Методичка 1 (Кристаллография)

3.2. Теореми про сполучення елементів симетрії

Набір елементів симетрії кристалічних багатогранників не може бути довільним. Елементи симетрії повинні сполучатися між собою певним чином. Нижче наведені (без доказу) основні теореми про складання елементів симетрії, що використовуються в кристалографії.

3.2.I. Лінія перетинання двох площин симетрії, що утворять кут β, є віссю симетрії з кутом повороту α = 2β.

3.2.2.Число площин симетрії, що проходять через вісь симетрії, дорівнює порядку осі.

3.2.3.Точка перетинання парної осі симетрії з перпендикулярною їй площиною симетрії є центр симетрії.

3.2.4.При наявності центра симетрії загальна кількість парних осей симетрії дорівнює числу площин симетрії, причому кожна парна вісь перпендикулярна площині симетрії.

3.2.5.При наявності осі симетрії n-го порядку і перпендикулярної їй осі 2-го порядку, є n осей другого порядку, перпендикулярних осі n-го порядку.

3.2.6.При наявності двох пересічних осей симетрії завжди існує третя рівнодіюча вісь, що проходить через точку перетинання.

3.3. Практичні прийоми виявлення елементів симетрії

Щоб визначити наявність у багатогранника центру симетрії, варто покласти його на стіл по черзі кожною гранню і перевірити, чи є нагорі грань, розташована горизонтально. Якщо такої грані немає, то у багатогранника відсутній центр симетрії. Якщо такі грані є, вони повинні бути антипаралельними, тобто однаковими і протилежно спрямованими. Лише у цьому випадку можна говорити про наявність центра симетрії.

Осі симетрії проходять через центри граней перпендикулярно їм або через вершини багатогранників. Порядок осі відповідає симетрії перпендикулярної їй грані. Якщо вісь проходить через вершину багатогранника, то порядок осі дорівнює числу граней, що сходяться у вершині. Осі симетрії 2-го порядку можуть проходити через середини ребер.

Площини симетрії можуть проходити тільки через середини граней і ребер багатогранника перпендикулярно їм чи розташовуватися уздовж ребер, утворюючи різні кути з

однаковими гранями і ребрами.

3.4. Формула симетрії

Формула симетрії складається з записаних підряд всіх елементів симетрії. На першому місці прийнято записувати осі симетрії, починаючи з вищого порядку, потім площини симетрії і центр симетрії.

Розглянемо формулу симетрії куба. Куб має 3 осі 4-го порядку, рівнобіжні координатним осям; 4 осі 3-го порядку по напрямку просторових діагоналей; 6 осей другого порядку, що проходять через середини протилежних ребер; 9 площин симетрії, у т.ч. 3 координатні і 6 діагональних, а також центр симетрії. Таким чином, формула симетрії куба: 3L44L36L29РС.

Знаючи теореми про сполучення елементів симетрії, запис формули симетрії можна значно спростити. Це використовується в міжнародній символіці. Так, символ nm означає, що є вісь n-го порядку і площина m уздовж цієї осі. Відповідно до теореми 3.2.2 таких площин повинне бути n. Символ n/m означає, що площина симетрії перпендикулярна осі. Якщо n - число парне, то відповідно до теореми 3.2.3, крім осі і площини, на їхньому перетинанні є ще і центр симетрії.

У міжнародній символіці розрізняють координатні і діагональні елементи симетрії, причому координатні вказуються у формулі на першому місці.

Міжнародний символ куба записується в такий спосіб: m3m. Перша буква m означає, що існують 3 координатні площини симетрії. Наступна цифра 3 указує на наявність діагональних осей симетрії 3-го порядку. Це просторові діагоналі куба. Остання буква m указує, що існують діагональні площини симетрії.

3.5. Поняття про класи симетрії, кристалографічні категорії і сингонії

Як уже вказувалося, у кристалах можливі не будь-які, а лише визначені сполучення елементів симетрії. Можна математично довести, що можливо 32 різних сполучення елементів симетрії, або 32 класи симетрії.

Ці 32 класу поєднують у 7 сингоній і 3 категорії.

У кристалів вищої категорії немає так званих одиничних

напрямків і є кілька осей порядку вище 2-го.

До середньої категорії відносяться кристали, у яких є один одиничний напрямок, тобто одна вісь симетрії порядку вище, ніж другий.

До нижчої категорії відносяться кристали, у яких немає осей симетрії порядку вище, ніж 2, а одиничних напрямків декілька. Це найменш симетричні кристали з різко вираженою анізотропією властивостей.

Для поділу на сингонії використовують тривимірну систему координат, осі якої вибирають відповідно до симетрії кристала. Кожна сингонія характеризується визначеним співвідношенням кутів і одиничних відрізків по координатних осях.

Основні зведення про кристалографічні категорії і сингонії наведені в табл. 3.2.

3.6. Виконання роботи

Задача 1. Користуючись методом розмноження спробних граней, визначити повну сукупність елементів симетрії, якщо за вихідні прийняти вертикальну вісь симетрії L4 і горизонтальну вісь L2 (φ=90º, ρ=90º).

Задача 2. Користуючись методом розмноження спробних граней, визначити повну сукупність елементів симетрії, якщо за вихідні прийняти вертикальну вісь симетрії L4 і вертикальну площину симетрії.

Задача 3. Визначити формулу симетрії і побудувати стереографічну проекцію елементів симетрії класу симетрії 2/m.

Задача 4. Побудувати проекцію елементів симетрії класу симетрії mmm і визначити формулу симетрії.

Задача 5. Побудувати проекцію елементів симетрії класу симетрії 3m і визначити формулу симетрії.

Задача 6. Запишіть формулу симетрії і побудуйте стереографічну проекцію елементів симетрії класу 3m.

Задача 7. Визначте нові елементи симетрії, що з'являються при взаємодії наступних елементів симетрії (символ Рll означає площину симетрії рівнобіжну заданому елементові, а Р - перпендикулярну площину симетрії):

а) L2+C; б) L3+C; в) L4+C; г) L6+C; д) L2+Р ; е) L4+Р ;

є) L6+Р ; ж) L2+Рll; з) L3+Рll; и) L4+Рll; і) L6+Рll; ї) L2+Р +Рll;

к) L3+Р +Рll; л) L4+Р +Рll; м) L6+Р +Рll; н) L2+Рll+С;

о) L3+Рll+С; п) L4+Рll+С; р) L6+Рll+С; с) L2+L2 ; т) L3+L2 .

Задача 8. Доповніть на стереографічних проекціях елементи симетрії, яких бракує, і запишіть повну формулу симетрії.