Методичка 1 (Кристаллография)

Для переходу від тривісних символів [u v w] до чотиривісних [r1 r2 r3 r4] використовують такі співвідношення:

На рис. 1.5.в наведені приклади напрямків у гексагональному кристалі, що виражені як у тривісних, так і у чотиривісних символах.

координатних осях відрізки a2, а, 2а. Визначте індекси площини.

Задача 6. У тривісній системі координат площини в гексагональному кристалі мають індекси (110), (100), (112), (011), (211), (111), (001). Вкажіть їхні індекси у чотиривісній системі.

Задача 7. У тривісній системі координат напрямки в

[101], [111], [111], [210], [210]. Вкажіть їхні індекси у чотиривісній системі.

Рис. 1.6. Схеми кубічних кристалічних ґрат

Задача 8. Визначите індекси вузлів А і В, напрямку АВ і заштрихованої площини у кубічному кристалі (рис.1.6).

Контрольні питання

1.Що таке ―просторові ґрати‖ і у чому полягає розходження понять "просторові ґрати" і "кристалічна структура"?

2.Що називають елементарною коміркою і якими є правила

їївибору?

3.Що називають індексами вузла?

4.Як визначають індекси напрямку в просторових ґратах?

5.Що називають параметрами кристалографічної площини?

6.Як визначають індекси кристалографічної площини?

7.З чим пов'язане використання чотиривісної системи координат при індексуванні гексагональних кристалів?

8.Яке співвідношення між індексами площини у гексагональному кристалі має місце при використанні чотиривісної системи координат?

9.Яке співвідношення між індексами напрямку в гексагональному кристалі має місце при використанні чотиривісної системи координат?

2.КРИСТАЛОГРАФІЧНІ ПРОЕКЦІЇ. СІТКА ВУЛЬФА

Мета роботи – за допомогою сітки Вульфа навчити студентів будувати найпростіші кристалографічні проекції.

2.1. Кристалографічні проекції

Перш ніж приступити до виконання даної роботи, студент повинний вивчити закон сталості кутів. Тому що при вивченні наступних курсів, наприклад курсу "Методи структурного аналізу", студенту прийдеться визначати кутові співвідношення між елементами кристала, необхідно розглянути способи зображення структури і форми кристалів на площині, при яких зазначені кутові співвідношення зберігаються. Найчастіше для цього використовують стереографічну і гномостереографічну проекції.

Побудову кристалографічних проекцій починають із зображення кристалічного і полярного комплексів, які необхідні для створення образу кристала в кутових співвідношеннях.

Під кристалічним комплексом розуміють сукупність площин і напрямків, рівнобіжних площинам і напрямкам кристала які проходять через одну точку - центр комплексу. Якщо замість

Сферична проекція кристала досить наочна, по ній легко визначити кутові співвідношення. Але об'ємна проекція менш зручна для практичного використання, чим плоска. Для перетворення об'ємних сферичних проекцій у плоскі, сферу проекцій розтинають по екватору площиною проекцій Q, яка проходить через центр. Діаметр сфери проекцій, перпендикулярний до площини проекцій Q, є віссю проекцій і перетинає сферу проекцій у точках N і S, що називають точками зору (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Побудова стереографічних проекцій: а - напрямку; б — площини

Для одержання стереографічної проекції довільного напрямку 0М (рис. 2.3,а) його сферичну проекцію М′ з'єднують прямою з точкою зору, що лежить у протилежній півкулі. Точка перетинання отриманого променя зору М′S із площиною проекцій Q і є стереографічною проекцією напрямку 0М′. При виборі точки зору в тій же півкулі стереографічна проекція виявиться поза колом проекцій (порівняти стереографічні проекції К′ і К″ напрямку 0К на рис. 2.3,а).

