9. Знайти наближено .

A	B	C	D
1.01	0.99	1	1.02

1. Зобразити на площині область визначення функції:

а) ; б).

2. Обчислити:

а) б)

3. Знайти частинні похідні функції , :

а) ; б);

в). г).

4. Знайти наближено:

а) ; б).

4. Контрольні запитання.

1. Що називається функцією багатьох змінних, зокрема, двох змінних?

2. Який геометричний зміст функції двох змінних та її області визначення?

3. Що називається функцією трьох змінних та її областю визначення?

4. Яке геометричне тлумачення області визначення функції трьох змінних?

5. Як визначаються частинні похідні?

6. Сформулюйте правила знаходження частинних похідних функції кількох змінних.

7. В чому полягає геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних?

Самостійна робота

1. Данко И.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. I / И.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. — М.: Высшая школа, 1986. — 304 с. №№-1160-1169, №№1183-1195.

2. Болгов В.А. Сборник задач по математике Ч.1.»Линейная алгебра и основы математического анализа. Учебн.пособие для втузов./В.А.Болгов, Демидович Б.П., Ефимов А.В.–М-.:Наука, 1986.-336с. №№7.32-7.37, №№7.44-7.50.

3. Бардачов Ю.М. Практикум з вищої математики. Ч. 1. / Ю.М. Бардачов, В.В, Крючковський, О.В. Цибуленко, А.М, Матвієнко, І.В. Вигоднер. — Херсон: "ОЛДІ-плюс", 2010. — 390 с. Розділ

4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике:учеб.пособие для вузов.–М.:Высш.шк., 2000.–304с. №

5. Рудницький В.Б., Гpипинська H.В., Кучерук О.Я., Моpоз В.В. Вища математика у вправах i задачах: Hавчальний посiбник для студентів економiчних та технологiчних спецiальностей вузiв. – Хмельницький: ТУП, 2004. – 130 с. – С.56-58..