Для побудови стереографічної проекції площини, її сферичну проекцію по точках (Р1 – P4) з'єднують променями зору з протилежною точкою зору, одержуючи конічну поверхню з вершиною в полюсі проекцій (рис. 2.3,б). Слід перетинання цієї конічної поверхні з площиною проекцій і складе стереографічну проекцію площини. У загальному випадку це дуга великого кола проекцій, що спирається на діаметрально протилежні точки кола проекцій. Якщо площина перпендикулярна колу проекцій, то це один з діаметрів кола проекцій, а якщо рівнобіжна - то коло, яке окреслює коло проекцій (рис. 2.4,а).

Рис. 2.4. Стереографічна (а) і гномостереографічна (б) проекції граней кристала

При побудові гномостереографічних проекцій у центр сфери міститься не кристалічний, а полярний комплекс. У такому випадку гномостереографічною проекцією площини є стереографічна проекція нормалі до цієї площини. Тоді грані і площини кристала, рівнобіжні площині проекцій, зображуються точкою в центрі кола проекцій, перпендикулярні грані - точками на обмежуючій кола проекцій, похилі - усередині кола проекцій

(рис. 2.4, б).

2.2. Сітка Вульфа

Для розв'язання кількісних задач за допомогою стереографічних і гномостереографічних проекцій користуються звичайно градусними сітками, серед яких найбільш уживана сітка Вульфа. У металознавстві такі задачі доводиться розв’язувати, наприклад, при визначенні орієнтації текстурованих (однаково спрямованих) зерен металу; при визначенні орієнтації виділень нової фази щодо вихідної і т. ін.

Сітка Вульфа - це стереографічна проекція всієї системи меридіанів і паралелей, нанесених на поверхню сфери, на площину одного з меридіанів. Положення будь-якої точки на сітці Вульфа визначається її сферичними координатами φ і ρ (рис. 2.5,а).

Сітку Вульфа стандартно креслять на колі діаметром 20 см, лінії паралелей і меридіанів проводять через 2º. Схема відліку

координат на сітці Вульфа наведена на рис. 2.5,б. Для роботи із сіткою Вульфа необхідно:

-приготувати стандартну сітку Вульфа, кальку, гостро відточений олівець;

-сітку розташувати так, щоб її екватор був горизонтальний. На сітку покласти кальку, хрестиком відзначити центр проекцій, а горизонтальною рискою на правому кінці екватора - нульову відмітину. По цим двом відмітинам кальку завжди можна привести у вихідне положення;

-усі побудови виконувати на кальці шляхом концентричного

їїобертання щодо центра проекцій.

Наприклад, для побудови стереографічної проекції точки, заданої координатами φ і ρ, накладаємо кальку на сітку, відзначаємо центр проекцій і нульову відмітину (φ = 0). Знаходимо необхідне значення φ і відзначаємо його рискою. Далі повертаємо кальку так, щоб нанесена відмітина збіглася з кінцем горизонтального чи вертикального діаметра сітки. По даному діаметрі відраховуємо необхідне значення ρ.

Рис. 2.5. Принцип побудови сітки Вульфа:

а- координати точки на сфері;

б- проекція координат сітки на площину меридіану

При визначенні кутової відстані між двома заданими точками необхідно враховувати, що кутові відстані на сфері вимірюють по дугах великих кіл, тобто на сітці Вульфа по меридіанах чи по екватору. Тому необхідно поворотом кальки перевести задані точки на один меридіан і по ньому відрахувати кутова відстань.

2.3. Виконання роботи

Задача 1. Побудуйте полярний комплекс, сферичну проекцію нормалей і гномостереографічну проекцію площин {110} кубічного кристала.

Задача 2. Побудуйте полярний комплекс, сферичну проекцію нормалей і гномостереографічну проекцію площин {111} кубічного кристала.

Задача 3. На сітці Вульфа знайти точки з наступними координатами: а) φ=0, ρ=45º; б) φ=60º, ρ=30º; в) φ=210º, ρ=20º; г) φ=180º, ρ=45º; д) φ=120º, ρ=80º; е) φ=60º, ρ=60º.

Задача 4. Визначте кути між площинами, гномостереографічні проекції яких мають наступні координати:

а) φ1=60º; ρ1=60º; φ2=120º; ρ2=30º; б) φ1=40º; ρ1=70º; φ2=140º; ρ2=30º; в) φ1=30º; ρ1=20º; φ2=100º; ρ2=70º; г) φ1=20º; ρ1=80º; φ2=210º; ρ2=60º; д) φ1=90º; ρ1=40º; φ2=280º; ρ2=20º; е) φ1=20º; ρ1=45º; φ2=200º; ρ2=75º;

Задача 5. Через задані дві точки проведіть дугу великого кола:

а) φ1=10º; ρ1=45º; φ2=60º; ρ2=70º; б) φ1=20º; ρ1=40º; φ2=160º; ρ2=75º;

в) φ1=30º; ρ1=30º; φ2=200º; ρ2=55º; г) φ1=90º; ρ1=45º; φ2=260º; ρ2=20º; д) φ1=60º; ρ1=60º; φ2=310º; ρ2=35º; е) φ1=80º; ρ1=80º; φ2=220º; ρ2=25º;

Задача 6. Знайти полюс дуг великих кіл, побудованих у попередній задачі.

Задача 7. Побудувати за допомогою сітки Вульфа стереографічну проекцію площини, якщо її гномостереографічна

Контрольні питання

1.Що таке кристалічний і полярний комплекс?

2.Як визначають сферичні координати точки?

3.Опишіть порядок побудови стереографічної проекції.

4.Що являє собою і для чого застосовується сітка Вульфа?

5.У якому випадку стереографічна проекція напрямку зобразиться точкою на межі кола проекцій?

6.Як зобразиться стереографічна проекція площини, перпендикулярної площині проекції?

7.Розповісти про порядок побудови гномостереографічної проекції.

3.ЕЛЕМЕНТИ СИМЕТРІЇ КРИСТАЛІВ

Мета роботи — навчитися практично знаходити сукупність елементів симетрії кристалічних багатогранників; визначити категорію і сингонію кристала.

3.1. Поняття про основні елементи симетрії

Основні елементи симетрії відомі студентам ще із середньої школи. Тому обмежимося лише деякими визначеннями.

Центром симетрії (центром інверсії) називається точка перетинання ліній, що з'єднують протилежні точки, однаково віддалені від центра, що належать рівним, рівнобіжним, але спрямованим у протилежні сторони частинам фігури.

При наявності центра симетрії кожна грань просторової фігури має рівнобіжну, рівну і протилежно спрямовану грань.

Площиною симетрії називається площина дзеркального відображення, за допомогою якої досягається сполучення частин фігури, розташованих по різні сторони від неї.

Поворотною віссю симетрії n - го порядку називають пряму, при повороті навколо якої на кут 360º/n фігура співпадає сама із собою. Порядок осі означає, таким чином, скільки разів відбудеться збігання фігури самої із собою при повороті на 360º. Для кристалів можливі поворотні осі тільки 2-ro, 3-го, 4-го і 6-го порядків.

Розглянемо детальніше поняття інверсійної осі симетрії. На рис. 3.1 представлена модель кристала сечовини. Якщо повернути багатогранник на 90º, грані чотиригранної призми співпадуть одна з одною, але не співпадуть два "двосхилі дахи", повернені відносно один одного на 90º. Таким чином, простої поворотної осі 4-го порядку в кристала немає.

Але багатогранник можна цілком сполучити сам із собою,

якщо після повороту на 90º віддзеркалити його грані в центрі

симетрії. Таке складне перетворення і є інверсійною віссю 4.

Рис.3.1. Модель кристала з інверсійною віссю 4

Можна показати, що тільки інверсійна вісь 4 є самостійним

елементом симетрії. Вісь 1 еквівалентна центру інверсії, вісь 2 -

площині симетрії. Дія осі 3 зводиться до дії самостійно існуючого

центру симетрії і поворотної осі 3-го порядку. Дія інверсійної осі 6 еквівалентна дії поворотної осі 3-го порядку і перпендикулярної до неї площини симетрії.

Для позначення елементів симетрії користуються особливими символами, які наведені в табл. З.1.

Таблиця 3.1 Елементи симетрії завершальних фігур та їх позначення на

стереографічній проекції